Forum Sains Indonesia



*

Artikel Sains

Aku Cinta ForSa

ForSa on FB  ForSa on Twitter

Pranala Luar

ShoutBox!

Last 10 Shouts:

yoga3105

Kemarin jam 11:23:42 PM
tolong buatin program bahasa c++ nya gan, yang bisa tak ksih pulsa

Kutip
X(pangkat)5-y(pangkat)4+a=d

 

Sandy_dkk

Oktober 21, 2014, 12:31:18 PM
coba periksa ke ahli syaraf kang farabi.
 

Farabi

Oktober 21, 2014, 11:29:44 AM
Tiap menjelang musim hujan sakit gigi, padahal giginya udah ga ada. Apa ini memang menimpa semua orang? Dan kenapa?
 

Sandy_dkk

Oktober 20, 2014, 05:16:25 AM
hujan turun untuk pertamakalinya dalam beberapa bulan ini, disambut bahagia oleh lusinan burung gereja yang berterbangan di halaman rumah. sungguh indah pagi ini.

senifacitra

Oktober 14, 2014, 08:24:03 PM
malam, mw tx proses fisika apa yang menyebabkan sehingga bumi memiliki sifat magnet.??

mohon bntuanx sgera
 

Sandy_dkk

Oktober 13, 2014, 08:08:28 PM
boleh deh...

sherenhfns

Oktober 13, 2014, 06:59:24 PM
ada yang on ga ? bisa bantuin soal matematika kelas 9? besok mau mid

sherenhfns

Oktober 13, 2014, 06:58:49 PM
Hallo

 

Monox D. I-Fly

Oktober 09, 2014, 09:34:41 PM
musim pemilu juga sudah habis, liat aja, pemilu tahun ini nggak ada yang bahas pemilu sama sekali... forsaintis dah bosen sama politik...
 

Farabi

Oktober 09, 2014, 01:25:15 PM
Capek debat adu khayal ala agama. Mendingan fokus ke hal hal exact.  ;)

Show 50 latest

12 Sep 2008 - Menuju Ke Abstrak

    Pemahaman akan pengertian abstrak sepertinya masih dianggap sebagai suatu yang sulit bahkan tak teraplikasi. Bagi orang di pinggir jalan, boleh jadi menganggap orang yang belajar matematika abstrak sebagai orang sinting.

     Saatnya kita harus menguak apa yang dimaksud abstrak dalam matematika? Apakah suatu yang tidak real? Hanyakah ngoyoworo ataukah hanyakah khayalan orang? Apakah seperti aljabar abstrak itu suatu yang mengada-ada saja ataukah memang harus menuju ke situ?

    Berikut semoga bisa memberi gambaran akan pemahaman tersebut. Sebagai langkah-langkah sebelum ke abstrak, kita berkecimpung dengan aritmatika yang di dalamnya ada proses seperti penjumlahan, perkalian, dan ada penggunaan variabel. Pengenalan abstrak di SMA biasanya dimulai dengan pelajaran induksi matematik dimana harus membuktikan keteraturan sampai tak hingga dengan membuktikan implikasi  Pk--->Pk+1 dan membuktikan P0 benar.
     Waktu kita melangkah dari perhitungan dasar ke penggunaan variabel, kita meluaskan orientasi kepada cakupan perhitungan yang lebih luas. Kita bisa mengoperasikan bilangan-bilangan tanpa mengetahui berapa bilangannya, cukup dengan variabel. Nah ini, dari aritmatika menuju abstrak yang banyak membuat kepala para mahasiswa sakit, sebenarnya juga merupakan perluasan orientasi menuju semakin beragam dan semakin luas. Kita mulai dengan mempelajari sekelompok obyek, lalu interaksi antar obyek, yang lalu kita namakan operasi biner, mempelajari keteraturannya, mempelajari ciri-cirinya, lalu memformulasikannya menjadi aksioma-aksioma.

     Contoh di bawah mungkin bisa menjadi bayangan akan langkah tersebut, kita mulai dengan PENGANTAR TEORI BILANGAN.

Subgroup bilangan bulat
Kita perhatikan perhatikan himpunan bilangan bulat (integer), yaitu {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} yang lalu biasa dinotasikan dengan Z. < huruf Z ini adalah diambil dari singkatan Zahl=bilangan dari Bhs Jerman>
Diberikan suatu himpunan bagian dari Z, katakanlah himpunan S. Himpunan S disebut subgroup dari Z jika memenuhi :
(i) x+y anggota dari S untuk setiap x dan y anggota dari S,
(ii) 0 anggota dari S,
(iii) -x anggota dari S untuk setiap x anggota dari S.

