Penulis Topik: Persamaan Differensial, Help Me!!! (Dibaca 1577 kali)

Nabih · « **pada:** Desember 11, 2009, 06:50:18 PM »

1. Solusi umum dari $y''-y=5e^{-x}sinx$ , adalah...
2. Jika $y'=z,z'=-4y$
bentuk umum dari $z(t)$ adalah...
3. Solusi umum dari persamaan differensial $y'-4y=-2y^2$ adalah...
4. Solusi khusus dari pe5rsamaan differensial
$y'=\frac{y}{x}+\frac{2x^3cosx^2}{y}$
5. Banyak pertumbhan populasi dapat dimodelkan dalam fungsi $\frac{dp}{dt}=sp(N-p)$ dengan $N$ adalah kemampuan lingkungan mendukung populasi tersebut dan $s$ adalah konstanta laju petumbuhan. Titik belok dari fungsi tersebut adalah...

Mtk Kerajaan Mataram · « **Jawab #1 pada:** Desember 13, 2009, 04:06:55 PM »

Kutip dari: Nabih pada Desember 11, 2009, 06:50:18 PM

1. Solusi umum dari $y''-y=5e^{-x}sinx$ , adalah...

${y}''-y=5e^{-x} \sin x$
Penyelesaian Homogen dapat diperoleh melalui persamaan karakteristik $r^2-1=0 \Rightarrow r_{12}=1$ , sehingga
$y_h=C_1e^x+C_2xe^x$

Penyelesaian khusus $y_p$ sekarang, kita gunakan variasi parameter.

Kita gunakan parameter $u_1$ dan $u_2$ , sehingga ;

$u_1'e^x+u_2'xe^x=0$ ......(i)

$u_1'(e^x)'+u_2'(xe^x)'=5e^{-x} \sin x \Rightarrow u_1'e^x+u_2'(xe^x+e^x)=5e^{-x} \sin x$ ......(ii)

Dengan mengurangkan (ii) dengan (i) diperoleh $u_2'e^x=5e^{-x} \sin x$ atau $u_2'=5e^{-2x} \sin x$ , sehingga dengan substitusi pada (i) diperoleh $u_1=-5xe^{-2x} \sin x$ .

$u_2=\int 5e^{-2x} \sin x dx$

Dengan integrasi parsial diperoleh
$u_2=-e^{-2x} \cos x -2e^{-2x} \sin x =-(\cos x + 2\sin x )e^{-2x}$

juga,

$u_1=\int -5xe^{-2x} \sin x dx$

Dengan integrasi parsial diperoleh
$u_1=(2 \sin x - \cos x)xe^{-2x}-\frac{1}{5}(3 \sin x + 4 \cos x)e^{-2x}$

Penyelesaian khusus didapat dengan

$y_p=u_1y_1+u_2y_2$ , dimana dari $y_h=C_1e^x+C_2xe^x$ ,

$y_1=e^x$ dan $y_2=xe^x$ , sehingga

$y_p=\{(2 \sin x - \cos x)xe^{-2x}-\frac{1}{5}(3 \sin x + 4 \cos x)e^{-2x}\}e^x-\{(\cos x + 2\sin x )e^{-2x}\}xe^x$

Selanjutnya penyelesaian umum dari Pers Differensial tsb adalah
$y=y_h+y_p$

$=C_1e^x+C_2xe^x+\{(2 \sin x - \cos x)xe^{-2x}-\frac{1}{5}(3 \sin x + 4 \cos x)e^{-2x}\}e^x-\{(\cos x + 2\sin x )e^{-2x}\}xe^x$

Mtk Kerajaan Mataram · « **Jawab #2 pada:** Desember 13, 2009, 06:37:23 PM »

Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada Desember 13, 2009, 04:06:55 PM

Kutip dari: Nabih pada Desember 11, 2009, 06:50:18 PM
1. Solusi umum dari $y''-y=5e^{-x}sinx$ , adalah...

