Fakta-fakta Menarik Seputar Matematika


Matematika (dari bahasa Yunani: µa??µat??? - mathematiká) adalah studi besaran, struktur, ruang, relasi, perubahan, dan beraneka topik pola, bentuk, dan entitas. Para matematikawan mencari pola dan dimensi-dimensi kuantitatif lainnya, berkenaan dengan bilangan, ruang, ilmu pengetahuan alam, komputer, abstraksi imajiner, atau entitas-entitas lainnya. Dalam pandangan formalis, matematika adalah pemeriksaan aksioma yang menegaskan struktur abstrak menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; pandangan lain tergambar dalam filsafat matematika. Para matematikawan merumuskan konjektur dan kebenaran baru melalui deduksi yang menyeluruh dari beberapa aksioma dan definisi yang dipilih dan saling bersesuaian.
Euclid, matematikawan Yunani, abad ke-3 SM, seperti yang dilukiskan oleh Raphael di dalam detail ini dari The School of Athens.

Terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika hadir secara objektif di alam menurut kemurnian logikanya, atau apakah objek-objek itu buatan manusia dan terpisah dari kenyataan. Seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sebagai "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting". Albert Einstein, di pihak lain, menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."

Melalui penggunaan abstraksi dan penalaran logika, matematika dikembangkan dari pencacahan, penghitungan, pengukuran, dan pengkajian sistematik terhadap bentuk dan gerak objek-objek fisika. Pengetahuan dan penggunaan matematika dasar selalu menjadi sifat melekat dan bagian utuh dari kehidupan individual dan kelompok. Pemurnian gagasan-gagasan dasar dapat diketahui di dalam naskah-naskah matematika yang bermula di dunia Mesir kuno, Mesopotamia, India, Cina, Yunani, dan Islam. Argumentasi kaku pertama muncul di dalam Matematika Yunani, terutama di dalam buku Euclid, Unsur-Unsur. Pengembangan berlanjut di dalam ledakan yang tidak menenteramkan hingga periode Renaisans pada abad ke-16, ketika pembaharuan matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru, mengarah pada percepatan penelitian yang menerus hingga Kini.

Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu pengetahuan alam, rekayasa, medis, dan ilmu pengetahuan sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru. Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.

Secara umum, semakin kompleks suatu gejala, semakin kompleks pula alat (dalam hal ini jenis matematika) yang melalui berbagai perumusan (model matematikanya) diharapkan mampu untuk mendapatkan atau sekadar mendekati penyelesaian eksak seakurat-akuratnya. Jadi, tingkat kesulitan suatu jenis atau cabang matematika bukan disebabkan oleh jenis atau cabang matematika itu sendiri, melainkan disebabkan oleh sulit dan kompleksnya gejala yang penyelesaiannya diusahakan dicari atau didekati oleh perumusan (model matematikanya) dengan menggunakan jenis atau cabang matematika tersebut. Sebaliknya berbagai gejala fisika yang mudah diamati, misalnya jumlah penduduk di seluruh Indonesia, tidak memerlukan jenis atau cabang matematika yang canggih. Kemampuan aritmetika sudah cukup untuk mencari penyelesaian (jumlah penduduk) dengan keakuratan yang cukup tinggi.

Mathematics is a universal language of logic. A sequence of propositions, supported by definitions.

saya mau numpang nambahin fakta menarik.

Kutip dari: Chanz99 pada Oktober 18, 2011, 02:32:31 PM
Albert Einstein, di pihak lain, menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."

saya pernah baca disebuah buku, saat SMP Einstein pernah membuktikan bahwa 1=2. gini caranya :

(a^2 + a^2) = (a^2 + a^2)
a(a+a) = (a+a)(a-a) ; *coret (a-a)
a = a+a
kalau a=1, berarti :
1 = 1+1   ---> 1 = 2

Kutip dari: Mr.Smiley pada Oktober 25, 2011, 06:15:39 PM
saya mau numpang nambahin fakta menarik.

