Penulis Topik: pemantulan sinar dalam lingkaran (Dibaca 1266 kali)

mhyworld · « **pada:** November 02, 2011, 11:57:23 PM »

Berikut salah satu soal matematika yang pernah diteliti dalam Lomba Penelitian Ilmiah Remaja 1997. Silakan dipikirkan baik-baik jawabannya. Lumayan buat asah otak.

Perhatikan gambar berikut :

Gambar di atas menunjukkan sebuah cermin melingkar (dengan sisi yang mengkilap terletak di bagian dalam lingkaran) dengan lubang kecil di sebelah kanan. Seberkas sinar masuk dengan sudut θ = 36° dipantulkan oleh cermin sehingga membentuk pola bintang dengan jumlah sudut 10 sebelum sinar keluar dari lubang kecil di kanan. Jika ditelusuri, tampak bahwa ujung sinar telah mengelilingi pusat lingkaran sebanyak 3 kali sebelum meninggalkan lingkaran.
Jika θ = 30°, bisa diperkirakan bahwa jumlah sudut pola yang terbentuk adalah 3 (membentuk segitiga sama sisi). Jika θ = 45° akan terbentuk bujur sangkar.
Jika sudut θ = 10°, berapakah banyaknya sudut pantul yang terbentuk oleh berkas sinar tersebut ?
berapa kali ujung sinar mengelilingi pusat lingkaran?
bagaimana rumus umumnya untuk besar sudut yang lain?

mhyworld · « **Jawab #1 pada:** November 03, 2011, 05:55:55 PM »

Saya yakin di antara anggota forsa ada yang sudah tahu jawabannya.

Jadi tolong kasih kesempatan dulu buat yang lain untuk berpikir, at least sampai beberapa hari ke depan. OK?

mhyworld · « **Jawab #2 pada:** November 09, 2011, 03:51:47 PM »

Tak terasa sudah seminggu pertanyaan ini diposting. Saya pikir sudah cukup masa inkubasinya. Sudah waktunya soal ini dibuka lagi untuk umum.

Untuk menyelesaikan soal seperti ini, paling tidak ada 3 hal yang perlu diperhatikan. Jika kita telah memahami ketiga hal tersebut, soal ini bisa diselesaikan tanpa kesulitan yang berarti.

Saya akan menyampaikan ketiga hal tersebut satu per satu, sambil memberi kesempatan pembaca untuk memikirkan jawabannya. Kalau ada yang bisa menyelesaikannya sebelum saya buka petunjuk terakhir, silakan saja.

reborn · « **Jawab #3 pada:** November 10, 2011, 12:30:13 AM »

wah, menarik keliatannya nih. Ikutan ya...

Sinarnya masuk melalui titik P ya? Hmm... intuisi saya mengatakan ini berlaku untuk setiap R, gak masalah berapa pun nilai R.
Kemudian kita tahu bahwa sudut sinar datang sama dengan sudut pantulnya. Dan titik pusat O selalu merupakan garis normalnya. Ini mungkin 1 dari 3 hal yang perlu diketahui ya? Sejauh ini saya benar gak

mhyworld · « **Jawab #4 pada:** November 10, 2011, 01:15:10 AM »

Kutip dari: reborn pada November 10, 2011, 12:30:13 AM

wah, menarik keliatannya nih. Ikutan ya...

Sinarnya masuk melalui titik P ya? Hmm... intuisi saya mengatakan ini berlaku untuk setiap R, gak masalah berapa pun nilai R.
Kemudian kita tahu bahwa sudut sinar datang sama dengan sudut pantulnya. Dan titik pusat O selalu merupakan garis normalnya. Ini mungkin 1 dari 3 hal yang perlu diketahui ya? Sejauh ini saya benar gak

Tentu saja nilai R (selain 0 dan tak terhingga) tidak mempengaruhi hasilnya.
Sesuai hukum pemantulan pada cermin, sudut sinar datang sama dengan sudut pantulnya.
Mungkin maksud anda garis yang menghubungkan titik sudut pantul dengan titik pusat O selalu merupakan garis normalnya.

