Penulis Topik: Penurunan rumus limit -> tak hingga (Dibaca 7733 kali)

Takagi Fujimaru · « **pada:** Juni 30, 2010, 03:29:41 PM »

Di SMA kelas XI tentu sudah diajarkan materi limit. Nah, aq punya penurunan rumus limit mendekati tak hingga. Let's check it out.

Pertama2, kita lihat flashback tentang materi limit mendekati tak hingga.
1. $\lim_{x\to\infty}ax=\infty$
2. $\lim_{x\to\infty}\frac ax=0$
3. $\lim_{x\to\infty}a^x=\infty$
4. $\lim_{x\to\infty}\left(\frac ab\right)^x= \left\{ {\text{\infty , a>b}\atop \text{0 , a<b}} \right.$
di mana a dan b adalah konstanta.

Nah, sekarang masuk 'rumus praktis'-nya.
1. Bentuk $\frac \infty \infty$

$\lim_{x\to\infty} \frac {ax^m + b}{cx^n + d}= \left\{ {\text{\infty , m>n}\atop \text{0 , m<n}} \right.$

$\lim_{x\to\infty} \frac {ax^m + b}{cx^m + d}=\frac ac$

Sepertinya untuk dua rumus ini tidak butuh penurunan kan?

2. Bentuk $\sqrt{\infty} - \sqrt{\infty}$

$\lim_{x\to\infty}\sqrt{ax^2 + bx + c} - \sqrt{px^2 + qx +r}=\left\{ {\text{\infty , a>p}\atop \text{-\infty , a<p}}\right.$

Untuk a=p, maka: $\lim_{x\to\infty}\sqrt{ax^2 + bx + c} - \sqrt{ax^2 + qx +r}=\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$ . Darimana nilai itu diperoleh? Mari kita lihat penurunannya. Jika diselesaikan secara manual, maka kita perlu mengalikan dengan sekawannya. Let's see...

$\lim_{x\to\infty}\sqrt{ax^2 + bx + c} - \sqrt{px^2 + qx +r}$

= $\lim_{x\to\infty}\sqrt{ax^2 + bx + c} - \sqrt{px^2 + qx +r} * \frac{\sqrt{ax^2 + bx + c} + \sqrt{px^2 + qx +r}}{\sqrt{ax^2 + bx + c} + \sqrt{px^2 + qx +r}}$

= $\lim_{x\to\infty}\frac{ax^2 + bx + c - \left(px^2 + qx +r\right)} {\sqrt{ax^2 + bx + c} + \sqrt{px^2 + qx +r}}$

= $\lim_{x\to\infty}\frac{\left(a-p\right)x^2 + \left(b-q\right)x + \left(c-r\right)} {\sqrt{x^2\left(a + \frac b{x} + \frac c{x^2}\right)} + \sqrt{x^2\left(p + \frac q{x} + \frac r{x^2}\right)}}$

= $\lim_{x\to\infty}\frac{x \left{\left(a-p\right)x + \left(b-q\right) + \frac{c-r}{x} \right}} {x\sqrt{a + \frac b{x} + \frac c{x^2}} + x\sqrt{p + \frac q{x} + \frac r{x^2}}}$

= $\lim_{x\to\infty}\frac{\cancel{x} \left{\left(a-p\right)x + \left(b-q\right) + \frac{c-r}{x} \right}} {\cancel{x}\left(\sqrt{a + \frac b{x} + \frac c{x^2}} + \sqrt{p + \frac q{x} + \frac r{x^2}}\right)}$

= $\lim_{x\to\infty}\frac{\left(a-p\right)x + \left(b-q\right) + \frac{c-r}{x}} {\sqrt{a + \frac b{x} + \frac c{x^2}} + \sqrt{p + \frac q{x} + \frac r{x^2}}}$

Nah, berdasarkan flashback poin dua, akan di dapat:
$\lim_{x\to\infty}\frac{\left(a-p\right)x + \left(b-q\right) + \frac{c-r}{x}} {\sqrt{a + \frac b{x} + \frac c{x^2}} + \sqrt{p + \frac q{x} + \frac r{x^2}}}=\left\{ {\text{\infty , a>p}\atop \text{-\infty , a<p}}\right.$

Untuk a=p maka:
$\lim_{x\to\infty}\frac{\left(a-p\right)x + \left(b-q\right) + \frac{c-r}{x}} {\sqrt{a + \frac b{x} + \frac c{x^2}} + \sqrt{ + \frac q{x} + \frac r{x^2}}}$

