Penulis Topik: Penurunan rumus limit -> tak hingga (Dibaca 3856 kali)

Takagi Fujimaru · « **pada:** Juni 30, 2010, 03:29:41 PM »

Di SMA kelas XI tentu sudah diajarkan materi limit. Nah, aq punya penurunan rumus limit mendekati tak hingga. Let's check it out.

Pertama2, kita lihat flashback tentang materi limit mendekati tak hingga.
1. $\lim_{x\to\infty}ax=\infty$
2. $\lim_{x\to\infty}\frac ax=0$
3. $\lim_{x\to\infty}a^x=\infty$
4. $\lim_{x\to\infty}\left(\frac ab\right)^x= \left\{ {\text{\infty , a>b}\atop \text{0 , a<b}} \right.$
di mana a dan b adalah konstanta.

Nah, sekarang masuk 'rumus praktis'-nya.
1. Bentuk $\frac \infty \infty$

$\lim_{x\to\infty} \frac {ax^m + b}{cx^n + d}= \left\{ {\text{\infty , m>n}\atop \text{0 , m<n}} \right.$

$\lim_{x\to\infty} \frac {ax^m + b}{cx^m + d}=\frac ac$

Sepertinya untuk dua rumus ini tidak butuh penurunan kan?

2. Bentuk $\sqrt{\infty} - \sqrt{\infty}$

$\lim_{x\to\infty}\sqrt{ax^2 + bx + c} - \sqrt{px^2 + qx +r}=\left\{ {\text{\infty , a>p}\atop \text{-\infty , a<p}}\right.$

Untuk a=p, maka: $\lim_{x\to\infty}\sqrt{ax^2 + bx + c} - \sqrt{ax^2 + qx +r}=\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$ . Darimana nilai itu diperoleh? Mari kita lihat penurunannya. Jika diselesaikan secara manual, maka kita perlu mengalikan dengan sekawannya. Let's see...

$\lim_{x\to\infty}\sqrt{ax^2 + bx + c} - \sqrt{px^2 + qx +r}$

= $\lim_{x\to\infty}\sqrt{ax^2 + bx + c} - \sqrt{px^2 + qx +r} * \frac{\sqrt{ax^2 + bx + c} + \sqrt{px^2 + qx +r}}{\sqrt{ax^2 + bx + c} + \sqrt{px^2 + qx +r}}$

= $\lim_{x\to\infty}\frac{ax^2 + bx + c - \left(px^2 + qx +r\right)} {\sqrt{ax^2 + bx + c} + \sqrt{px^2 + qx +r}}$

= $\lim_{x\to\infty}\frac{\left(a-p\right)x^2 + \left(b-q\right)x + \left(c-r\right)} {\sqrt{x^2\left(a + \frac b{x} + \frac c{x^2}\right)} + \sqrt{x^2\left(p + \frac q{x} + \frac r{x^2}\right)}}$

= $\lim_{x\to\infty}\frac{x \left{\left(a-p\right)x + \left(b-q\right) + \frac{c-r}{x} \right}} {x\sqrt{a + \frac b{x} + \frac c{x^2}} + x\sqrt{p + \frac q{x} + \frac r{x^2}}}$

= $\lim_{x\to\infty}\frac{\cancel{x} \left{\left(a-p\right)x + \left(b-q\right) + \frac{c-r}{x} \right}} {\cancel{x}\left(\sqrt{a + \frac b{x} + \frac c{x^2}} + \sqrt{p + \frac q{x} + \frac r{x^2}}\right)}$

= $\lim_{x\to\infty}\frac{\left(a-p\right)x + \left(b-q\right) + \frac{c-r}{x}} {\sqrt{a + \frac b{x} + \frac c{x^2}} + \sqrt{p + \frac q{x} + \frac r{x^2}}}$

Nah, berdasarkan flashback poin dua, akan di dapat:
$\lim_{x\to\infty}\frac{\left(a-p\right)x + \left(b-q\right) + \frac{c-r}{x}} {\sqrt{a + \frac b{x} + \frac c{x^2}} + \sqrt{p + \frac q{x} + \frac r{x^2}}}=\left\{ {\text{\infty , a>p}\atop \text{-\infty , a<p}}\right.$

Untuk a=p maka:
$\lim_{x\to\infty}\frac{\left(a-p\right)x + \left(b-q\right) + \frac{c-r}{x}} {\sqrt{a + \frac b{x} + \frac c{x^2}} + \sqrt{ + \frac q{x} + \frac r{x^2}}}$

= $\lim_{x\to\infty}\frac{\left(a-a\right)x + \left(b-q\right) + \frac{c-r}{x}} {\sqrt{a + \frac b{x} + \frac c{x^2}} + \sqrt{a + \frac q{x} + \frac r{x^2}}}$

= $\lim_{x\to\infty}\frac{0*x + \left(b-q\right) + \frac{c-r}{x}}{\sqrt{a + \frac b{x} + \frac c{x^2}} + \sqrt{a + \frac q{x} + \frac r{x^2}}}$

= $\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$

Dengan cara yang sama, diperoleh:

$\lim_{x\to\infty}\sqrt{ax^m + bx^n + c} - \sqrt{ax^m + qx^n +r}=\frac {b-q}{2\sqrt{a}}$ di mana $m=2n$ dan $m>0$

Terkadang, muncul soal seperti ini:

$\lim_{x\to\infty}\left(ax +b\right) - \sqrt{px^2 + qx +r}=...$

Caranya, agar berlaku rumus2 di atas, lakukan langkah seperti ini:

$\lim_{x\to\infty}\left(ax +b\right) - \sqrt{px^2 + qx +r}$

= $\lim_{x\to\infty}\sqrt{\left(ax +b\right)^2} - \sqrt{px^2 + qx +r}$

= $\lim_{x\to\infty}\sqrt{ax^2 + \left(2ab\right)x + \left(b^2\right)} - \sqrt{ax^m + qx^n +r}$

Nah, jika sudah dalam bentuk seperti ini, tinggal 'rumus-masuk-jadi' kan?

Yah, ini dulu materi yg kita bahas. Semoga bermanfaat...

(Pengalaman pertama nulis MimeTex. Nulis gini aja makan waktu 1 jam...

)

Fachni Rosyadi · « **Jawab #1 pada:** April 04, 2011, 06:19:25 PM »

Gimana rumusnya kalo bentuk limitnya begini:

$\lim_{x\to\infty}\ (\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{px^3+qx^2+rx+s})$

dengan $a=p$ ?

mhyworld · « **Jawab #2 pada:** Desember 08, 2011, 06:06:26 PM »

3.

ini hanya berlaku untuk a lebih dari 1.
jika a=1, hasilnya = 1
jika -1 < a < 1, hasilnya = 0.
jika a = -1, hasilnya indefinite (fluktuasi antara -1 dan 1) http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-1%29^x
jika a < -1, hasilnya indefinite (fluktuasi antara -~ dan ~)

User

Artikel Sains

Aku Cinta ForSa

Pranala Luar

ShoutBox!

fajri

haman11

GhostInMachine

army.fice

lustforscience

exile_rstd

exile_rstd

Farabi

exile_rstd

N E R R O

Penulis Topik: Penurunan rumus limit -> tak hingga (Dibaca 3856 kali)

Takagi Fujimaru

Penurunan rumus limit -> tak hingga

Fachni Rosyadi

Re: Penurunan rumus limit -> tak hingga

mhyworld

Re:Penurunan rumus limit -> tak hingga