Gunakan MimeTex/LaTex untuk menulis simbol dan persamaan matematika.

Welcome to Forum Sains Indonesia. Please login or sign up.

Maret 28, 2024, 09:16:12 PM

Login with username, password and session length

Topik Baru

Artikel Sains

Anggota
Stats
  • Total Tulisan: 139,653
  • Total Topik: 10,405
  • Online today: 116
  • Online ever: 1,582
  • (Desember 22, 2022, 06:39:12 AM)
Pengguna Online
Users: 0
Guests: 96
Total: 96

Aku Cinta ForSa

ForSa on FB ForSa on Twitter

Bantuin Dumzz

Dimulai oleh violin, Juli 28, 2008, 10:11:25 AM

« sebelumnya - berikutnya »

0 Anggota dan 1 Pengunjung sedang melihat topik ini.

violin

Tolong dong bantuin selesain ni soal.... ;)

Udah buntu ni... ???

Diberikan barisan (xn) dengan 0 < x1 = a < x2 = b

Dan xn+2 = xn+1 + xn       n = 1,2,3,....

Tinjau barisan rn dengan
   rn = (xn+1) / xn      n = 1,2,3,...

a.   Tunjukkan bahwa 1 < rn < 2 untuk n = 2,3,4,...
b.   Selidiki kekonvergenan (rn)

reborn

Wah, ini kalo ga salah dibahas di Kalkulus ya, soal konvergensi barisan. Pake delta epsilon si Cauchy gitu ya?
Yang udah dikerjain sampe mana nih?

violin

Yang bagian a udah kelar... :)

Tapi yang suruh buktiin kekonvergenan blm.....

Aku belum ambil mata kuliah itu..

tapi udah disuruh ngerjain...

Dosen yang aneh.... ???

reborn

Hasil a nya udah dapet ya?
Ide konvergensi : suatu barisan {Sn} dikatakan konvergen ke arah bilangan tertentu jika untuk sembarang bilangan positif epsilon (sekecil apa pun), terdapat sebuah bilangan positif m sedemikian sehingga untuk n>m maka |S-Sn|<delta.

Nah, untuk uji konvergensi, ini deret positif kan ya? Bisa diuji pake beberapa cara : Uji integral (nyatakan dalam bentuk fungsi trus integralkan dari -~ sampai ~), uji perbandingan (dengan deret yang diketahui konvergen), atau uji rasio (konvergen jika lim Sn+1/Sn < 1).

Mtk Kerajaan Mataram

Halo hola ini muncul lagi....
Jadi barisan <xn>=a,b,a+b,a+2b,2a+3b,3a+4b,...
Untuk n>3, maka <xn>=<(n-2)a+(n-1)b)>
Kemudian barisan
<rn>=b/a,(a+b)/b,(a+2b)/(a+b),(2a+3b)/(a+2b),(3a+4b)/(2a+3b),...
Untuk n>3, maka
<rn>=<[(n-2)a+(n-1)b)]/[(n-3)a+(n-2)b)]>
Semuanya adalah dengan a<b... oke iya kan ya dong.
Salam.

reborn

#5
Nah tuh. Berarti pertanyaan a dan b terjawab sudah ;D
Btw, ga minat pake LateX? lebih enak bacanya lho kalo pake LateX. Tinggal pake tag [tex][/tex] kok
Di sini lengkapnya : http://www.forumsains.com/pengumuman/fitur-mimetex/

Mtk Kerajaan Mataram

Salam
Terima kasih atas mimitex-nya, baru dipelajari...
Ternyata saya salah kemarin, yg benar adalah :
<xn>=a,b,a+b,a+2b,2a+3b,3a+5b,5a+8b, ...
<rn>=b/a,(a+2b)/(a+b),(2a+3b)/(a+2b),(3+5b)/(2a+3b),(5a+8b)/(3a+5b), ...
Ini persoalaannya jadi lebih rumit untuk yang (b)--menyelidiki kekonvergenan <rn>
Saya baru mempunyai hipotesa, yaitu barisan <rn> mulai pada suatu n=N akan bersifat sbb:

rN-1<rN+2-1<rN+4-1< . . . . . .<rN+5-1<rN+3-1<rN+1-1
atau  yg senada dengannya

hipotesa ini didasarkan pada barisan berikut :
<Un>=1/1-1,2/1-1,3/2-1,5/3-1,8/5-1,13/8-1,21/13-1....
Penyebut dan pembilang adalah suku-suku barisan fibbonaci berturutan.
<Un>=0,1,1/2,2/3,3/5,5/8,8/13,...
dimana
3/5<8/13<21/34<..........<13/21<5/8
Kalau hipotesa betul, maka
|rN-rN+1|>|rN+2-rN+3|>|rN+4-rN+5|>......dst

Oke gitu rojer ganti...