= $\lim_{x\to\infty}\frac{\left(a-a\right)x + \left(b-q\right) + \frac{c-r}{x}} {\sqrt{a + \frac b{x} + \frac c{x^2}} + \sqrt{a + \frac q{x} + \frac r{x^2}}}$

= $\lim_{x\to\infty}\frac{0*x + \left(b-q\right) + \frac{c-r}{x}}{\sqrt{a + \frac b{x} + \frac c{x^2}} + \sqrt{a + \frac q{x} + \frac r{x^2}}}$

= $\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$

Dengan cara yang sama, diperoleh:

$\lim_{x\to\infty}\sqrt{ax^m + bx^n + c} - \sqrt{ax^m + qx^n +r}=\frac {b-q}{2\sqrt{a}}$ di mana $m=2n$ dan $m>0$

Terkadang, muncul soal seperti ini:

$\lim_{x\to\infty}\left(ax +b\right) - \sqrt{px^2 + qx +r}=...$

Caranya, agar berlaku rumus2 di atas, lakukan langkah seperti ini:

$\lim_{x\to\infty}\left(ax +b\right) - \sqrt{px^2 + qx +r}$

= $\lim_{x\to\infty}\sqrt{\left(ax +b\right)^2} - \sqrt{px^2 + qx +r}$

= $\lim_{x\to\infty}\sqrt{ax^2 + \left(2ab\right)x + \left(b^2\right)} - \sqrt{ax^m + qx^n +r}$

Nah, jika sudah dalam bentuk seperti ini, tinggal 'rumus-masuk-jadi' kan?

Yah, ini dulu materi yg kita bahas. Semoga bermanfaat...

(Pengalaman pertama nulis MimeTex. Nulis gini aja makan waktu 1 jam...

)

Fachni Rosyadi · « **Jawab #1 pada:** April 04, 2011, 06:19:25 PM »

Gimana rumusnya kalo bentuk limitnya begini:

$\lim_{x\to\infty}\ (\sqrt[3]{ax^3+bx^2+cx+d}-\sqrt[3]{px^3+qx^2+rx+s})$

dengan $a=p$ ?

mhyworld · « **Jawab #2 pada:** Desember 08, 2011, 06:06:26 PM »

3. $\lim_{x\to\infty}a^x=\infty$

ini hanya berlaku untuk a lebih dari 1.
jika a=1, hasilnya = 1
jika -1 < a < 1, hasilnya = 0.
jika a = -1, hasilnya indefinite (fluktuasi antara -1 dan 1) http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-1%29^x
jika a < -1, hasilnya indefinite (fluktuasi antara -~ dan ~)

trfrm · « **Jawab #3 pada:** Maret 02, 2013, 09:27:38 PM »

Kutip dari: Takagi Fujimaru pada Juni 30, 2010, 03:29:41 PM

1. $\lim_{x\to\infty}ax=\infty$
2. $\lim_{x\to\infty}\frac ax=0$
3. $\lim_{x\to\infty}a^x=\infty$
4. $\lim_{x\to\infty}\left(\frac ab\right)^x= \left\{ {\text{\infty , a>b}\atop \text{0 , a<b}} \right.$
di mana a dan b adalah konstanta.

Permisi ... . Sekedar koreksi saja ... .

Mungkin yang dimaksud adalah sebagai berikut ... .

Nomor 1

$\lim_{x\rightarrow\infty}(ax)=\left\{\begin{array}{ll}\infty&\textrm{jika}\,a>0\\0&\textrm{jika}\,a=0\\-\infty&\textrm{jika}\,a<0\end{array}\right.$ ... .

Nomor 3

$\lim_{x\rightarrow\infty}a^x=\left\{\begin{array}{ll}\infty&\textrm{jika}\,a>1\\\\1&\textrm{jika}\,a=1\\0&\textrm{jika}\,-1<a<1\end{array}\right.$ ... .

Apabila $a\leq-1$ , mungkin nilai $\lim_{x\rightarrow\infty}a^x$ tidak terdefinisi ... .

Maaf kalau salah ... .

User

Artikel Sains

Aku Cinta ForSa

Pranala Luar

ShoutBox!

lia578

machmud

edipurwanto0505

randy13

mustiyanidewi

syx

skuler

jeddew

nurul hidayah

Malik05

Penulis Topik: Penurunan rumus limit -> tak hingga (Dibaca 7733 kali)

Takagi Fujimaru

Penurunan rumus limit -> tak hingga

Fachni Rosyadi

Re: Penurunan rumus limit -> tak hingga

mhyworld

Re:Penurunan rumus limit -> tak hingga

trfrm

Re:Penurunan rumus limit -> tak hingga

Topik Terkait