saya pernah baca disebuah buku, saat SMP Einstein pernah membuktikan bahwa 1=2. gini caranya :

(a^2 + a^2) = (a^2 + a^2)
a(a+a) = (a+a)(a-a) ; *coret (a-a)
a = a+a
kalau a=1, berarti :
1 = 1+1   ---> 1 = 2

kok (a^2+a^2) = (a+a)(a-a) ?? gimana caranya?

oh, mungkin maksudnya: (a^2 - a^2) = (a^2 - a^2)
a*(a - a) = (a + a)*(a - a), terus (a - a) dicoret
nah di sini masalahnya, "dicoret" itu kan maksudnya kedua ruang dibagi oleh permbagi tertentu sehingga hasilnya 1, karena kali 1 ya bilangan itu sendiri jadinya 'dicoret' (istilah saja).
kenyataannya:
a*(a - a) / (a-a) = (a + a)*(a - a) / (a-a) tidak bisa menjadi a = (a + a), karena (a - a)/(a - a) != 1, karena 0/0 tidak selalu =1 melainkan bisa berapa saja.

Kutip dari: Mr.Smiley pada Oktober 25, 2011, 06:15:39 PM
...
a(a+a) = (a+a)(a-a) ; *coret (a-a)
...

ralat:
yang di-bold seharusnya (a-a)

@Prof kesatriabajuhitam
iya, itu kan cuma main-mainnya om Einstein.

Saya pernah baca artikel, pembagian dengan 0 disebut undefined (tak terdefinisi).
Tetapi pada kasus khusus 0/0, itu disebut indetermined (tak tentu).

Dengan pendekatan limit :  Limit x -> 0, maka x/x = 1, dan 8x/x = 8

Benar gak sih pernyataan ini?

Subforum ini lebih bahas ke logikanya ya?

hebat-hebat......
aku cari topik dulu yang seru....

Kutip dari: Fariz Abdullah pada Oktober 26, 2011, 01:10:55 PM
Saya pernah baca artikel, pembagian dengan 0 disebut undefined (tak terdefinisi).
Tetapi pada kasus khusus 0/0, itu disebut indetermined (tak tentu).

Dengan pendekatan limit :  Limit x -> 0, maka x/x = 1, dan 8x/x = 8

Benar gak sih pernyataan ini?

Afaik, pembagian dg 0 hasilnya infinite, alias tak hingga. Kecuali jika yg dibagi juga 0.

bisa dijelaskan lebih lanjut mengapa 0/0 tak tentu sedang k/0 tak terdefinisi dengan k bilangan real selain nol.

apa itu tak terdefinisi?

(a-a)/(a-a) tdk = 1. padahal dengan persamaan aljabar biasa hasilnya satu. mungkin harus ada syarat tertentu ya dimana a-a penyebut dibawah tdk sama dengan 0. bener gak

Kutip dari: mhyworld pada Maret 18, 2012, 10:28:06 PM
Afaik, pembagian dg 0 hasilnya infinite, alias tak hingga. Kecuali jika yg dibagi juga 0.

Afaik, dalam Arimetika dan Aljabar, pembagian dengan nol adalah undefined..Mengingat misalnya 2/0 = n, maka tidak ada sembarang bilangan n yang memenuhi n x 0 = 2.

Perkecualian ada pada 0/0 yang bisa menghasilkan sembarang bilangan (undetermined)..Mengingat jika 0/0 = n, maka sembarang bilangan n bisa memenuhi n x 0 = 0.

Memang jika kita perhatikan grafik y = 1/x, maka y akan mendekati infinity (asymptote), untuk x mendekati 0.

Pada computer programming, pembagian dengan nol akan menghasilkan +- Infinity..Sumber : [pranala luar disembunyikan, sila masuk atau daftar.]

Bagaimanapun, jika n/0 = infinity, menimbulkan beberapa problem filosofis :

1. Nampaknya Infinity adalah konsep abstract mengingat Infinity bukan bilangan riil..Sebagai contoh : infinity + infinity = infinity, bukannya 2 (infinity).