Mtk Kerajaan Mataram

Wah kayaknya sudah ndak ada yang minat yopik ini yaa..
Baik kulanjutkan dulu....
Kemaren adalah :
Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada Agustus 08, 2008, 07:25:48 AM
<xn>=a,b,a+b,a+2b,2a+3b,3a+5b,5a+8b, ...
<rn>=b/a,a+b/a,(a+2b)/(a+b),(2a+3b)/(a+2b),(3+5b)/(2a+3b),(5a+8b)/(3a+5b), ...
Kalau masing2 suku dari <rn> dikurangi 1 lalu kita namakan barisan <wn> maka
<wn>=\frac{b-a}{a},\frac{a}{b},\frac{b}{a+b},\frac{a+b}{a+2b},\frac{a+2b}{2a+3b}, . . .
<wn>=\frac{b-a}{a},\frac{x1}{x2},\frac{x2}{x3},\frac{x3}{x4},...

Kita mau selidiki untuk sembarang n>=1 tentang hubungan ketaksamaan dari
xn / xn+1 , xn+1 / xn+2, dan xn+2 / xn+3. Untuk memudahkan kita misalkan u=xn+1 dan v=xn+2, sehingga xn=v-u dan xn+3=v+u, ini dikarenakan oleh :
Kutip dari: violin pada Juli 28, 2008, 10:11:25 AM
xn+2 = xn+1 + xn       n = 1,2,3,....
Jadi ketiga pecahan bisa ditulis dengan
\frac{v-u}{u}\frac{u}{v}, dan \frac{v}{v+u}

Kita main logika sekarang,
pertama :
Jika \frac{v-u}{u} > \frac{u}{v}, maka
(v-u)v>u2, lalu v2-uv>u2 dan v2>uv+u2 lalu v2>u(v+u).....(i), juga v2-u2>uv dan (v-u)(v+u)>uv....(ii)
Dari (i) diperoleh \frac{v}{v+u} > \frac{u}{v}
Dari (ii) diperoleh \frac{v}{v+u} < \frac{v-u}{u}
Jadi jika xn / xn+1 < xn+1 / xn+2, maka
xn / xn+1 < xn+2 / xn+3 < xn+1 / xn+2 .............(*)

Kedua :
Dengan cara yang sama diperoleh
Jadi jika xn / xn+1 > xn+1 / xn+2, maka
xn / xn+1 > xn+2 / xn+3 > xn+1 / xn+2 .............(**)

Kembali ke atas, karena \frac{x1}{x2}<\frac{x2}{x3}, maka menurut (*) diperoleh
\frac{x1}{x2}<\frac{x3}{x4}<\frac{x2}{x3}
Lalu karena \frac{x3}{x4}<\frac{x2}{x3} dan menurut (**) diperoleh
\frac{x1}{x2} < \frac{x3}{x4} < \frac{x4}{x5}\frac{x2}{x3}
Kemudian karena \frac{x3}{x4} < \frac{x4}{x5} dan menurut (*) diperoleh
\frac{x1}{x2} < \frac{x3}{x4} <\frac{x5}{x6} < \frac{x4}{x5}\frac{x2}{x3}

Dst..dst.....akhirnya diperoleh
\frac{x1}{x2} < \frac{x3}{x4} <\frac{x5}{x6} < ...............< \frac{x4}{x5}\frac{x2}{x3}

Ini dulu sajalah...pegel aku nulisnya.........

Mtk Kerajaan Mataram

Sudahlah saya terusin biar tuntas.....
Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada Agustus 11, 2008, 11:53:07 AM
\frac{x1}{x2} < \frac{x3}{x4} <\frac{x5}{x6} < ...............< \frac{x6}{x7} < \frac{x4}{x5}\frac{x2}{x3}
Kita buat barisan baru <Dn> yang suku-sukunya adalah :
D1=\frac{x2}{x3} - \frac{x1}{x2}
D2=\frac{x4}{x5} - \frac{x3}{x4}
D3=\frac{x6}{x7} - \frac{x5}{x6}
.
.
.
Dn=[x2n / x2n+1] - [x2n-1 / x2n]

