Cetak Halaman - Integral Garis

Judul: Integral Garis
Ditulis oleh: Sky pada Desember 19, 2009, 02:19:46 PM

Integral Garis

Berhubung, Hoshikawa minta dibikinin trit tentang integral garis. Yuk kita diskusi tentang integral garis di sini.
Yang dimaksud Integral Garis, adalah Integrasi yang dilakukan sepanjang garis tertentu.

Untuk suatu fungsi skalar $f$ , yang diintegralkan sepanjang suatu kurva "mulus" $C$ ,
yang memiliki potongan infitesimal kurva sepanjang ds, Integral garis didefinisikan:

$\int_Cfds$

dimana,
$ds=\left|\frac{d\vec r}{dt}\right|dt$

dan $\vec r(t):[a,b] -> C$ adalah persamaan parametrisasi kurva $C$ , yang memiliki titik awal di a, dan titik akhir di b.

Nah, kalo a=b (titik awal dan akhir sama), maka integral ini disebut integral kurva tertutup (closed line integral), penulisannya jadi:

$\oint_C fds$

Jika $\vec F$ adalah fungsi yang berbentuk vektor, maka definisi dimodifikasi sedikit. Integral garis fungsi vektor $\vec F$ pada kurva $C$ , yang dinyatakan oleh parametrisasi kurva $\vec r(t)$ didefinisikan:

$\int_C \vec F \bullet d\vec r$

Kalo kurva $C$ tertutup, jadi:

$\oint_C \vec F \bullet d\vec r$

Terdapat beberapa Teorema yang umum digunakan untuk integral garis.
Diantaranya, Teorema Green, Teorema Stokes, dan Teorema Gauss...

Judul: Re: Integral Garis
Ditulis oleh: Nabih pada Desember 19, 2009, 06:32:57 PM

Tanya, integral garis itu pada semesta real, kompleks, atau keduanya

Judul: Re: Integral Garis
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada Desember 20, 2009, 01:31:56 PM

ooh...
gitu...
pantesan pertama kali kenalnya pas belajar magnet yang ada muter-muternya...{udah lupa rumusnya T_T}.
sip, terus kalo maw make integral garis buat ngitung volume benda putar gitu bisa ga???jadi luas sudut₁+luas sudut ₂+... gitu
terus cara pake-nya gimana??? hehe

Judul: Re: Integral Garis
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada Desember 20, 2009, 08:41:27 PM

Kutip dari: Nabih pada Desember 19, 2009, 06:32:57 PM
Tanya, integral garis itu pada semesta real, kompleks, atau keduanya

Yup, integral garis merambah dari real sampai kompleks.

Kutip dari: HyawehHoshikawa pada Desember 20, 2009, 01:31:56 PM
ooh...gitu...pantesan pertama kali kenalnya pas belajar magnet yang ada muter-muternya...{udah lupa rumusnya T_T}.
sip, terus kalo maw make integral garis buat ngitung volume benda putar gitu bisa ga???jadi luas sudut₁+luas sudut ₂+... gitu
terus cara pake-nya gimana??? hehe

Pada umumnya, integral garis tidak membahas bagaimana menghitung volume jika fungsinya diputar sepanjang sumbunya yang merupakan suatu kurva yang sering berupa berkelok-kelok.
Dalam kasus2 tertentu, mungkin integral luasan bisa menghitung beberapa bangun hasil rotasi pada integral yang biasanya diajarkan di sma.

@Sky

Sekalian yuk dikasih contoh soal.

Judul: Re: Integral Garis
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada Desember 20, 2009, 08:49:36 PM

ayo dikasi contoh soal dulu...
sama pembahasan tapi...hehe...

Judul: Re: Integral Garis
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada Desember 20, 2009, 11:13:51 PM

Kutip dari: Sky pada Desember 19, 2009, 02:19:46 PM
Integral Garis
Berhubung, Hoshikawa minta dibikinin trit tentang integral garis. Yuk kita diskusi tentang integral garis di sini.
Yang dimaksud Integral Garis, adalah Integrasi yang dilakukan sepanjang garis tertentu.
Untuk suatu fungsi skalar $f$ , yang diintegralkan sepanjang suatu kurva "mulus" $C$ ,
yang memiliki potongan infitesimal kurva sepanjang ds, Integral garis didefinisikan:
$\int_Cfds$
dimana,
$ds=\left|\frac{d\vec r}{dt}\right|dt$
dan $\vec r(t):[a,b] -> C$ adalah persamaan parametrisasi kurva $C$ , yang memiliki titik awal di a, dan titik akhir di b.

