Persamaan Differensial, Help Me!!!

Nabih · Desember 11, 2009, 06:50:18 PM

1. Solusi umum dari $y''-y=5e^{-x}sinx$ , adalah...
2. Jika $y'=z,z'=-4y$
bentuk umum dari $z(t)$ adalah...
3. Solusi umum dari persamaan differensial $y'-4y=-2y^2$ adalah...
4. Solusi khusus dari pe5rsamaan differensial
$y'=\frac{y}{x}+\frac{2x^3cosx^2}{y}$
5. Banyak pertumbhan populasi dapat dimodelkan dalam fungsi $\frac{dp}{dt}=sp(N-p)$ dengan $N$ adalah kemampuan lingkungan mendukung populasi tersebut dan $s$ adalah konstanta laju petumbuhan. Titik belok dari fungsi tersebut adalah...

Mtk Kerajaan Mataram · Desember 13, 2009, 04:06:55 PM

Kutip dari: Nabih pada Desember 11, 2009, 06:50:18 PM
1. Solusi umum dari $y''-y=5e^{-x}sinx$ , adalah...

${y}''-y=5e^{-x} \sin x$
Penyelesaian Homogen dapat diperoleh melalui persamaan karakteristik $r^2-1=0 \Rightarrow r_{12}=1$ , sehingga
$y_h=C_1e^x+C_2xe^x$

Penyelesaian khusus $y_p$ sekarang, kita gunakan variasi parameter.

Kita gunakan parameter $u_1$ dan $u_2$ , sehingga ;

$u_1'e^x+u_2'xe^x=0$ ......(i)

$u_1'(e^x)'+u_2'(xe^x)'=5e^{-x} \sin x \Rightarrow u_1'e^x+u_2'(xe^x+e^x)=5e^{-x} \sin x$ ......(ii)

Dengan mengurangkan (ii) dengan (i) diperoleh $u_2'e^x=5e^{-x} \sin x$ atau $u_2'=5e^{-2x} \sin x$ , sehingga dengan substitusi pada (i) diperoleh $u_1=-5xe^{-2x} \sin x$ .

$u_2=\int 5e^{-2x} \sin x dx$

Dengan integrasi parsial diperoleh
$u_2=-e^{-2x} \cos x -2e^{-2x} \sin x =-(\cos x + 2\sin x )e^{-2x}$

juga,

$u_1=\int -5xe^{-2x} \sin x dx$

Dengan integrasi parsial diperoleh
$u_1=(2 \sin x - \cos x)xe^{-2x}-\frac{1}{5}(3 \sin x + 4 \cos x)e^{-2x}$

Penyelesaian khusus didapat dengan

$y_p=u_1y_1+u_2y_2$ , dimana dari $y_h=C_1e^x+C_2xe^x$ ,

$y_1=e^x$ dan $y_2=xe^x$ , sehingga

$y_p=\{(2 \sin x - \cos x)xe^{-2x}-\frac{1}{5}(3 \sin x + 4 \cos x)e^{-2x}\}e^x-\{(\cos x + 2\sin x )e^{-2x}\}xe^x$

Selanjutnya penyelesaian umum dari Pers Differensial tsb adalah
$y=y_h+y_p$

$=C_1e^x+C_2xe^x+\{(2 \sin x - \cos x)xe^{-2x}-\frac{1}{5}(3 \sin x + 4 \cos x)e^{-2x}\}e^x-\{(\cos x + 2\sin x )e^{-2x}\}xe^x$

Mtk Kerajaan Mataram · Desember 13, 2009, 06:37:23 PM

Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada Desember 13, 2009, 04:06:55 PM
Kutip dari: Nabih pada Desember 11, 2009, 06:50:18 PM
1. Solusi umum dari $y''-y=5e^{-x}sinx$ , adalah...

${y}''-y=5e^{-x} \sin x$
Penyelesaian Homogen dapat diperoleh melalui persamaan karakteristik $r^2-1=0 \Rightarrow r_{12}=1$ , sehingga
$y_h=C_1e^x+C_2xe^x$

Ternyata saya ada keliru di awal, nih. Seharusnya $r^2-1=0 \Rightarrow r_{1}=1, r_{2}=-1$ , sedangkan penyelesaian saya di atas seharusnya untuk $y''-2y'+y=5e^{-x}sinx$ .

Sekarang kembali pada ${y}''-y=5e^{-x} \sin x$ yang seharusnya kita peroleh $y_h=C_1e^x+C_2e^{-x}$ .

Lalu,

$u_1'e^x+u_2'e^{-x}=0$ ......(i)

$u_1'(e^x)'+u_2'(e^{-x}'=5e^{-x} \sin x \Rightarrow u_1'e^x-u_2'e^{-x}=5e^{-x} \sin x$ ......(ii)
Dengan mengurangkan (ii) dengan (i) diperoleh $u_2'e^{-x}=5e^{-x} \sin x$ atau $u_2'=5 \sin x$ , sehingga dengan substitusi pada (i) diperoleh $u_1=-5e^{-2x} \sin x$ .
$u_2=\int 5 \sin x dx$
$u_1=\int -5 e^{-2x} \sin x dx$

Selanjutnya bisa menirukan cara di atas untuk sampai pada solusi umum...

