Selamat datang di ForSa! Forum diskusi seputar sains, teknologi dan pendidikan Indonesia.

Welcome to Forum Sains Indonesia. Please login or sign up.

Maret 29, 2024, 03:57:37 AM

Login with username, password and session length

Topik Baru

Artikel Sains

Anggota
Stats
  • Total Tulisan: 139,653
  • Total Topik: 10,405
  • Online today: 127
  • Online ever: 1,582
  • (Desember 22, 2022, 06:39:12 AM)
Pengguna Online
Users: 2
Guests: 81
Total: 83

Aku Cinta ForSa

ForSa on FB ForSa on Twitter

Memecahkan Akar Kuadrat Irrasional tanpa Kalkulator

Dimulai oleh Yorknell, Agustus 11, 2010, 12:02:55 AM

« sebelumnya - berikutnya »

0 Anggota dan 1 Pengunjung sedang melihat topik ini.

Yorknell

Kutip dari: The Houw Liong pada Agustus 12, 2010, 10:50:32 AM
Kutip dari: Yorknell pada Agustus 11, 2010, 08:45:01 PM
yah itu dia hehehhe.. kalo akar 531 gmana ya heheh
btw ko david gimana tuh caranya.. boleh aja dicoba:D

Pakai rumus untuk x <<1 maka (1+x)^n = 1 + n.x + ...

maksudnya apa ya?? gw rada bingung hehehe thx

The Houw Liong

Kutip dari: Yorknell pada Agustus 15, 2010, 09:23:40 PM
Kutip dari: The Houw Liong pada Agustus 12, 2010, 10:50:32 AM
Kutip dari: Yorknell pada Agustus 11, 2010, 08:45:01 PM
yah itu dia hehehhe.. kalo akar 531 gmana ya heheh
btw ko david gimana tuh caranya.. boleh aja dicoba:D

Pakai rumus untuk x <<1 maka (1+x)^n = 1 + n.x + ...

maksudnya apa ya?? gw rada bingung hehehe thx
Rumus itu adalah uraian deret misalnya akar 11 , caranya :
1. Cari bilangan kuadrat terdekat dengan 11, yaitu 9 = 3^2.
2. Tulis 11 = 9 + 2, akar 11 = akar ( 9+2) = akar 3^2 ( 1 + 2/9).
3. Gunakan uraian deret (1+2/9)^0,5 = 1 + 0,5(2/9)
4. Maka akar 11 = 3(1+ 1/9) = 3,333
HouwLiong

Blue_Rain

Kutip dari: The Houw Liong pada Agustus 16, 2010, 06:45:23 AM
Rumus itu adalah uraian deret misalnya akar 11 , caranya :
1. Cari bilangan kuadrat terdekat dengan 11, yaitu 9 = 3^2.
2. Tulis 11 = 9 + 2, akar 11 = akar ( 9+2) = akar 3^2 ( 1 + 2/9).
3. Gunakan uraian deret (1+2/9)^0,5 = 1 + 0,5(2/9)
4. Maka akar 11 = 3(1+ 1/9) = 3,333

Saya sendiri juga masih rada bingung tapi saya coba untuk tulis dalam notasi matematikanya biar rada jelas sedikit...(mungkin)

1. Cari bilangan kuadrat terdekat dengan 11, yaitu 9 = 3².
2. Tulis 11 = 9 + 2,

3. Gunakan Uraian Deret


Nah, di poin yang ketiga ini yang saya kurang mengerti. Maksudnya uraian deret itu apa yah??
??? ???

4. Maka akar 11 = 3(1+ 1/9) = 3,333
[move]The Rain Always Blue...[/move]

Nabih


The Houw Liong

#19
Kutip dari: Blue_Rain pada Agustus 16, 2010, 05:26:13 PM
Kutip dari: The Houw Liong pada Agustus 16, 2010, 06:45:23 AM
Rumus itu adalah uraian deret misalnya akar 11 , caranya :
1. Cari bilangan kuadrat terdekat dengan 11, yaitu 9 = 3^2.
2. Tulis 11 = 9 + 2, akar 11 = akar ( 9+2) = akar 3^2 ( 1 + 2/9).
3. Gunakan uraian deret (1+2/9)^0,5 = 1 + 0,5(2/9)
4. Maka akar 11 = 3(1+ 1/9) = 3,333

Saya sendiri juga masih rada bingung tapi saya coba untuk tulis dalam notasi matematikanya biar rada jelas sedikit...(mungkin)

1. Cari bilangan kuadrat terdekat dengan 11, yaitu 9 = 3².
2. Tulis 11 = 9 + 2,

3. Gunakan Uraian Deret


Nah, di poin yang ketiga ini yang saya kurang mengerti. Maksudnya uraian deret itu apa yah??
??? ???

