Penulis Topik: residu Deret laurentz (Dibaca 2822 kali)

oyi · « **pada:** Januari 04, 2010, 08:58:31 AM »

mohon bantuanya (untk kesekian kali

)

lanjutan dari deret laurentz
f(z)=sigma an (z-zn0l) + b-1/z-zn0l
f(z).(z-zn0l) = b-1 + sigma an(z-zo)^n+1
saat z-zn0l maka b-1= lìm z mndkati zn0l darì f(z) adlh residunya
jk dketahui
f(z)=cotan z
residunya adalah?

krn tdk menguasai mimeteks jd ada pernyataan yg rancu,tp mgkn ada yg tahu polanya,mh0n bantuan penyelesaianya

Mtk Kerajaan Mataram · « **Jawab #1 pada:** Januari 05, 2010, 09:43:08 PM »

Jika $z_0$ titik singular dari fungsi regular f (fungsi yang analitik pada seluruh R dan bernilai tunggal), maka kita dapat membuat ekspansi f dalam deret Laurent di sekitar $z_0$ .
Koefisien $a_k$ pada ekspansi tersebut diberikan dengan

$a_k=\frac{1}{2 \pi i} \oint \frac{f(z)}{(z-z_0)^{k+1}}dz$

Khususnya untuk k=-1, maka $a_{-1}$ disebut residu dari fungsi f(z) pada $z_0$ .

$a_{-1}=\frac{1}{2 \pi i} \oint f(z)dz$ .

$f(z) = cot z = \frac{cos z}{sin z}$ singular untuk sin z = 0, yaitu pada $z = n \pi,$ untuk $n = \cdots;-2;-2;0;1;2; \cdots$ .

$\cos z = \frac{a_{-1}}{z-z_0}+\sin z$ , mengapa ? carilah di literatur.

$(z-z_0)\cos z = a_{-1}+(z-z_0)\sin z$

$a_{-1}= \lim_{z \rightarrow z_0}(z-z_0)\frac {\cos z}{\sin z}$

$a_{-1}= \frac {\cos z}{(\sin z)'}=\frac {\cos z}{\cos z}=1$

oyi · « **Jawab #2 pada:** Januari 07, 2010, 05:06:02 PM »

thankyou banget prof!!

Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada Januari 05, 2010, 09:43:08 PM

$\cos z = \frac{a_{-1}}{z-z_0}+\sin z$ , mengapa ? carilah di literatur.

soalnya kmi hanya terbiasa menggunakan rumus yang ada dan kurng menganalisis hkikatnya

klau tadinya saya mengerjkan seperti ini
cotan z = cosz/sinz= (1- z^2/2! + z^4/4! +...)/(z(1- z^2/3! + z^4/5! + ...)
dengan pole = 0,mka koefisien a-1 = 1 saat z mendekati z0=0
atau cosz dan sinz dijabarkan dalam bentuk eksponensial, residunya 1 jg, bisa anda jelaskan tidak cara yang saya buat ini tinjauannya benar atau tidak karena saya jadi tidk mengerti bagaimana menentukan polenya, pole atu z nol = nol sya asumsikan saja

dengan definisi yang anda buat saya jadi mengerti treimakasih

Mtk Kerajaan Mataram · « **Jawab #3 pada:** Januari 08, 2010, 10:43:57 PM »

Kutip dari: oyi pada Januari 07, 2010, 05:06:02 PM

thankyou banget prof!!

soalnya kmi hanya terbiasa menggunakan rumus yang ada dan kurng menganalisis hkikatnya
klau tadinya saya mengerjkan seperti ini
cotan z = cosz/sinz= (1- z^2/2! + z^4/4! +...)/(z(1- z^2/3! + z^4/5! + ...)
dengan pole = 0,mka koefisien a-1 = 1 saat z mendekati z0=0

Apakah @oyi bisa menuliskan penjabaran hasil pembagian dari
$\cot z = \frac{\cos z}{\sin z}=\frac{1- \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} +...}{z(1-\frac{z^2}{3!} + \frac{z^4}{5!} + ...)}= \cdots$

oyi · « **Jawab #4 pada:** Januari 16, 2010, 02:05:16 PM »

Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada Januari 08, 2010, 10:43:57 PM

Apakah @oyi bisa menuliskan penjabaran hasil pembagian dari
$\cot z = \frac{\cos z}{\sin z}=\frac{1- \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} +...}{z(1-\frac{z^2}{3!} + \frac{z^4}{5!} + ...)}= \cdots$

$\cot z = \frac{\cos z}{\sin z}=\frac{1}{z(1-\frac{z^2}{3!} + \frac{z^4}{5!} + ...)} + \frac{\frac{z^2}{2!}}{z(1-\frac{z^2}{3!} + \frac{z^4}{5!} + ...)} + ... = \cdots$

jadi residunya adalah koefisien
$\frac{1}{z-0}=\frac{1}{1-\frac{z^2}{3!} + \frac{z^4}{5!} + ...}$
tapi $\frac{z^2}{3!} + \frac{z^4}{5!} + ...}$ bisa hasilnya nol atau nanti diuraikan lagi hingga membentuk penjumlahan suku (nanti saya cek lagi)

seperti yang anda tulis cotz = $a_{-1}= \lim_{z \rightarrow z_0}(z-z_0)\frac {\cos z}{\sin z}$

