UTS 1 Mekanika #2

gtx · Oktober 18, 2012, 04:59:24 AM

Sebuah sistem osilator harmonik satu dimensi dengan massa $m=1,0$ kg dan konstanta pegas $k=10^4$ N/m mengalami gaya redam $F=-0,1v$ dan gaya penggerak/ gaya paksa $F=10\cos\Omega t$ . Satuan gaya yang digunakan adalah newton.

a) Tuliskanlah persamaan diferensial bagi osilator tersebut.

b) Tentukanlah solusi khususnya.

c) Tentukan amplitudo osilasi untuk keadaan resonansi.

gtx · November 10, 2012, 05:54:35 PM

Solusi resmi :

a) Persamaan diferensial:

$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_0\cos(\Omega t)\ \rightarrow\ \ddot{x}+0,1\dot{x}+10^{4}x=10\cos(\Omega t)$ .

b) Bentuk umum solusi khusus

$x=A\cos(10t+\varphi)$

Konstanta $A$ dan $\varphi$ ditentukan sebagai berikut.

$x=A\cos(\Omega t+\varphi),\ \dot{x}=-A\Omega\sin(\Omega t+\varphi),\ \ddot{x}=-A\Omega^2\cos(\Omega t+\varphi)$ .

Masukkan ke dalam persamaan diferensial

$10\cos(\Omega t)=\ddot{x}+10^{-1}\dot{x}+10^4x$

$=-A\Omega^2\cos(\Omega t+\varphi)-10^{-1}A\Omega\sin(\Omega t+\varphi)+10^4A\cos(\Omega t+\varphi)$

$=(10^4-\Omega^2)A\{\cos(\Omega t)\cos\varphi-\sin(\Omega t)\sin\varphi\}-10^{-1}A\Omega\{\sin(\Omega t)\cos\varphi+\cos(\Omega t)\sin\varphi\}$

$=A\cos(\Omega t)[(10^4-\Omega^2)\cos\varphi-10^{-1}\Omega\sin\varphi]+A\sin(\Omega t)[-(10^4-\Omega^2)\sin\varphi-10^{-1}\Omega\cos\varphi]$

Samakan bagian $\cos(\Omega t)$ ruas kiri dan ruas kanan, demikian pula bagian $\sin(\Omega t)$ .

$10=A[(10^4-\Omega^2)\cos\varphi-10^{-1}\Omega\sin\varphi]=-A[(\Omega^2-10^4)\cos\varphi+10^{-1}\Omega\sin\varphi]$

$0=[(10^{4}-\Omega^2)\sin\varphi+10^{-1}\Omega\cos\varphi]$

$\rightarrow\ \tan\varphi=\frac{10^{-1}\Omega}{\Omega^2-10^4},\ \sin\varphi=\frac{10^{-1}\Omega}{\sqrt{(\Omega^2-10^4)^2+10^{-2}\Omega^2}},\ \cos\varphi=\frac{\Omega^2-10^4}{\sqrt{(\Omega^2-10^4)^2+10^{-2}\Omega^2}}$

$\rightarrow\ A=-\frac{10}{(\Omega^2-10^4)\cos\varphi+10^{-1}\Omega\sin\varphi}=-\frac{10}{\sqrt{(\Omega^2-10^4)^2+10^{-2}\Omega^2}}$

Jadi, solusi khususnya

$x(t)=A\cos(\Omega t+\varphi)=-\frac{10\cos(\Omega t+\varphi)}{\sqrt{(\Omega^2-10^4)^2+10^{-2}\Omega^2}},\ \varphi=\tan^{-1}\frac{10^{-1}\Omega}{\Omega^2-10^4}$

Amplitudo osilasi berkaitan dengan pemilihan $\Omega$ yang memberikan nilai amplitudo maksimum (penyebut pada solusi khusus minimum):

$A_{\text{maks}}\ \leftrightarrow\ \Omega^2=10000$

$\rightarrow\ A_{\text{maks}}=\frac{10}{\sqrt{10^{-2}\times 10^4}}=1$ m.

User

Cari

Check This Out

Topik Baru

Artikel Sains

Stats

Anggota

Stats

Pengguna Online

Aku Cinta ForSa

UTS 1 Mekanika #2

gtx

gtx