4. Maka akar 11 = 3(1+ 1/9) = 3,333


Funsi (x) dapat diuraikan sebagai deret x^n atau dikenal sebagai deret Taylor atau deret sinus , cosinus yang dikenal sebagai deret Fourier, dst.

[pranala luar disembunyikan, sila masuk atau daftar.]

[pranala luar disembunyikan, sila masuk atau daftar.]
HouwLiong

Mtk Kerajaan Mataram

f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}

maka

f'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}
f''(x)=-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}

Menurut deret Taylor

f(x)=f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+ \cdots

Mau mencari \sqrt{11}
Yang terdekat dibawah 11 yang bilangan kuadrat adalah 9, kita mengambil a=9.

f'(9)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{6}
f''(9)=-\frac{1}{4\cdot 9 \sqrt{9}}=-\frac{1}{108}

\sqrt{11}=f(9)+\frac {f'(9)}{1!} (11-9)+ \frac{f''(9)}{2!} (11-9)^2+ \cdots

     =3+\frac {\frac{1}{6}}{1} (2)+ \frac{-\frac{1}{108}}{2} (2)^2+ \cdots

     =3+\frac{1}{3}- \frac{2}{27}+ \cdots

     =3\frac{7}{27}+ \cdots

Sky

Kutip dari: Nabih pada September 01, 2010, 09:14:23 AM
Pake aja metode heron
Lha, ini kan mintanya ngitung cepat.
Maksudnya pake metode Heron gimana?

Kutip dari: Fachni Rosyadi pada Agustus 12, 2010, 01:11:45 PM
Kalau caraku gini.

Misal kita ingin mencari nilai dari \sqrt{23}. Kita tahu bahwa \sqrt{23} terletak antara \sqrt{16} dan \sqrt{25}.

\sqrt{16}=4

\sqrt{23}=4,...

\sqrt{25}=5

Jadi, \sqrt{23}=4+\frac{23-16}{25-16}=4\frac{7}{9}=4,78.
Haha... saya juga sering pake cara ini, karena untuk akar bilangan yang besar, jawabannya lumayan akurat.
Soalnya, rentang pembagiannya makin lebar.

Sky

Sekadar memberitahu, ada juga cara estimasi lain, tapi saya lupa nama algoritmanya apa.
Mungkin yang lain tahu.

langkah-langkahnya seperti ini.

andaikan:
\sqrt c=a=b
maka sudah pasti:
a \times b= c
dan
a=b=\frac{a+b}{2}

Misal c=23
tentukan bilangan yang jika dikuadratkan kurang dari c, anggap bilangan ini a
misalkan a=4
apakah a x a  = c?
Jika tidak, ambil b= c/a
tentukan a yang baru dengan cara:
a_{baru}=\frac{a_{lama}+b_{lama}}{2}
Jika sudah didapat a, uji lagi apakah kuadrat dari a sama dengan c.
Jika tidak, ulangi terus langkah tadi.
Jika sudah, berarti a adalah akar c

Nabih

@Mtk Kerajaan Matram, Kreatif. But sepertinya kurang efektif

nandaz

#24
guruku pernah mengajari cara ini untuk akar2 irrasional, tetapi ini aku tidak tau sumbernya dari mana, tetapi lumayan ampuh lho...cuma menggunakan kaidah kali, tambah, kurang aja :)
\sqrt3=1,...
1x1 = 1  kemudian cari pengurangan bilangan dalam tanda akar dengan hasil kali tadi 3-1 =2, kali angka 2 dengan seratus (2x100 =200)
karena nominal awal 1, angka jumlah perkalian adalah dua. Cari dua digit berikut, (2Q x Q =200) yang mendekati nilai seratus Q=7 (maksudnya 27 x 7 = 189 dekat dengan 200) kita mendapati digit setelah 1 adalah 7, selanjutnya 200-189 = 11, 11 x 100 = 1100, lakukan cara yang sama (27 +7 = 34) kemudian (34Q x Q =1100) maka Q =3, karena 343 x 3 = 1029(angka2 yang mendekati hasil target) nah kita mendapati angka setelah digit 7 adalah 3...(kira2 hasilnya 1,73.....)nah silakan lanjutkan caranya
starting by doing what is necessary, then what is possible and suddenly you are doing the impossible...
\dia\cal{ANONYMOUS}\cl