${y}''-y=5e^{-x} \sin x$
Penyelesaian Homogen dapat diperoleh melalui persamaan karakteristik $r^2-1=0 \Rightarrow r_{12}=1$ , sehingga
$y_h=C_1e^x+C_2xe^x$

Ternyata saya ada keliru di awal, nih. Seharusnya $r^2-1=0 \Rightarrow r_{1}=1, r_{2}=-1$ , sedangkan penyelesaian saya di atas seharusnya untuk $y''-2y'+y=5e^{-x}sinx$ .

Sekarang kembali pada ${y}''-y=5e^{-x} \sin x$ yang seharusnya kita peroleh $y_h=C_1e^x+C_2e^{-x}$ .

Lalu,

$u_1'e^x+u_2'e^{-x}=0$ ......(i)

$u_1'(e^x)'+u_2'(e^{-x}'=5e^{-x} \sin x \Rightarrow u_1'e^x-u_2'e^{-x}=5e^{-x} \sin x$ ......(ii)
Dengan mengurangkan (ii) dengan (i) diperoleh $u_2'e^{-x}=5e^{-x} \sin x$ atau $u_2'=5 \sin x$ , sehingga dengan substitusi pada (i) diperoleh $u_1=-5e^{-2x} \sin x$ .
$u_2=\int 5 \sin x dx$
$u_1=\int -5 e^{-2x} \sin x dx$

Selanjutnya bisa menirukan cara di atas untuk sampai pada solusi umum...

Nabih · « **Jawab #3 pada:** Desember 13, 2009, 07:41:34 PM »

untuk no 1 dan 3 saya sudah bisa, tolong b4erican clue untuk no yang lain

sekalian tolong koreksi jawaban saya di
http://www.forumsains.com/matematika/soal-teori-bilangan-untuk-pemula/

oyi · « **Jawab #4 pada:** Desember 14, 2009, 03:33:49 PM »

Kutip dari: Nabih pada Desember 11, 2009, 06:50:18 PM

4. Solusi khusus dari pe5rsamaan differensial
$y'=\frac{y}{x}+\frac{2x^3cosx^2}{y}$

$y'=\frac{y}{x}+\frac{2x^3cosx^2}{y}$
untuk solusi bisa menggunakan pers. bernouli dimana y' + Py = Qy^n; P dan Q adalah fungsi x
--> $y'-\frac{y}{x}=+\frac{2x^3cosx^2}{y}$
misal
z = y^(1-n)
z' = (1-n)y^(-n).y'.............(a); n pangkat dari y
kalikan pers.a ke pers bernouli
z' + (1-n)Pz= (1-n)Q

untuk soal diatas,

z' - 2.x^(-1)z = (4x^3.cos(x^2)
menjadi identik dengan bentuk y' + py = Q -- > penyelesaian : y.e^I = \intQe^I.dx + c

I= integral(P.dx); p = -2/x
I= -2lnx + c
z.e^I =integral(Q.e^I).dx = integral (4x^3.(cosx^2)/x^2)
;
;
;

z = 4x^2 (xsinx+cosx+A) ---> z=y^2
y =(4x^2(xsinx+cosx+A)^(1/2)

clue yand saya tau sperti itu, maaf berantakan

Nabih · « **Jawab #5 pada:** Desember 14, 2009, 07:57:29 PM »

IQ +1 buat oyi, makasih yaaa

Sky · « **Jawab #6 pada:** Desember 15, 2009, 03:07:47 AM »

Kutip dari: Nabih pada Desember 11, 2009, 06:50:18 PM

2. Jika $y'=z,z'=-4y$
bentuk umum dari $z(t)$ adalah...
4. Solusi khusus dari pe5rsamaan differensial
$y'=\frac{y}{x}+\frac{2x^3cosx^2}{y}$
5. Banyak pertumbhan populasi dapat dimodelkan dalam fungsi $\frac{dp}{dt}=sp(N-p)$ dengan $N$ adalah kemampuan lingkungan mendukung populasi tersebut dan $s$ adalah konstanta laju petumbuhan. Titik belok dari fungsi tersebut adalah...