Ketiga hal di atas merupakan dasar yang harus dipahami terlebih dahulu untuk menyelesaikan soal ini. Selanjutnya, baru kita melangkah ke tiga hal yang lebih spesifik yang saya sebutkan tadi.

OK, petunjuk pertama adalah kita harus menentukan terlebih dahulu besar sudut pusat yang menghadap ruas sinar pertama.
Pada contoh gambar di atas, ruas sinar pertama adalah P3 (gunakan angka di luar lingkaran), dan sudut pusat yang harus dicari adalah sudut PO3. Silakan dicoba

mhyworld · « **Jawab #5 pada:** November 11, 2011, 04:44:48 PM »

OK deh, biar lebih ramai, yang berhasil jawab dengan benar dikasih IQ +1.

Sebelum lanjut ke petunjuk kedua, silakan petunjuk pertamanya dimaksimalkan dulu. Kalau rumus untuk mencari sudut pusat berdasarkan sudut datangnya sudah diketahui, cobalah hitung sudut pusat itu untuk pola-pola yang sederhana, yaitu segi-n beraturan (segi 3,4,5,6, dst). Dari sini anda akan menemukan suatu pola hubungan yang akan mengantarkan anda pada petunjuk kedua.

Selamat bekerja.

Farabi · « **Jawab #6 pada:** November 11, 2011, 10:16:44 PM »

Sudut total 360 derajat.
Sudut pantul ternyata totalnya 45 derajat. Berputar 1 putaran berarti 8 kali pantul.

?
Puyeng ah, ternyata yang begini bisa dilihat polanya juga. Ga abis pikir saja.

reborn · « **Jawab #7 pada:** November 16, 2011, 04:27:24 AM »

Kayaknya udah nemu nih.

Kutip dari: mhyworld pada November 02, 2011, 11:57:23 PM

Jika sudut θ = 10°, berapakah banyaknya sudut pantul yang terbentuk oleh berkas sinar tersebut ?
berapa kali ujung sinar mengelilingi pusat lingkaran?
bagaimana rumus umumnya untuk besar sudut yang lain?

9 kali memantul dan 4 kali mengelilingi lingkaran.
Rumus umum menyusul, biar yg penasaran gak ngambek hehe...
Tapi hanya sekedar meyakinkan,

Jika sudut θ = 1°, maka sinar memantul 180 kali dan 89 kali mengelilingi lingkaran.

Begitu kan?

mhyworld · « **Jawab #8 pada:** November 16, 2011, 11:46:20 AM »

Kutip dari: reborn pada November 16, 2011, 04:27:24 AM

Kayaknya udah nemu nih.

9 kali memantul dan 4 kali mengelilingi lingkaran.
Rumus umum menyusul, biar yg penasaran gak ngambek hehe...
Tapi hanya sekedar meyakinkan,

Jika sudut θ = 1°, maka sinar memantul 180 kali dan 89 kali mengelilingi lingkaran.

Begitu kan?

Hehe. Hebat, sudah bisa jawab dari petunjuk pertama saja. Bahkan sudah bisa menghitung untuk sudut yang lain, berarti bukan sekedar pakai cara coba-coba.

Karena sudah bisa jawab dengan benar, tentunya petunjuk kedua berikut sudah diketahui juga. Tapi biar yang lain juga pada tahu, saya sampaikan saja.

besar sudut pusat (yang disebut pada petunjuk pertama) sebanding dengan banyaknya putaran yang harus dilakukan oleh ujung sinar dan berbanding terbalik dengan banyaknya sudut pantul yang terbentuk. Kalau dinyatakan dalam rumus,

φ≈t/s

dengan
φ : besar sudut pusat
t : tingkat/orde pemantulan, yang juga menyatakan banyaknya putaran oleh ujung sinar mengelilingi titik pusat. Bisa juga dilihat dari banyaknya "lompatan" yang dilakukan oleh ujung sinar dari sumber sampai terjadi pantulan pertama.
s : banyaknya sudut pantul yang terbentuk.

Untuk mendapatkan rumus umum, masih ada satu petunjuk lagi yang diperlukan, namun agak tersembunyi.