Nabih · Desember 13, 2009, 07:41:34 PM

untuk no 1 dan 3 saya sudah bisa, tolong b4erican clue untuk no yang lain

sekalian tolong koreksi jawaban saya di
http://www.forumsains.com/matematika/soal-teori-bilangan-untuk-pemula/

oyi · Desember 14, 2009, 03:33:49 PM

Kutip dari: Nabih pada Desember 11, 2009, 06:50:18 PM
4. Solusi khusus dari pe5rsamaan differensial
$y'=\frac{y}{x}+\frac{2x^3cosx^2}{y}$

$y'=\frac{y}{x}+\frac{2x^3cosx^2}{y}$
untuk solusi bisa menggunakan pers. bernouli dimana y' + Py = Qy^n; P dan Q adalah fungsi x
--> $y'-\frac{y}{x}=+\frac{2x^3cosx^2}{y}$
misal
z = y^(1-n)
z' = (1-n)y^(-n).y'.............(a); n pangkat dari y
kalikan pers.a ke pers bernouli
z' + (1-n)Pz= (1-n)Q

untuk soal diatas,

z' - 2.x^(-1)z = (4x^3.cos(x^2)
menjadi identik dengan bentuk y' + py = Q -- > penyelesaian : y.e^I = \intQe^I.dx + c

I= integral(P.dx); p = -2/x
I= -2lnx + c
z.e^I =integral(Q.e^I).dx = integral (4x^3.(cosx^2)/x^2)
;
;
;

z = 4x^2 (xsinx+cosx+A) ---> z=y^2
y =(4x^2(xsinx+cosx+A)^(1/2)

clue yand saya tau sperti itu, maaf berantakan

Nabih · Desember 14, 2009, 07:57:29 PM

IQ +1 buat oyi, makasih yaaa

Sky · Desember 15, 2009, 03:07:47 AM

Kutip dari: Nabih pada Desember 11, 2009, 06:50:18 PM
2. Jika $y'=z,z'=-4y$
bentuk umum dari $z(t)$ adalah...
4. Solusi khusus dari pe5rsamaan differensial
$y'=\frac{y}{x}+\frac{2x^3cosx^2}{y}$
5. Banyak pertumbhan populasi dapat dimodelkan dalam fungsi $\frac{dp}{dt}=sp(N-p)$ dengan $N$ adalah kemampuan lingkungan mendukung populasi tersebut dan $s$ adalah konstanta laju petumbuhan. Titik belok dari fungsi tersebut adalah...

Kalau begitu, aku coba kasih clue untuk sisanya:
2.
Dari persamaan di soal, jika disulihkan:
$z'=-4y$ , karena $y'=z$ maka:
$(z)'=-4y$
$(y')'=-4y$
$y''=-4y$
$y''+4y=0$
Didapat persamaan differensial orde 2 homogen dengan persamaan pembantu:
$r^2+4r=0$
Selanjutnya bisa dicari dengan cara biasa....

5.
Dari persamaan laju pertumbuhan:
$\frac{dp}{dt}=sp(N-p)$ , bisa kita simpulkan:
$\frac{dp}{dt}=s(Np-p^2)$
Laju pertumbuhan sebanding dengan persamaan kuadrat dari populasinya.
Jadi, dilihat dari definisinya, titik belok adalah titik dimana laju pertambahan pertumbuhan bertemu dengan laju pengurangan pertumbuhan.
Dengan kata lain, kita cari t saat laju pertumbuhannya tepat akan menurun.
Artinya, turunan pertama dari p di t positif (populasi tumbuh karena laju pertambahan populasi positif), tapi turunan kedua dari p di t, adalah 0, dan di t+dt adalah negatif (pertumbuhan menurun).

Secara matematis bisa ditulis :
persamaannya harus memenuhi:
$\frac {dp}{dt}(t)>0$ ,
$\frac {d^2p}{dt^2}(t)=0$
$\frac {d^2p}{dt^2}(t+dt)<0$
Syarat yang tidak perlu dievaluasi karena , grafiknya sudah jelas:
a. Populasi akan terus bertambah ( $\frac {dp}{dt}>0$ )
b. sebelum saat t, laju pertambahan populasi meningkat. Setelah t, laju pertambahan populasi menurun (karena dibatasi oleh N).

Sehingga, syarat perlu dievaluasi hanya:
$\frac {d^2p}{dt^2}(t)=0$
dari sini, bisa didapat p, yang hanya bergantung pada N....

oyi · Desember 15, 2009, 10:55:27 AM

woho,sama2

Kutip dari: oyi pada Desember 14, 2009, 03:33:49 PM
Kutip dari: Nabih pada Desember 11, 2009, 06:50:18 PM
4. Solusi khusus dari pe5rsamaan differensial
$y'=\frac{y}{x}+\frac{2x^3cosx^2}{y}$

$y'=\frac{y}{x}+\frac{2x^3cosx^2}{y}$
z.e^I =integral(Q.e^I).dx = integral (4x^3.(cosx^2)/x^2)

integral (4x^3.(cosx^2)/x^2)
hasilnya bukan ini -->z = 4x^2 (xsinx+cosx+A) ---> karena saya lupa kalo cosx^2
jadi integral(4x^3.(cosx^2)/x^2)dx semula dikerjakan scr parsial dengan anggapan itu adalah cos x.
penyelesaian; z = 2x^2(Sinx^2+A)---> y = (2x^2(sinx^2+A))^1/2

Nabih · Desember 16, 2009, 03:44:38 PM

TIDAAAAAAAK!!!

ternyata no 2 cuma gitu yaa

+2IQ untuk sky, sky brilian!!!

User

Cari

Check This Out

Topik Baru

Artikel Sains

Stats

Anggota

Stats

Pengguna Online

Aku Cinta ForSa

Persamaan Differensial, Help Me!!!

Nabih

Mtk Kerajaan Mataram

Mtk Kerajaan Mataram

Nabih

oyi

Nabih

Sky

oyi

Nabih