Diberikan kurva $C(t)=(x(t),y(t))$ , dengan $a \leq t \leq b$ , dan pasangan fungsi $P(x,y), Q(x,y)$ , maka integral garis

$\int_C Pdx+Qdy$

didefinisikan dengan

$\int_C Pdx+Qdy=\int_{a}^{b} \[ P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)\]dt$

Contoh :
Hitung $\int_C xdy$ pada kurva C yang berupa segitiga dari $(0,0), (p,0), (0,q)$ , kembali ke (0,0).
Penyelesaian :
Bagi menjadi C₁,C₂,C₃
C₁ : $(0,0) ke (p,0)$ ==> x=t, dengan $o \leq t \leq p$ , y=0 ==>dy=0
$\int_{C_1} xdy=0$
C₂ : $(p,0) ke (0,q)$ ==> x=t, dengan $p \leq t \leq 0$ , $y= -\frac{q}{p}t+q ==>dy=-\frac{q}{p}dt$
$\int_{C_2} xdy=\int_{p}^{q}t(-\frac{q}{p}dt)=-\frac{q}{2p}t^2\]_{p}^{q}=\frac{q}{2p}(p^2-q^2)$
C₃ : $(0,0) ke (p,0)$ ==> x=0
$\int_{C_3} xdy=0$

Jadi $\int_C xdy=\frac{q}{2p}(p^2-q^2)$ .

Latihan :
Sekarang jika C mengikuti grafik y=x² dari (0,0) ke (1,1) tentukan $\int_C xdy$ .

Mungkin saudara Sky atau yang lain bisa memberikan soal2 lain.

Judul: Re: Integral Garis
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada Desember 21, 2009, 12:40:05 AM

haah...kok conto soalnya ngga balik ke titik 0,0 lagi? apa harus dibikin mbalik? terus kurvanya yang mbuat baliknya apa??
terus sori nih om, kok gw nangkepnya malah jadi kayak nginvers yah, integralnya?
$\int^1_0 \sqrt y dy$
$(\frac{2y}3)^{\frac32}]^1_0$
$= 2/3$

Judul: Re: Integral Garis
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada Desember 23, 2009, 06:30:52 AM

@HyawehHoshikawa
misalnya dikasih mbaliknya, lalu lewat kurva x=y² dari (1,1) ke (0,0).

Kutip dari: Sky pada Desember 19, 2009, 02:19:46 PM
Integral Garis
Jika $\vec F$ adalah fungsi yang berbentuk vektor, maka definisi dimodifikasi sedikit. Integral garis fungsi vektor $\vec F$ pada kurva $C$ , yang dinyatakan oleh parametrisasi kurva $\vec r(t)$ didefinisikan:

$\int_C \vec F \bullet d\vec r$

Misalkan $\vec{F}=(3x-4y) \vec{i}+(4x+2y) \vec{j}$ , sedangkan C adalah melalui kurva ellips $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ berlawanan arah jarum jam.
Maka
$\int_C \vec F \bullet d\vec r$ =....

Judul: Re: Integral Garis
Ditulis oleh: Sky pada Desember 23, 2009, 09:25:42 PM

Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram link=topic=5547.msg65699#msg65699
Misalkan $\vec{F}=(3x-4y) \vec{i}+(4x+2y) \vec{j}$ , sedangkan C adalah melalui kurva ellips $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ berlawanan arah jarum jam.
Maka
$\int_C \vec F \bullet d\vec r$ =....

Ikutan boleh kan..
Karena om Mataram belum kasih kurvanya, misalkan kurva C berasal dari titik (0,3) sampai ke titik (0,-3) berlawanan arah jarum jam....

Judul: Re: Integral Garis
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada Desember 24, 2009, 06:52:26 AM

Parameter :
x= 2cos(t), y= 3sin(t), 0=< t =< 2pi

@Sky
Kalau dari (0,3) s.d. (0,-3) berarti cuma separo ellip dong..

Judul: Re: Integral Garis
Ditulis oleh: Sky pada Desember 27, 2009, 04:56:23 PM

@mataram
Oh, sori, karena integralnya ga ada buletannya, kupikir bukan kurva tertutup..
He.... maaf...

Forum Sains Indonesia

Ilmu Alam => Matematika => Topik dimulai oleh: Sky pada Desember 19, 2009, 02:19:46 PM