Sesuai janji saya, saya hadiahkan satu IQ karena telah menjawab pertanyaan dengan benar. Silakan yang lain kalau jangan ketinggalan menjawab pertanyaan terakhir.

mhyworld · « **Jawab #9 pada:** November 22, 2011, 05:54:52 PM »

Akhirnya tiba saatnya untuk petunjuk ketiga.
Kalau dilihat sekilas, tampaknya rumus pemantulan sinar dalam lingkaran agak aneh, karena tampaknya kita hanya diberi satu variabel yang diketahui (sudut datang) namun harus mencari dua variabel yang tidak diketahui (banyaknya sudut pantul dan banyaknya putaran atau orde pemantulan). Pada umumnya, kita diberi tahu beberapa variable yang diketahui untuk menghitung satu variabel yang dicari. Kalaupun variabel yang dicari lebih dari satu, biasanya jumlah variabel yang diketahui lebih banyak.

Dalam soal di sini, sebenarnya ada satu lagi variabel yang diketahui, namun letaknya tersembunyi dalam kalimat soal. Variabel yang dimaksud adalah jumlah sumber sinar. Jumlah sumber sinar akan menentukan faktor persekutuan terbesar (FPB) antara order pemantulan (banyaknya putaran) dan banyaknya sudut pantul.

Contoh, untuk membentuk bintang David (banyaknya putaran=2, banyaknya sudut pantul=6) diperlukan 2 buah sumber sinar, masing-masing dengan sudut datang 30 derajat. Sedangkan untuk membentuk bintang segi lima (banyaknya putaran=2, banyaknya sudut pantul=5) cukup diperlukan satu sumber sinar.

mhyworld · « **Jawab #10 pada:** Desember 19, 2011, 12:18:39 AM »

Sudah lama terbengkalai nih topik ini. Padahal masih banyak yang perlu disampaikan.

OK, kesimpulan sejauh ini

t=tingkat/orde pemantulan, juga menunjukkan jumlah putaran.
s=banyaknya sudut pantul.
θ=besar sudut datang.

untuk menentukan nilai s sendiri diperlukan nilai FPB antara t dan s, yang diketahui dari banyaknya sumber sinar.

mhyworld · « **Jawab #11 pada:** Desember 19, 2011, 12:33:02 AM »

Untuk menghitung faktor persekutuan terbesar (great common factor) antara dua bilangan biasanya digunakan metode pohon faktor. Namun metode tersebut memiliki kelemahan karena harus diketahui terlebih dahulu bilangan-bilangan prima yang digunakan sebagai pembagi. Oleh karena itu metode tersebut tidak akan dibahas di sini.

faktor persekutuan terbesar antara dua bilangan dapat dicari dengan metode reduksi sisa pembagian yang merupakan penyederhanaan (atau pengembangan?) dari Algoritma Euklidean. Metode ini didasarkan pada kenyataan bahwa :

Fungsi FPB bersifat komutatif, sehingga FPB(y,x) = FPB(x,y)…..(3.4)

Jika y>x maka FPB(y,x) = FPB(y,ny+x)….(3.5)

di mana x,y, dan n bilangan asli.

Persamaan (3.5) dapat dibuktikan sebagai berikut :

Misal x = a²bc dan y = acd, di mana a, b, c, d bilangan prima yang berbeda, dan y>x

Jika z = ny+x maka z = nacd + a²bc

Faktor-faktor yang sama dapat dikeluarkan sehingga diperoleh z = ac.(ab+nd)

Dengan demikian faktor-faktor persekutuan prima antara x dan y juga merupakan faktor-faktor prima dari z.

Karena a dan b merupakan bilangan prima selain d, maka ab+nd tidak akan menghasilkan bilangan kelipatan d, sehingga ab+nd tidak akan memunculkan faktor persekutuan yang baru antara z dan y. Sehingga FPB(y,x) = FPB(y,z) = FPB(y,ny+x)

Jika z = ny+x dan x<y maka x = z mod y

Sehingga FPB(y,z) = FPB(y,z mod y)….(3.6)

Rumus di atas berlaku untuk setiap bilangan asli y dan z. karena z mod y < y maka akan diperoleh bilangan yang lebih kecil dari semula. Jika proses di atas dilanjutkan untuk setiap hasil penyederhanaan dari rumus 3.7, pada akhirnya akan diperoleh FPB antara suatu bilangan dengan nol.

