Forum Sains Indonesia

Ilmu Alam => Matematika => Topik dimulai oleh: HyawehHoshikawa pada November 19, 2009, 04:37:45 AM

Judul: [Pascal, Combination]Cuman iseng, dan bahkan akupun tidak tau teorinya
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada November 19, 2009, 04:37:45 AM
Pada tau segitiga pascal kan??
yang bentuknya:
                    1
                  1  1
                1  2  1
               1 3  3  1
dst...
nah sekarang jelaskan (kalo bisa sekalian buktikan) bahwa:
isi pada baris ke-n dan kolom ke-m adalah:
nCm;
Judul: Re: [Pascal, Combination]Cuman iseng, dan bahkan akupun tidak tau teorinya
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada November 20, 2009, 11:28:17 PM
Hebat..Soal yang sederhana tapi akan membangkitkan pengertian yang signifikan.

                    1                 
                  1  1
                1  2  1
               1 3  3  1
              1 4  6  4  1
                 
                    C_{0}^{0}
                C_{0}^{1}  C_{1}^{1}
             C_{0}^{2}  C_{1}^{2}  C_{2}^{2}
          C_{0}^{3}  C_{1}^{3}  C_{2}^{3}   C_{3}^{3}

Untuk membuktikan kesesuaian ini kita cukup membuktikan   C_{k-1}^{n-1}+C_{k}^{n-1}=C_{k}^{n}.

Karena tidak sukar, biarlah siapa hayo yang mau buktikan...
Judul: Re: [Pascal, Combination]Cuman iseng, dan bahkan akupun tidak tau teorinya
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada November 21, 2009, 01:23:49 PM
tambahin clue ah...
nah, jadi ini kan representasi dari
(a+b)^n
dengan n=2
kita dapatkan hasil
a^2 +2ab +b^2
kayak disegitiga yang ada (1  2 1)

begitu juga dengan yang n=3
a^3 + 3a^2b  + 3ab^2 + b^3
disgitiga jadi (1 3 3 1)
dst

kira-kira gimana jadinya yah kalo
(a+b+c)^n ???
(a+b+c+d)^n ???
...
Judul: Re: [Pascal, Combination]Cuman iseng, dan bahkan akupun tidak tau teorinya
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada November 22, 2009, 05:50:34 PM
@HyawehHoshikawa
Menurut saya, yang dengan kedua ini sudah berbeda dengan yang pertama.
Kalau yang pertama menelusur asal mula hubungan segitiga pascal dengan kombinasi. Yang kedua ini mengembangkan penggunaannya kepada \( a+b+c\)^n, \( a+b+c+d\)^n, dst.
Untuk yang \( a+b+c\)^n, biar kukasih note, yaitu gunakan bangun segitiga (hanya sebagai pembantu penulisan), pada masing2 titik sudut tempatkan a^n,b^n, dan c^n berturut-turut. Lalu dari a^n ke b^n berturut-turut tuliskan a^{n-1}b,a^{n-2}b^2,\cdots,ab^{n-1}, lalu yang bersesuaian juga dari b^n ke c^n, dan dari a^n ke c^n. Masih ada lagi, yaitu mengarah kedalam bangun segitiga. Dari a^{n-1}b dan a^{n-1}c kita turunkan sebuah titik didalam segitiga dengan ditandai a^{n-2}bc, dst...dst
Judul: Re: [Pascal, Combination]Cuman iseng, dan bahkan akupun tidak tau teorinya
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada November 22, 2009, 08:27:03 PM
hoo....
beda yah
awkawkawk....

loh bukannya ni kasus kayak kalo nglempar coin,misal sisinya itu sisi "a" & sisi "b", terus dilempar sebanyak "n" kali, itu kemungkinan muncul sisi "a" sebanyak  "m" dan sisi "b" sebanyak "n-m" kali itu kayak yang tertera pada konstanta didepannya
(a^m b^{(n-m)})

jadinya kalo (a+b+c)^n tu bukannya macem nglempar "dadu" yang sisinya ad tiga yah?
nah terus kemungkinannya ya kayak itu juga...???
(a^p b^q c^{n-(p+q)})

KutipMasih ada lagi, yaitu mengarah kedalam bangun segitiga. Dari  dan  kita turunkan sebuah titik didalam segitiga dengan ditandai , dst...dst

saya masih belum paham, bentuknya...hehe cuman paham garis luarnya doang...
ralat: oh ya paham...(kayaknya)
terus nentuin konstanta didepannya gimana yah?