< catatan : Kalau pernah mempelajari tentang teori group, maka syarat-syarat di atas tidak lain sifat tertutup(i), ada elemen identitas(ii), dan untuk setiap anggota dari S yang bukan 0 punya invers. Di kasus bilangan bulat ini sifat asosiatif bisa dirunut dg mudah dari sifat tertutup >

Suatu himpunan bagian tak kosong S dari Z adalah subgroup jika dan hanya jika x - y anggota dari S untuk setiap x dan y anggota dari S.
Bukti :
S subgroup dari Z ==> x - y anggota S untuk setiap x,y anggota S
Karena y anggota dari S, maka -y anggota dari S
Karena x dan -y anggota dari S, maka x+(-y)=x-y anggota dari S
x - y anggota S untuk setiap x,y anggota S ==> S subgroup dari Z
Karena S tak kososng maka ada anggotanya, misalkan x anggota dari S, maka x-x=0 adalah anggota dari S , jadi 0 dan x anggota dari S sehingga 0-x=-x anggota dari S , lalu jika x dan y anggota dari S, sehingga -y anggota dari S, lalu x-(-y)=x+y anggota dari S . Terbukti.

Taruhlah m adalah bilangan bulat, dan kita buat notasi mZ={mn|n anggota Z}. Maka mZ adalah subgroup dari Z.

Teorema I
Jika S adalah saubgroup dari Z, maka S = mZ untuk suatu bilngan bulat tak negatif m. < dengan kata lain, teorema ini mengatakan bahwa kalau S adalah subgroup dari Z, maka pasti berbentuk himpunan kelipatan dari suatu bilangan bulat tak negatif {0,1,2,3,...} >
Bukti :
Kita buat dua kemungkinan, yaitu :
pertama --> jika S = {0}, maka dapat ditulis S=mZ dengan m=0.
kedua --> jika S tidak sama dengan {0}, atau S memuat bilangan bulat tak nol. Maka tentunya S memuat bilangan bulat positif < karena jika x anggota S maka -x juga anggota S >. Kita ambil misalnya m adalah bilangan bulat positif yang terkecil di S. Lalu suatu bilangan bulat positif n di S akan dapat ditulis dalam bentuk n=qm+r, dimana q adalah suatu bilangan bulat positif dan r suatu bilangan bulat yang memenuhi 0<=r. Dengan demikian r juga anggota S, karena r=n-qm. Karena diasumsikan m adalah yang terkecil, maka haruslah r=0. Jadi n=qm, dengan demikian n anggota mZ, yang berarti S=mZ. Terbukti.

Teorema tersebut mengatakan bahwa kalau sebuah himpunan yang anggotanya bilangan-bilangan bulat serta memenuhi tiga aksioma untuk subgroup di atas, maka tentulah anggota-anggota himpunan tersebut berbentuk kelipatan dari suatu bilangan bulat positif.

Faktor Persekutuan Terbesar
Definisi :
Taruhlah a1,a2,...,ar adalah bilangan bulat, yang tidak semuanya nol. Faktor persekutuan dari a1,a2,...,ar adalah suatu bilangan bulat yang membagi habis setiap a1,a2,...,ar. Faktor persekutuan terbesar dari a1,a2,...,ar adalah bilangan bulat positif terbesar yang membagi habis setiap a1,a2,...,ar. Faktor persekutuan terbesar dari a1,a2,...,ar dinaotasikan dengan (a1,a2,...,ar).

Teorema II
Taruhlah a1,a2,...,ar adalah bilangan bulat, yang tidak semuanya nol. Maka ada bilangan-bilangan bulat sebutlah u1,u2,...,ur sedemikian hingga
(a1,a2,...,ar)=a1u1 + a2u2 + . . . +arur
dimana (a1,a2,...,ar) adalah Faktor Persekutuan Terbesar dari a1,a2,...,ar.
Bukti :
Pembuktian teorema ini, pertama kita harus menunjukkan bahwa suatu himpunan S yang anggota-anggotanya berbentuk n1a1+ n2a2 + . . . +nrar dimana n1, n2,..., nr bilangan-bilangan bulat merupakan subgroup dari Z dengan menunjukkan terpenuhinya  3 aksioma di atas. Lalu setelah terbukti, maka karena
S subgroup Z, akan berbentuk mZ. Dengan kata lain bahwa setiap anggota S merupakan kelipatan dari m. Dengan demikian m adalah faktor persekutuan dari a1,a2,...,ar. Karena FPB adalah faktor persekutuan, maka otomatis ada u1,u2,...,ur sehingga (a1,a2,...,ar)=a1u1 + a2u2 + . . . +arur. Terbukti.

    Kiranya, ini bisa menjadi gambaran bahwa yang namanya abstrak bukan suatu yang tidak aplikatif, melainkan adalah perluasan orientasi kita dalam memandang. Memang terlihat lebih sulit, karena kita mencoba menengok yang disebalik dari yang nampak.

     Semoga bermanfaat bagi semuanya.

