Berita: Member baru? Bingung? Perlu bantuan? Silakan baca panduan singkat untuk ikut berdiskusi.

Selamat datang, Pengunjung. Silahkan masuk atau mendaftar. Apakah anda lupa aktivasi email?


Masuk dengan nama pengguna, kata sandi dan lama sesi

Penulis Topik: UTS 1 Mekanika #2  (Dibaca 1926 kali)

0 Anggota dan 1 Pengunjung sedang melihat topik ini.

Offline gtx

  • Mahasiswa
  • **
  • Tulisan: 41
  • IQ: 1
  • ForSa!
UTS 1 Mekanika #2
« pada: Oktober 18, 2012, 05:59:24 AM »
Sebuah sistem osilator harmonik satu dimensi dengan massa m=1,0 kg dan konstanta pegas k=10^4 N/m mengalami gaya redam F=-0,1v dan gaya penggerak/ gaya paksa F=10\cos\Omega t. Satuan gaya yang digunakan adalah newton.

a) Tuliskanlah persamaan diferensial bagi osilator tersebut.

b) Tentukanlah solusi khususnya.

c) Tentukan amplitudo osilasi untuk keadaan resonansi.

Offline gtx

  • Mahasiswa
  • **
  • Tulisan: 41
  • IQ: 1
  • ForSa!
Re:UTS 1 Mekanika #2
« Jawab #1 pada: November 10, 2012, 05:54:35 PM »
Solusi resmi :

a) Persamaan diferensial:

m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_0\cos(\Omega t)\ \rightarrow\ \ddot{x}+0,1\dot{x}+10^{4}x=10\cos(\Omega t).

b) Bentuk umum solusi khusus

x=A\cos(10t+\varphi)

Konstanta A dan \varphi ditentukan sebagai berikut.

x=A\cos(\Omega t+\varphi),\ \dot{x}=-A\Omega\sin(\Omega t+\varphi),\ \ddot{x}=-A\Omega^2\cos(\Omega t+\varphi).

Masukkan ke dalam persamaan diferensial

10\cos(\Omega t)=\ddot{x}+10^{-1}\dot{x}+10^4x

=-A\Omega^2\cos(\Omega t+\varphi)-10^{-1}A\Omega\sin(\Omega t+\varphi)+10^4A\cos(\Omega t+\varphi)

=(10^4-\Omega^2)A\{\cos(\Omega t)\cos\varphi-\sin(\Omega t)\sin\varphi\}-10^{-1}A\Omega\{\sin(\Omega t)\cos\varphi+\cos(\Omega t)\sin\varphi\}

=A\cos(\Omega t)[(10^4-\Omega^2)\cos\varphi-10^{-1}\Omega\sin\varphi]+A\sin(\Omega t)[-(10^4-\Omega^2)\sin\varphi-10^{-1}\Omega\cos\varphi]

Samakan bagian \cos(\Omega t) ruas kiri dan ruas kanan, demikian pula bagian \sin(\Omega t).

10=A[(10^4-\Omega^2)\cos\varphi-10^{-1}\Omega\sin\varphi]=-A[(\Omega^2-10^4)\cos\varphi+10^{-1}\Omega\sin\varphi]

0=[(10^{4}-\Omega^2)\sin\varphi+10^{-1}\Omega\cos\varphi]

\rightarrow\ \tan\varphi=\frac{10^{-1}\Omega}{\Omega^2-10^4},\ \sin\varphi=\frac{10^{-1}\Omega}{\sqrt{(\Omega^2-10^4)^2+10^{-2}\Omega^2}},\ \cos\varphi=\frac{\Omega^2-10^4}{\sqrt{(\Omega^2-10^4)^2+10^{-2}\Omega^2}}

\rightarrow\ A=-\frac{10}{(\Omega^2-10^4)\cos\varphi+10^{-1}\Omega\sin\varphi}=-\frac{10}{\sqrt{(\Omega^2-10^4)^2+10^{-2}\Omega^2}}

Jadi, solusi khususnya

x(t)=A\cos(\Omega t+\varphi)=-\frac{10\cos(\Omega t+\varphi)}{\sqrt{(\Omega^2-10^4)^2+10^{-2}\Omega^2}},\ \varphi=\tan^{-1}\frac{10^{-1}\Omega}{\Omega^2-10^4}

Amplitudo osilasi berkaitan dengan pemilihan \Omega yang memberikan nilai amplitudo maksimum (penyebut pada solusi khusus minimum):

A_{\text{maks}}\ \leftrightarrow\ \Omega^2=10000

\rightarrow\ A_{\text{maks}}=\frac{10}{\sqrt{10^{-2}\times 10^4}}=1 m.

 

Topik Terkait

  Subyek / Dimulai oleh Jawaban Tulisan terakhir
3 Jawaban
1981 Dilihat
Tulisan terakhir Oktober 29, 2012, 06:50:43 PM
oleh biobio
1 Jawaban
1583 Dilihat
Tulisan terakhir November 14, 2012, 10:26:21 PM
oleh gtx
0 Jawaban
1556 Dilihat
Tulisan terakhir Oktober 18, 2012, 06:13:05 AM
oleh gtx
1 Jawaban
1678 Dilihat
Tulisan terakhir Oktober 18, 2012, 03:30:12 PM
oleh mhyworld
0 Jawaban
1595 Dilihat
Tulisan terakhir Oktober 18, 2012, 06:25:47 AM
oleh gtx