Kalau begitu, aku coba kasih clue untuk sisanya:
2.
Dari persamaan di soal, jika disulihkan:
$z'=-4y$ , karena $y'=z$ maka:
$(z)'=-4y$
$(y')'=-4y$
$y''=-4y$
$y''+4y=0$
Didapat persamaan differensial orde 2 homogen dengan persamaan pembantu:
$r^2+4r=0$
Selanjutnya bisa dicari dengan cara biasa....

5.
Dari persamaan laju pertumbuhan:
$\frac{dp}{dt}=sp(N-p)$ , bisa kita simpulkan:
$\frac{dp}{dt}=s(Np-p^2)$
Laju pertumbuhan sebanding dengan persamaan kuadrat dari populasinya.
Jadi, dilihat dari definisinya, titik belok adalah titik dimana laju pertambahan pertumbuhan bertemu dengan laju pengurangan pertumbuhan.
Dengan kata lain, kita cari t saat laju pertumbuhannya tepat akan menurun.
Artinya, turunan pertama dari p di t positif (populasi tumbuh karena laju pertambahan populasi positif), tapi turunan kedua dari p di t, adalah 0, dan di t+dt adalah negatif (pertumbuhan menurun).

Secara matematis bisa ditulis :
persamaannya harus memenuhi:
$\frac {dp}{dt}(t)>0$ ,
$\frac {d^2p}{dt^2}(t)=0$
$\frac {d^2p}{dt^2}(t+dt)<0$
Syarat yang tidak perlu dievaluasi karena , grafiknya sudah jelas:
a. Populasi akan terus bertambah ( $\frac {dp}{dt}>0$ )
b. sebelum saat t, laju pertambahan populasi meningkat. Setelah t, laju pertambahan populasi menurun (karena dibatasi oleh N).

Sehingga, syarat perlu dievaluasi hanya:
$\frac {d^2p}{dt^2}(t)=0$
dari sini, bisa didapat p, yang hanya bergantung pada N....

oyi · « **Jawab #7 pada:** Desember 15, 2009, 10:55:27 AM »

woho,sama2

Kutip dari: oyi pada Desember 14, 2009, 03:33:49 PM

Kutip dari: Nabih pada Desember 11, 2009, 06:50:18 PM
4. Solusi khusus dari pe5rsamaan differensial
$y'=\frac{y}{x}+\frac{2x^3cosx^2}{y}$

$y'=\frac{y}{x}+\frac{2x^3cosx^2}{y}$
z.e^I =integral(Q.e^I).dx = integral (4x^3.(cosx^2)/x^2)

integral (4x^3.(cosx^2)/x^2)
hasilnya bukan ini -->z = 4x^2 (xsinx+cosx+A) ---> karena saya lupa kalo cosx^2
jadi integral(4x^3.(cosx^2)/x^2)dx semula dikerjakan scr parsial dengan anggapan itu adalah cos x.
penyelesaian; z = 2x^2(Sinx^2+A)---> y = (2x^2(sinx^2+A))^1/2

Nabih · « **Jawab #8 pada:** Desember 16, 2009, 03:44:38 PM »

TIDAAAAAAAK!!!

ternyata no 2 cuma gitu yaa

+2IQ untuk sky, sky brilian!!!

User

Artikel Sains

Aku Cinta ForSa

Pranala Luar

ShoutBox!

fajri

haman11

GhostInMachine

army.fice

lustforscience

exile_rstd

exile_rstd

Farabi

exile_rstd

N E R R O

Penulis Topik: Persamaan Differensial, Help Me!!! (Dibaca 1577 kali)

Nabih

Persamaan Differensial, Help Me!!!

Mtk Kerajaan Mataram

Re: Persamaan Differensial, Help Me!!!

Mtk Kerajaan Mataram

Re: Persamaan Differensial, Help Me!!!

Nabih

Re: Persamaan Differensial, Help Me!!!

oyi

Re: Persamaan Differensial, Help Me!!!

Nabih

Re: Persamaan Differensial, Help Me!!!

Sky

Re: Persamaan Differensial, Help Me!!!

oyi

Re: Persamaan Differensial, Help Me!!!

Nabih

Re: Persamaan Differensial, Help Me!!!