Judul: Re: [Pascal, Combination]Cuman iseng, dan bahkan akupun tidak tau teorinya
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada November 22, 2009, 10:56:45 PM
@HyawehHoshikawa
nggambare iku, le, rada repot, nek ketemu ta-cetot.
Pake gaya coin juga bisa untuk menentukannya. Lho sebagian gambarnya :
Masing-masing \(a+b+c\)^2, \(a+b+c\)^3, dan \(a+b+c\)^4 :

(http://photos-p.friendster.com/photos/24/25/43025242/2_739952475l.jpg)

catatan :
Yang ngunduh hendaknya menyertakan nama situs ini (www.forumsains.com), soalnya ini saya ambil dari file penyelidikan sendiri)...semoga dimengerti.
Judul: Re: [Pascal, Combination]Cuman iseng, dan bahkan akupun tidak tau teorinya
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada November 23, 2009, 10:35:43 AM
@MTK Kerajaan mataram:
aduh... ampun mass....  :P :P

untuk n=3 itu tengahnya ada 6,
terus n=4 ditengahnya ada 12
nah, itu angkanya dateng darimana???
kalo yang ada diluar kan datengnya dari segitiga pascal yang (a+b)

ato harus dibuat semacam piramida kayak segitiga pascal, tapi yang ini bentuknya piramida???
jadi kayak gambarnya MTK kerajaan mataram, itu
gambar segitiga yang pangkatnya 2 itu diatas, terus
gambar segitiga yang pangkatnya 3 dibawahnya, terus
gambar segitiga yang pangkatnya 4 dibawahnya lagi, dst...

jaang...keren...
kalo (a+b+c+d)^n jadi berapa dimensi nih???
kalo a+b doang kan bisa ditulis dalam bentuk garis(1 dimensi)... 1 2 1
kalo a+b+c jadi berbentuk segitiga (2 dimensi)... kayak gambarnya itu
kalo a+b+c+d jangan-jangan jadi 3 dimensi nih...
Judul: Re: [Pascal, Combination]Cuman iseng, dan bahkan akupun tidak tau teorinya
Ditulis oleh: si anak gajah pada November 23, 2009, 01:10:55 PM
Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada November 20, 2009, 11:28:17 PM
Hebat..Soal yang sederhana tapi akan membangkitkan pengertian yang signifikan.

                    1                 
                  1  1
                1  2  1
               1 3  3  1
              1 4  6  4  1
                 
                    C_{0}^{0}
                C_{0}^{1}  C_{1}^{1}
             C_{0}^{2}  C_{1}^{2}  C_{2}^{2}
          C_{0}^{3}  C_{1}^{3}  C_{2}^{3}   C_{3}^{3}

Untuk membuktikan kesesuaian ini kita cukup membuktikan   C_{k-1}^{n-1}+C_{k}^{n-1}=C_{k}^{n}.

Karena tidak sukar, biarlah siapa hayo yang mau buktikan...


aku coba ya...

C_{k-1}^{n-1}+C_{k}^{n-1}=C_{k}^{n}
teorinya
C_{b}^{a}=\frac{a!}{(a-b)!b!}
karena itu...
C_{k-1}^{n-1}+C_{k}^{n-1}=\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!} + \frac{(n-1)!}{(n-k-1)!(k)!}
samakan penyebut
\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!} + \frac{(n-1)!}{(n-k-1)!(k)!} = \frac{k(n-1)!}{(n-k)!(k)!} + \frac{(n-k)(n-1)!}{(n-k)!(k)!}
hasilnya
\frac{n(n-1)!}{(n-k)!k!} = \frac{n!}{(n-k)!k!}
bentuk di atas, berdasarkan teori dasar sama dengan
C_{k}^{n}
benar gini kan om mataram?

om mataram, gak takut idenya diklaim orang lain?
kalau udah dicantumin di website udah dapat perlindungan HAKI gak?
Judul: Re: [Pascal, Combination]Cuman iseng, dan bahkan akupun tidak tau teorinya
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada November 23, 2009, 01:48:48 PM
@HyawehHoshikawa
Berikut perjalanan dari \(a+b+c\)^2 ke \(a+b+c\)^3 dan dari \(a+b+c\)^3 ke \(a+b+c\)^4 :

yang pertama :
1+2=3,1+2=3
2+2+2=6
yang kedua :
1+3=4, 3+3=6, 3+1=4
3+3+6=12, 3+3+6=12, 3+3+6=12 (lihat gambar)

(http://photos-h.ak.fbcdn.net/hphotos-ak-snc3/hs076.snc3/14350_1118165929128_1676425722_238389_5987633_n.jpg)

@si anak gajah
Anda benar saudara bleduk(anak gajah).