Monox D. I-Fly

Kutip dari: Sky pada September 08, 2010, 03:34:35 PM
Sekadar memberitahu, ada juga cara estimasi lain, tapi saya lupa nama algoritmanya apa.
Mungkin yang lain tahu.

langkah-langkahnya seperti ini.

andaikan:
\sqrt c=a=b
maka sudah pasti:
a \times b= c
dan
a=b=\frac{a+b}{2}

Misal c=23
tentukan bilangan yang jika dikuadratkan kurang dari c, anggap bilangan ini a
misalkan a=4
apakah a x a  = c?
Jika tidak, ambil b= c/a
tentukan a yang baru dengan cara:
a_{baru}=\frac{a_{lama}+b_{lama}}{2}
Jika sudah didapat a, uji lagi apakah kuadrat dari a sama dengan c.
Jika tidak, ulangi terus langkah tadi.
Jika sudah, berarti a adalah akar c

Itu namanya Metode Bisection bukan?
Gambar di avatar saya adalah salah satu contoh dari kartu Mathematicards, Trading Card Game buatan saya waktu skripsi.

Sandy_dkk

dengan metode Babilonia.

dalam algoritma, menghitung nilai bilangan irasional sebenarnya adalah persoalan NP, namun bisa di-polynomial-kan dengan memberikan toleransi hasil perhitungan pada batasan tertentu.


bagaimana cara perhitungan dengan metode babilonia secara manual?

misalnya kita ingin mencari akar dari sebuah bilangan yaitu i, langkah pertama yang kita lakukan adalah mengestimasi sembarang bilangan sebagai hasil dari √i, misalnya  √i = r .
nah, jika  √i = r  atau  r2 = i , maka tentu akan memenuhi persamaan berikut:
( r + i/r ) / 2 = r .
dari mana rumus tsb diperoleh?
(r+r)/2 = r
r2 = i
( r + r2/r ) / 2 = r
( r + i/r ) / 2 = r .

sekarang, mari kita cari √2:
kita estimasi nilai  r = 1  (anda bebas memilih estimasi nilai berapa saja).
maka:  ( 1 + 2/1 ) / 2 = 1,5  <=  1,5-1=0,5  <=  apakah anda puas dengan toleransi ini? jika belum,
maka:  ( 1,5 + 2/1,5 ) / 2 = 1,41667  <=  1,5-1,41667=0,18333  <=  apakah anda puas dengan toleransi ini? jika belum,
maka:  ( 1,41667 + 2/1,41667 ) / 2 = 1,41422  <=  1,41667-1,41422=0,00245  <=  apakah anda puas dengan toleransi ini? jika belum,
maka:  ( 1,41422 + 2/1,41422 ) / 2 = 1,41421  <=  1,41422-1,41421=0,00001  <=  apakah anda puas dengan toleransi ini? jika belum,
maka:  ( 1,41421 + 2/1.41421 ) / 2 = 1,41421  <=  1,41421-1,41421=0,00000  <=  jika anda sepakat dengan ketelitian lima angka di belakang koma yang saya gunakan, maka mestinya anda sudah puas dengan hasil ini!

sekarang, silahkan cari √3, √5, dll...

Sandy_dkk

kita bebas memilih nilai estimasi berapapun, bebas juga memilih tingkat ketelitian berapa angkapun di belakang koma. hanya saja, semakin estimasinya jauh dari nilai yang sebenarnya dan semakin tinggi ketelitian yang kita inginkan, maka perhitungannya akan semakin panjang...

blacknait

Pakai aproksimasi dari diferensial juga bisa bro

dy/dx = delta y / delta x

Sandy_dkk

Kutip dari: blacknait pada Juni 16, 2014, 05:24:24 PM
Pakai aproksimasi dari diferensial juga bisa bro

dy/dx = delta y / delta x

bagaimana mencari √5 dengan metode ini? monggo contohnya kang...