Gunakan MimeTex/LaTex untuk menulis simbol dan persamaan matematika.

Welcome to Forum Sains Indonesia. Please login or sign up.

Maret 29, 2024, 02:35:19 AM

Login with username, password and session length

Topik Baru

Artikel Sains

Anggota
Stats
  • Total Tulisan: 139,653
  • Total Topik: 10,405
  • Online today: 102
  • Online ever: 1,582
  • (Desember 22, 2022, 06:39:12 AM)
Pengguna Online
Users: 0
Guests: 133
Total: 133

Aku Cinta ForSa

ForSa on FB ForSa on Twitter

Kalkulus untuk nilai mutlak

Dimulai oleh Nabih, September 15, 2009, 03:23:02 PM

« sebelumnya - berikutnya »

0 Anggota dan 1 Pengunjung sedang melihat topik ini.

Nabih


Sky

#1
Wah keren nih...
dapet soalnya dari mana, Bang?
Aku pernah coba hitung yang nomor 1, tapi belum pernah liat pembuktian formalnya di buku Kalkulus.

1.
jika kita andaikan f(x)=|x| untuk semua x bilangan real, dan daerah hasil fungsinya adalah bilangan real juga, kemudian kita misalkan lagi y=f(x)=|x|
Maka dengan menggunakan notasi Leibniz:
\frac {dy}{dx}=f'(x)

Karena y=|x|, jika kita kuadratkan kedua ruas:
y^2={|x|}^2

y^2=x^2
Kemudian menurunkan kedua ruas....
2y \frac {dy}{dx}=2 x
Didapat:
\frac {dy}{dx}=\frac xy
Yang menjadi:
f'(x)=\frac x{|x|}

Q.E.D

Oya, bentuk lain dari f'(x) tadi:
f'(x)=\frac x{|x|}=\frac x{|x|}\frac {|x|}{|x|}

f'(x)=\frac x{|x|^2} |x|

f'(x)=\frac x{x^2} |x|

f'(x)=\frac {|x|}x

Didapat:
f'(x)=\frac x{|x|}=\frac {|x|}x

Matematika termasuk seni.... hehe....

Mtk Kerajaan Mataram

Eh saudara Sky gimana ini, kok mbulet2....?
f(x)=|x|=x jika x \geq 0, dan
f(x)=|x|=-x jika x < 0.
Dan otomatis,
f'(x)=1 jika x \geq 0, dan
f'(x)=-1 jika x < 0.
Ini akan nampak jelas jika kita lihat kurva f(x)=|x| yang gradiennya 1 jika x x \geq 0, dan gradiennya -1 jika x < 0.

Kutip dari: Nabih pada September 15, 2009, 03:23:02 PM
Tentukan dan buktikan
2. \int(dx/x)=
Ini kan tidak lain \int\frac{1}{x}dx=\ln x+C

Sky

Aduh....
Temen-temen, maaf banget...
Aku mau meralat post sebelumnya, tapi jaringan internetnya lagi ngadat banget nih...
Maklum daerah terpencil...he....

Aku lupa mencantumkan, pernyataan ini kurang tepat:
Kutip
jika kita andaikan f(x)=|x| untuk semua x bilangan real, dan daerah hasil fungsinya adalah bilangan real juga,

Setelah diralat, harusnya jadi begini:
Kutip
jika kita andaikan f(x)=|x| untuk semua x bilangan real bukan nol, dan daerah hasil fungsinya adalah bilangan real bukan nol juga,

Dengan adanya pernyataan ini, maka langkah penyederhanaan dari:
2y \frac {dy}{dx}=2 x
Ke langkah ini:
\frac {dy}{dx}=\frac xy

Kalo x boleh nol, ntar terjadi pembagian dengan nol (yang tidak diperkenankan) di langkah ini.
Makanya, x tidak boleh nol.

Oya, dari sini bisa ditarik kesimpulan juga kalo f'(x) tidak terdefinisi di x=0

Nah.... ini membenarkan jawaban Mas mataram tadi.
Untuk x>0

f'(x)=\frac x{|x|}=\frac xx=1

Untuk x<0
f'(x)=\frac x{|x|}=\frac x{-x}=-1

Namun, sekali lagi, x tidak boleh 0, kalo x=0, terjadi seperti ini.

f'(x)=\frac x{|x|}=\frac 00=tidak terdefinisi

Dan ini memang benar, karena untuk x=0, turunan fungsi |x| tidak terdefinisi
(bisa dilihat dari grafik, karena banyak garis yang mungkin menyinggung kurva |x| di x=0)

Jadi, kalo direkap lagi (sekalian meralat mas Mataram)....

1.
f'(x)=1 , untuk x>0
f'(x)=-1 , untuk x<0
f'(x) tidak terdefinisi untuk x=0

Maaf ya, baru bisa ngepost....

Nabih

No 3 please...
untuk no 2 saya tau, maksud saya asal-usulnya
No 1 saya dapet dari test seleksi olimpiade tingkat univ (untuk sem 2), mata uji persamaan differensial, thanks a lot yaaa 

HyawehHoshikawa

Kutip dari: Nabih pada September 15, 2009, 03:23:02 PM
3. d(ln |y-3|)/dt= ... dy/dt
bukannya caranya yang diginiin yah?
F=\ln|y-3|

\frac{dF}{dt}=\frac{dF}{dy} *\frac{dy}{dt}

\frac{dF}{dy}=\frac{1}{y-3}

ketemu deh jawabannya...
hah...
kok mudah sekali....apa aq yang salah yah?
mohon koreksinya. ???
Rationality alone isn't enough, the world is Complex.