2. Jika Anda memperlakukan infinity sebagai bilangan, dan Anda mengatakan bahwa 3/0 = infinity, maka berapakah 6/0? apakah menghasilkan bilangan yang dua kali lebih besar, atau sama besarnya?

3. Jika 12 roti dibagi di antara 3 anak, maka tiap anak akan mendapat 4 roti. Jika 0 roti dibagi di antara 3 anak, maka tiap anak akan mendapat 0 roti. Tetapi bagaimana menjawab : jika 12 roti dibagi 0 anak, berapa roti yang diperoleh masing-masing anak?

CMIIW..

kalo bilangan asli dibagi bilangan asli yang sama maka hasilnya 1

berarti 0 / 0 = 1

hehehe

Kutip dari: nʇǝʌ∀ pada Maret 19, 2012, 03:26:35 PM
kalo bilangan asli dibagi bilangan asli yang sama maka hasilnya 1

berarti 0 / 0 = 1

hehehe

gara-gara ilmuwan komputer zaman modern sekarang nol juga diakui sebagai bilangan asli ya jadi kita bisa menciptakan pernyataan itu (0 / 0 = 1)

Kutip dari: Mr.Smiley pada Oktober 25, 2011, 06:15:39 PM
saya mau numpang nambahin fakta menarik.

saya pernah baca disebuah buku, saat SMP Einstein pernah membuktikan bahwa 1=2. gini caranya :

(a^2 + a^2) = (a^2 + a^2)
a(a+a) = (a+a)(a-a) ; *coret (a-a)
a = a+a
kalau a=1, berarti :
1 = 1+1   ---> 1 = 2

Kesalahan penalaran di atas ialah membagi dengan nol atau (a-a)
Dalam aretmatika bilangan bulat hal ini tidak boleh dilakukan sesuai dengan axioma Peano.

[pranala luar disembunyikan, sila masuk atau daftar.]

Kutip dari: Fariz Abdullah pada Maret 19, 2012, 02:21:30 PM
Afaik, dalam Arimetika dan Aljabar, pembagian dengan nol adalah undefined..Mengingat misalnya 2/0 = n, maka tidak ada sembarang bilangan n yang memenuhi n x 0 = 2.

Perkecualian ada pada 0/0 yang bisa menghasilkan sembarang bilangan (undetermined)..Mengingat jika 0/0 = n, maka sembarang bilangan n bisa memenuhi n x 0 = 0.

Memang jika kita perhatikan grafik y = 1/x, maka y akan mendekati infinity (asymptote), untuk x mendekati 0.

Pada computer programming, pembagian dengan nol akan menghasilkan +- Infinity..Sumber : [pranala luar disembunyikan, sila masuk atau daftar.]

Bagaimanapun, jika n/0 = infinity, menimbulkan beberapa problem filosofis :

1. Nampaknya Infinity adalah konsep abstract mengingat Infinity bukan bilangan riil..Sebagai contoh : infinity + infinity = infinity, bukannya 2 (infinity).

2. Jika Anda memperlakukan infinity sebagai bilangan, dan Anda mengatakan bahwa 3/0 = infinity, maka berapakah 6/0? apakah menghasilkan bilangan yang dua kali lebih besar, atau sama besarnya?

3. Jika 12 roti dibagi di antara 3 anak, maka tiap anak akan mendapat 4 roti. Jika 0 roti dibagi di antara 3 anak, maka tiap anak akan mendapat 0 roti. Tetapi bagaimana menjawab : jika 12 roti dibagi 0 anak, berapa roti yang diperoleh masing-masing anak?

CMIIW..

Sebenarnya masalah serupa juga dihadapi oleh angka 0, namun kita sudah terbiasa untuk mengabaikannya.
contoh :
0 + 0 = 0; bukannya 2 (0)
jika anda mengatakan 3 x 0 = 0; maka berapakah 6 x 0? apakah menghasilkan bilangan yang dua kali lebih besar, atau sama besarnya?