Komentar *

1) Re: Menuju Ke Abstrak
Ditulis oleh rudibudiyono pada November 20, 2008, 06:56:59 PM
iya,
kebanyakan berbicara tentang teorema dan pembuktian

2) Re: Menuju Ke Abstrak
Ditulis oleh agoes pada November 30, 2008, 07:04:50 AM
memang banyak teorema dan pembuktian.
3) Re: Menuju Ke Abstrak
Ditulis oleh afif pada Desember 26, 2008, 08:08:47 PM
emang gitu sih, kan kita orang matematika. mau nggak mau harus berani mencoba untuk membuktikan teorema2 yang ada, yah...walaupun agak sulit he....
4) Re: Menuju Ke Abstrak
Ditulis oleh jhonson tamba pada April 10, 2009, 10:54:51 PM
saya kira juga bahwa abstrak matematika itu masih bersifat basic,tapi pasti sangat berguna untuk mengasah kecekatan dan ketanggapan untuk menganalisa banyak hal yang masih misterius di muka bumi ini (from: Mr. jhonson tamba)
5) Re: Menuju Ke Abstrak
Ditulis oleh Nabih pada Mei 23, 2009, 09:54:53 PM
Seberapa sulitkah aljabar abstrak, terus terang, saya baru menempuh aljabar linier
6) Re: Menuju Ke Abstrak
Ditulis oleh Chaos-chaos pada November 21, 2009, 08:44:04 PM
Pertama kali saya belajar aljabar abstrak saya sudah pusing duluan melihat aksioma2, teorema,lema,definisi wah2....dan nilai yg saya dapat ketika itu adalah "D"...Lalu di tahun kemarin saya mengulang dan akhirnya saya tau tips untuk belajar abstrak dengan menyenangkan yaitu dengan mencari sebisa mungkin aplikasinya...ternyata luar biasa summa luarbiasa,,aplikasinya sangat banyak digunakan sebagai contoh "security system" subset dari kriptografi yang didasari oleh teori bilangan grup,field,ring dll dan terlintas di pikaran saya sepertinya ini mirip kayak mencari siapa pelaku "dibalik pembunuhan x" ala detektif yang sangat saya sukai dan membuat saya makin tertantang.  Akhirnya dengan motivasi yang saya dapatkan ketika itu,,saya berhasil mendapat nilai "A" ;). Alhamdulillah....
7) Re: Menuju Ke Abstrak
Ditulis oleh r.a.n pada Desember 01, 2009, 04:17:47 PM
Rumit...euy...ora mudeng...
8) Re: Menuju Ke Abstrak
Ditulis oleh gery unib pada Desember 07, 2009, 08:20:01 PM
thanxs ya jaya selalu matematika
9) Re: Menuju Ke Abstrak
Ditulis oleh Freddy Lumbantoruan pada Januari 15, 2010, 11:56:36 PM
teruskan aja, matematika itu sangat penting, saya sangat butuh itu walaupun saya jurusan fisika, saya lebih dominan belajar matematika sebagai alat untuk perhitungan fisis.
thanks
10) Re: Menuju Ke Abstrak
Ditulis oleh NaufalIshartono pada Maret 22, 2010, 11:34:10 PM
wah...emang bener2 ABSTRAK...hahha
11) Re: Menuju Ke Abstrak
Ditulis oleh Mat Dillom pada Juni 10, 2010, 04:12:30 AM
emang rumit matematika. Ane pernah ngobrol ma mantan dosen salah satu perguruan tinggi negeri. Nendang orang aja mungkin secara
matematika. Ane cuma senyum aja. Terus dia celoteh soal perhitungannya. Ane bilang, nih gue diri dan nendang lo, gampang khan? :D.
Ngapain susah susah, kataku :D. Abis dia gak bisa ninggalin dunianya meski gak jadi dosen lagi :D.
12) Re: Menuju Ke Abstrak
Ditulis oleh winterwing pada Juli 14, 2010, 09:08:26 PM
david hume: hal-hal yang tak bisaditelusuri dari pengetahuan aindra yang sederhana seharusnya buang saja ke api.
jadi aku penganut empirisme. sederhana, riil dan berkaitan nyata. makanya sekarang aku belajar matemtika yang riil saja seperti matematika SD dan SMP. kalkulus itu mengerikan. juga bilangan kompleks, dll.
di dasar terus.
13) Re: Menuju Ke Abstrak
Ditulis oleh Kurniawan deGloman pada Juli 22, 2010, 01:08:25 PM
Teori n pembuktian
14) Re: Menuju Ke Abstrak
Ditulis oleh Balya pada Desember 16, 2010, 07:03:34 AM
???
15) Re: Menuju Ke Abstrak
Ditulis oleh Mohammad Atim pada Desember 22, 2010, 09:52:11 AM
pada teorema i kita bicara grup pada Z, mk operasi biner yang digunakan mestinya kan "+" dengan demikian untuk m bilangan bulat tertentu (bisa positif bisa negatif) apakah mZ artinya m + z untuk setiap z anggota Z, atau bisakah kita mendefinisikan operasi lain di luar operasi dalam grup Z?
16) Re: Menuju Ke Abstrak
Ditulis oleh hamka irama pada Mei 27, 2012, 04:39:49 PM
wah mantep men.... ini ilmu IT lanjutan . keren
Diskusi dan komentar dipindah ke forum.
Copyright © 2006-2014 Forum Sains Indonesia