Kutip dari: si anak gajah pada November 23, 2009, 01:10:55 PM
om mataram, gak takut idenya diklaim orang lain?
kalau udah dicantumin di website udah dapat perlindungan HAKI gak?
Setidaknya di forumsains ini banyak yang melihat... , tapi kalau yang betul2 vital saya simpan haha...saya percaya pada semakin baik iktikad baik bangsa sendiri.
Judul: Re: [Pascal, Combination]Cuman iseng, dan bahkan akupun tidak tau teorinya
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada November 23, 2009, 03:46:04 PM
cak...
keren...
berarti udah bukan segitiga pascal lagi kali yah.
udah jadi piramida pascal..(bangunnya 3d yang skarang...)
@Mataram...
Cak...orang jawa ya mas yah, anak bleduk... xixixixixi
Judul: Re: [Pascal, Combination]Cuman iseng, dan bahkan akupun tidak tau teorinya
Ditulis oleh: bone_daddy pada November 23, 2009, 09:06:44 PM
sakit mata gw baca yg beginian....hahaha

ampun deh..pada jago math yah...hebat2...=)
Judul: Re: [Pascal, Combination]Cuman iseng, dan bahkan akupun tidak tau teorinya
Ditulis oleh: r.a.n pada November 23, 2009, 10:56:28 PM
Iya nih..matematiknya hebat banget...Udah lama nggak liat angka..jadi suka bingung...
Judul: Re: [Pascal, Combination]Cuman iseng, dan bahkan akupun tidak tau teorinya
Ditulis oleh: Mat Dillom pada November 24, 2009, 03:48:58 AM
Terus manfaat segitiga pascal untuk apa? Sorry ane type orang yang objek oriented, jadi kalau buat sesuatu cenderung ngukurnya secara gampang aja. Kalau secara matematis, gak akan kelar-kelar jika membangun sebuah bentuk 'bangun". Karena kemungkinannya jadi tak terhingga.
Judul: Re: [Pascal, Combination]Cuman iseng, dan bahkan akupun tidak tau teorinya
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada November 24, 2009, 05:19:23 AM
^
buat nentuin angka didepan persamaan (a+b)^n
misalnya untuk (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

bisa juga untuk nentuin kemungkinan dari pelemparan koin
misal koin yang dilempar 3 kali (sisinya ada sisi a, ada sisi b)

maka kemungkinan didapat sisi a 2x, dan b 1x adalah sebanyak
(konstanta didepan a^2b)/(jumlah kemungkinan(atau jumlah semua konstanta dibaris yang sama))

manfaatnya yang paling tidak teraplikasikan sih itu, belum belajar ProbStat-e ane...
Judul: Re: [Pascal, Combination]Cuman iseng, dan bahkan akupun tidak tau teorinya
Ditulis oleh: Mat Dillom pada November 24, 2009, 05:25:24 AM
Kutip dari: HyawehHoshikawa pada November 24, 2009, 05:19:23 AM
^
buat nentuin angka didepan persamaan (a+b)^n
misalnya untuk (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

bisa juga untuk nentuin kemungkinan dari pelemparan koin
misal koin yang dilempar 3 kali (sisinya ada sisi a, ada sisi b)

maka kemungkinan didapat sisi a 2x, dan b 1x adalah sebanyak
(konstanta didepan a^2b)/(jumlah kemungkinan(atau jumlah semua konstanta dibaris yang sama))


Dalam matematika yang ane paling kagum memang soal persamaan untuk kehidupan sehari-hari.
Andai saya memiliki obyek "kaleng" misalnya, lalu kamera saya menangkap obyek "kaleng" itu, kemudian, data yang masuk dicari persamaannya "data kaleng" yang udah ada.

Dengan begitu saya bisa membuat komputer yang bisa mengenali benda. Makanya saya amati kode segitiga pascal ini.