Misalkan lagi x2n-1= u dan x2n = v, sehingga x2n+1=u+v.
Dan Dn=\frac{v}{u+v} - \frac{u}{v}=\frac{v^2-u^2-uv}{v(u+v)}
Dan karena x2(n+1)=x2n+2=u+2v,x2(n+1)+1=2u+3v, juga x2(n+1)+2=3u+5v, maka :
Dn+1=\frac{2u+3v}{3u+5v} - \frac{u+2v}{2u+3v}=\frac{v^2-u^2-uv}{(2u+3v)(3u+5v)}
Bisa dipahami secara induksi matematik, bahwa pembilangnya konstan, kemudian penyebutnya meningkat, dengan membayangkan pembandingan barisan ini dengan barisan <\frac{1}{n^2}> , kita bisa menuliskan :
Dn+1={Konstanta} / {(x2(n+1)+1)(x2(n+1)+2)}
Kemudian ini tergantung x1=a dan x2=b, kalau mereka bil integer positif maka Dn langsung kelihatan konvergen ke 0, karena
Dn < {Konstanta} / {(x2n)^2}<{Konstanta} / {n^2}, yang dimana {Konstanta} / {n^2} menuju ke 0 untuk n sampai tak hingga.
Sedangkan untuk untuk a dan b yang bilangan lebih kecil dari satu, maka Dn juga akan konvergen ke 0 hanya pemikirannya barisan akan monoton menurun setelah sampai pada suatu n=N.

Apa artinya Dn konvergen ke 0 ?
Kita kembali ke atas, yaitu
Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada Agustus 11, 2008, 11:53:07 AM
\frac{x1}{x2} < \frac{x3}{x4} <\frac{x5}{x6} < ...............< \frac{x6}{x7} < \frac{x4}{x5}\frac{x2}{x3}

Misal barisan \frac{x1}{x2}, \frac{x3}{x4}, \frac{x5}{x6},....
yang naik monoton berbatas atas terkecil A
Misal \frac{x2}{x3}, \frac{x4}{x5}, \frac{x6}{x7}, . . . yang turun monoton dan mempunyai batas bawah B
Karena Dn konvergen ke 0, maka A=B.
Itu artinya barisan <rn> yang kita selidiki akan menuju pada suatu titik dengan cara pendekatan dari kiri lalu kanan lalu lalu kanan semakin dekat - semakin dekat. Dan approaching seperti ini dibenarkan dalam kekonvergenan.
Jadi memang barisan <rn> konvergen.
Oke tuntas sudah untuk sebatas soal di atas.

izna

Wah...Mtk Kerajaan Mataram hebat ya, rajin bgt ngerjain itu soal,.. ;D
Saluuutttttttt dech...,yo SMANGAT ya !! ;)
DeNgan CiNta HiDup jaDi InDah, DeNgan iLmu HiDup jaDi MuDah, DeNgan iMan HiDup jaDi TerArah

violin

Semuanya....

Terima kasih yaow udah bantuin kerjain soalnya... ;)

Ternyata ini salah satu materi olimpiade Matematika mahasiswa,,

Maklum mahasiswa baru,,.jadi nggak tau apa aja materi olimpiade. ;D

Aku juga bingung,anak tahun pertama kok disuruh ikutan... ???

Mtk Kerajaan Mataram

Siapa tahu mahasiswa baru bisa menyelesaikannya....menurut saya... hanya bisa ditentukan nanti mana yang novice dan mana yang expert dalam menganalisa permasalahan.
Mungkin dosennya melihat kemungkinan itu pada anda lho..
Oke Salam

violin

Wahhh.....

Jadi malu niey.... :-[

@ Mtk Kerajaan Mataram

Thanks yaow.... ;)

Santri

Alo Salam Aku anggota baru..
kk semua hebat yah kl aku mah bener ga bisa soalnya aku masih SMA
hheeheee
Matematika Mataram minta bantuan dong..
kl UAN itu soal yang sering keluar itu apa..?
and kl kita ikut olimpiade MTK yang harus diperhaikan itu apa sih..!
kl ada saran tolong kirim ke [email protected]
thx before.... :kribo:

Monox D. I-Fly

Kutip dari: Santri pada Oktober 20, 2008, 10:05:16 PM
Alo Salam Aku anggota baru..
kk semua hebat yah kl aku mah bener ga bisa soalnya aku masih SMA
hheeheee
Matematika Mataram minta bantuan dong..
kl UAN itu soal yang sering keluar itu apa..?
and kl kita ikut olimpiade MTK yang harus diperhaikan itu apa sih..!
kl ada saran tolong kirim ke [email protected]
thx before.... :kribo:

Bisa dilihat di [pranala luar disembunyikan, sila masuk atau daftar.]. Tapi kamu tanyanya tahun 2008 ya, pasti sekarang udah sarjana atau bahkan udah nikah...
Gambar di avatar saya adalah salah satu contoh dari kartu Mathematicards, Trading Card Game buatan saya waktu skripsi.