Karena semua bilangan (kecuali tak terhingga) jika dikalikan dengan nol sama dengan nol maka dapat dikatakan bahwa semua bilangan (kecuali tak terhingga) merupakan faktor dari nol. Sehingga FPB antara suatu bilangan dengan nol adalah bilangan itu sendiri.

Untuk memperjelas konsep di atas, berikut akan diberikan beberapa contoh penghitungannya :

Ditanyakan faktor persekutuan terbesar antara 342 dan 96.

Jawab : FPB(342,96)
= FPB(96,342)    = FPB(96,342 mod 96)

= FPB(96,54)
= FPB(54,96)    = FPB(54,96 mod 54)

= FPB(54,12)
= FPB(12,54)    = FPB(12,54 mod 12)

= FPB(12,6)
= FPB(6,12)    = FPB(6,12 mod 6)

= FPB(6,0)

= 6

Sehingga FPB(96,324) = 6.

Cara penghitungan di atas memang tampaknya cukup panjang, namun dapat disederhanakan penulisannya dengan hanya mencantumkan bilangan-bilangan asal dan hasil-hasil yang diperoleh pada setiap langkah (pada contoh di atas ditunjukkan oleh bilangan yang bergaris bawah), sehingga diperoleh suatu barisan bilangan sebagai berikut :

342,96,54,12,6,0.

Barisan bilangan tersebut diawali dengan dua bilangan yang dicari FPB-nya (diurutkan dari yang terbesar), sedangkan bilangan yang lain merupakan sisa pembagian antara dua bilangan di depannya. Pada barisan tersebut, semakin ke kanan akan diperoleh bilangan yang semakin kecil, dan diakhiri dengan nol. FPB yang dicari adalah bilangan yang terletak tepat di depan (sebelah kiri) nol, pada contoh di atas adalah 6.

Dengan cara yang sama dapat dicari FPB antara 1463 dan 1771 dan akan diperoleh barisan bilangan sebagai berikut :

1771, 1463, 308, 231, 77, 0.

Dengan demikian FPB(1771,1463) = 77.

mhyworld · « **Jawab #12 pada:** Desember 29, 2011, 10:34:37 PM »

OK. Sekarang kesempatan untuk menambah IQ. Jangan sampai dilewatkan.
Silakan dicoba, ibu-ibu bapak-bapak adik-adik kakak-kakak. Begini soalnya

Sebuah pola pemantulan sinar dalam lingkaran dengan radius cermin 1 meter membentuk pola bintang segi lima seperti pada gambar berikut.

Pada bagian tengah bintang tersebut tampak bentuk segi lima sama sisi.

Pertanyaannya,
1. Berapa panjang masing-masing sisi segi lima tersebut?
2. Berapa luas segi lima tersebut?

Kalau kedua soal di atas dijawab oleh orang yang sama, dia akan dapat tambahan +1 IQ. Kalau orangnya beda, masing-masing dapat +1 IQ.

Gak usah protes. Emangnya gampang bikin soal? apalagi kalau harus tahu jawabannya juga.

mhyworld · « **Jawab #13 pada:** Januari 04, 2012, 12:18:27 AM »

Koq belum ada yang jawab? emang susah gitu?
Mungkin yang segienam bisa lebih mudah jawabnya, karena bisa pakai cara lain.

Soalnya masih sama.
Sebuah pola pemantulan sinar dalam lingkaran dengan radius cermin 1 meter membentuk pola bintang segi enam seperti pada gambar di atas. Pada bagian tengah bintang tersebut tampak bentuk segi enam sama sisi.

Pertanyaannya,
1. Berapa panjang masing-masing sisi segi enam tersebut?
2. Berapa luas segi enam tersebut?

Artikel Sains

Aku Cinta ForSa

Pranala Luar

ShoutBox!

Penulis Topik: pemantulan sinar dalam lingkaran (Dibaca 1266 kali)