Kalau lempar koin itu. Anggap itu ada obyek yang belum dikenali tapi
Judul: Re: [Pascal, Combination]Cuman iseng, dan bahkan akupun tidak tau teorinya
Ditulis oleh: Mat Dillom pada November 24, 2009, 05:28:49 AM
Kutip dari: HyawehHoshikawa pada November 24, 2009, 05:19:23 AM
^
buat nentuin angka didepan persamaan (a+b)^n
misalnya untuk (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

bisa juga untuk nentuin kemungkinan dari pelemparan koin
misal koin yang dilempar 3 kali (sisinya ada sisi a, ada sisi b)

maka kemungkinan didapat sisi a 2x, dan b 1x adalah sebanyak
(konstanta didepan a^2b)/(jumlah kemungkinan(atau jumlah semua konstanta dibaris yang sama))


Dalam matematika yang ane paling kagum memang soal persamaan untuk kehidupan sehari-hari.
Andai saya memiliki obyek "kaleng" misalnya, lalu kamera saya menangkap obyek "kaleng" itu, kemudian, data yang masuk dicari persamaannya "data kaleng" yang udah ada.

Dengan begitu saya bisa membuat komputer yang bisa mengenali benda. Makanya saya amati kode segitiga pascal ini.

Kalau lempar koin itu. Anggap itu ada obyek yang "belum dikenali" tapi "dimungkinkan dikenali". Nah tinggal kita buat komputer bisa "menduga-duga" kemungkinannya. Jika kemungkinan itu tidak ada "persamaannya" dalam data di komputer, maka digolongkan sebagai "data baru" yang menunggu diproses menjadi "data permanen".

Nah saya gak melihat manfaat itu dalam segitiga pascal ini. Semoga ada yang menambahkan.
Judul: Re: [Pascal, Combination]Cuman iseng, dan bahkan akupun tidak tau teorinya
Ditulis oleh: si anak gajah pada November 24, 2009, 10:16:29 AM
@mataram: si bleduk itu anak gajah toh...
baru tau...
bukan orang jawa...

@mat dillom: segitiga Pascal ini banyak digunakannya untuk ekspansi bentuk (a+b)^n nah, banyak kan permasalahan yang melibatkan ekspansi ini...
pernah denger juga untuk kriptografi, tapi gak tau penggunaannya gimana...
Judul: Re: [Pascal, Combination]Cuman iseng, dan bahkan akupun tidak tau teorinya
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada November 25, 2009, 08:51:15 PM
@hyawehasekawa
Segitiga Pascal bisa dbuat code-nya, tp slhkan coba sendiri.
Sbnarnya sy sdh sampe pd btk umum (a_1+a_2+\cdots+a_m)^n, cuma msh tsimpan. Hy sy kr yg ini bkn mrpkan suatu yg vital. Siapapun yg bbkt akan bs mnelusur.
Judul: Re: [Pascal, Combination]Cuman iseng, dan bahkan akupun tidak tau teorinya
Ditulis oleh: Sky pada Desember 19, 2009, 12:47:41 PM
Mas, mataram!
Aku baru sadar, segitiga Pascal itu bisa menyelesaikan generalisasi problem yang saya cari, yang sudah saya coba muat di sini:
http://www.forumsains.com/matematika/banyaknya-cara-untuk-menyatakan-bilangan-bulat-sebagai-suatu-penjumlahan/
Judul: Re: [Pascal, Combination]Cuman iseng, dan bahkan akupun tidak tau teorinya
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada Desember 24, 2009, 06:17:03 AM
Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada November 25, 2009, 08:51:15 PM
@hyawehasekawa
Segitiga Pascal bisa dbuat code-nya, tp slhkan coba sendiri.
Sbnarnya sy sdh sampe pd btk umum (a_1+a_2+\cdots+a_m)^n, cuma msh tsimpan. Hy sy kr yg ini bkn mrpkan suatu yg vital. Siapapun yg bbkt akan bs mnelusur.

Kita mengenalnya sebagai multinomial

(a_1+a_2+\cdots+a_m)^n=\sum \{C_{i_1,i_2, \cdots, i_m}^{n}\}a_1^{i_1}a_2^{i_2} \cdots a_m^^{i_m}

dengan C_{i_1,i_2, \cdots, i_m}^{n}=\frac{n!}{i_1!i_2! \cdots i_m!}

dan i_1+i_2+ \cdots + i_m=n serta i_1,i_2, \cdots, i_m \geq 0
Judul: Re: [Pascal, Combination]Cuman iseng, dan bahkan akupun tidak tau teorinya
Ditulis oleh: Zanra_GTG pada Januari 01, 2010, 12:44:49 AM
Hmmm bisa dikatakan untuk jumlah deret dengan baris (n+1) dimana n >= 0,,, rumus untuk segitiga pascalnya

\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}

sehingga untuk (x+y)^n

\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}x^{n-k}y^k


Pake Latex bingung juga yach...!!!?