$a_{-1}= \lim_{z \rightarrow 0}(z-0)\frac {\cos 0}{\sin z}=\lim_{z \rightarrow 0}(z-0)\frac {1}{\sin z}=1$

tinjauan lagi untuk $cot^2\z$

[/quote]

Mtk Kerajaan Mataram · « **Jawab #5 pada:** Januari 17, 2010, 05:34:12 PM »

cotz = $a_{-1}= \lim_{z \rightarrow z_0}(z-z_0)\frac {\cos z}{\sin z}= \frac{\lim_{z \rightarrow z_0}\cos z}{\lim_{z \rightarrow z_0}\frac {\sin z}{z-z_0}}$

untuk $z_0 \rightarrow 0$ , maka $\lim_{z \rightarrow z_0}\frac {\sin z}{z-z_0}=\lim_{z \rightarrow z_0}\frac {\sin z - \sin z_0}{z-z_0}=\[\frac{d\sin z}{dz}\]_{z_0}$

sehingga

$a_{-1}=\frac{\cos z_0}{\[\frac{d\sin z}{dz}\]_{z_0}}=\frac{\cos z_0}{\cos z_0}=1$

@oyi
$\cot z = \frac{\cos z}{\sin z}=\frac{1- \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} +...}{z(1-\frac{z^2}{3!} + \frac{z^4}{5!} + ...)}= \cdots$
Yaa..saya tahu maksudnya,
koefisien dari $\frac{1}{z}$ adalah

$\frac{1}{1-\frac{z^2}{3!} + \frac{z^4}{5!} + ...}$ ,

untuk z menuju ke 0, maka nilainya mendekati 1.

oyi · « **Jawab #6 pada:** Januari 18, 2010, 07:03:40 AM »

bung mataram harap legowo dgn daya pikir saya,krn blm dapat konsepnya

yg sblmnya saya coba nentukan residu dgn metode deret,karena dgn limit saya kebingungan nentukan z nol nya,tapi atas ptunjuk anda saya mulai mengerti.
masalahnya,utama saya bngung menentukan pole jk fungsinya tdk dlm bentuk g(z)/z-znol,semisal cotz,
seperti ada soal lagi
residu cotz kuadrat (apakah pole nya n0l?) dan
residu e^z/(1+e^z) saat z=Πi
adalah

nah seperti ini lah,kalo ada soal misal e^z/(z^4+16)^4 baru bisa menentukan pole2nya

Mtk Kerajaan Mataram · « **Jawab #7 pada:** Januari 18, 2010, 09:26:31 PM »

Kutip dari: oyi pada Januari 18, 2010, 07:03:40 AM

.....
residu cotz kuadrat (apakah pole nya n0l?) dan
residu e^z/(1+e^z) saat z=Πi adalah
nah seperti ini lah,kalo ada soal misal e^z/(z^4+16)^4 baru bisa menentukan pole2nya

Titik $z=a$ merupakan pole dari fungsi f(z) jika f(z) mendekati tak hingga untuk $z$ mendekati $a$ . (dari wikipedia)

$\cot^2 z$ menuju tak hingga jika $\sin^2 z$ mendekati 0, sehingga sama seperti pada $\cot z$ , polenya adalah $z=n\pi$ , dengan $n=\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots$ .

Pole dari $\frac{e^z}{1+e^z}$ terjadi untuk $e^z=-1 \rightarrow z=i$n2\pi+\frac{3\pi}{2}$;n=\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots$

Misal kita mau cari residu pada $z=i\frac{3\pi}{2}$ , yaitu untuk n=0, maka
$Res $f,i\frac{3\pi}{2}$=\lim_{z\to i\frac{3\pi}{2}}(z-i\frac{3\pi}{2})\frac{e^z}{1+e^z}$ .

oyi · « **Jawab #8 pada:** Januari 19, 2010, 03:10:17 PM »

oke, makasih banyak atas penjelasannya

User

Artikel Sains

Aku Cinta ForSa

Pranala Luar

ShoutBox!

fajri

haman11

GhostInMachine

army.fice

lustforscience

exile_rstd

exile_rstd

Farabi

exile_rstd

N E R R O

Penulis Topik: residu Deret laurentz (Dibaca 2822 kali)

oyi

residu Deret laurentz

Mtk Kerajaan Mataram

Re: residu Deret laurentz

oyi

Re: residu Deret laurentz

Mtk Kerajaan Mataram

Re: residu Deret laurentz

oyi

Re: residu Deret laurentz

Mtk Kerajaan Mataram

Re: residu Deret laurentz

oyi

Re: residu Deret laurentz

Mtk Kerajaan Mataram

Re: residu Deret laurentz

oyi

Re: residu Deret laurentz