Penulis Topik: Soal Teori Bilangan untuk Pemula (Dibaca 8223 kali)

Mtk Kerajaan Mataram · « **pada:** Juni 14, 2009, 06:13:02 AM »

1. Buktikan ! (1 poin)
(i) Jika k adalah bilangan asli ganjil, maka jumlah k bilangan bulat yang berturutan habis
dibagi oleh k. (contoh : k=5 maka -3+(-2)+(-1)+0+1 habis dibagi 5, juga
23+24+25+26+27 habis dibagi 5).
(ii) Jika a,b, dan c bilangan asli, dan GCD(a,b)=1 serta c|b ("b habis dibagi c"),
maka GCD(a,c)=1. (Ket : Ingat GCD(p,q)=1 <==> ada m,n bulat sehingga mp+nq=1)

2. Selesaikan sistem kongruensi ! (1 poin)
(i) $x \equiv 2(mod 9)$ dan $x \equiv 4(mod 10)$
(ii) $5x \equiv 14(mod 17)$ dan $3x \equiv 2(mod 13)$

3. Jika $GCD(a,n) =1$ , maka bilangan asli terkecil, katakanlah k yang memenuhi
$a^k \equiv 1(mod n)$ disebut dengan 'order perkalian (multiplicative order)'
dari $[a]$ dalam group $Z_n^{\times}$ . (Contoh : GCD(3,5)=1 dan
$3^4 =81 \equiv 1(mod 5)$ maka order perkalian [3] dalam group $Z_5^{\times}$ adalah 4.
Sekarang tentukan order perkalian dari (1 poin)
(i) [5] dan [11] dalam group $Z_{17}^{\times}$
(ii) tiap elemen dari group $Z_8^{\times}$ (yakni [1],[2],...,[7])

Nabih · « **Jawab #1 pada:** Juni 15, 2009, 10:22:12 AM »

2. Selesaikan sistem kongruensi ! (1 poin)
(i) $x \equiv 2(mod 9)$ dan $x \equiv 4(mod 10)$
$x \equiv 2(mod 9)\equiv 74(mod 90)$
$x \equiv 4(mod 10)\equiv 74(mod 90)$
jawabanya $74(mod 90)$
(ii) $5x \equiv 14(mod 17)$ dan $3x \equiv 2(mod 13)$
$5x \equiv 14(mod 17) \equiv 65(mod 17)$
$x \equiv 13(mod 17)$
$3x \equiv 2(mod 13) \equiv 15(mod 13)$
$x \equiv 5(mod 17)$
$x \equiv 13(mod 17) \equiv 200(mod 221)$
$x \equiv 5(mod 13) \equiv 200(mod 221)$
jawabanya $x \equiv 200(mod 221)$

Bener ga

Mtk Kerajaan Mataram · « **Jawab #2 pada:** Juni 15, 2009, 11:40:01 AM »

@Nabih
(i) Bisakah anda menjelaskan lagi bagaimana cara memperoleh 74 dan 90, jawaban sudah benar.

(ii)
$5x \equiv 14(mod 17) \equiv 65(mod 17)$
$x \equiv 13(mod 17)$
$3x \equiv 2(mod 13) \equiv 15(mod 13)$
$x \equiv 5(mod 13)$

Bagaimana diperoleh 65 dan 15 di atas?
Ternyata jawabannya juga betul, padahal langkah2nya kurang menjelaskan untuk dipahami.
Terima kasih, monggo dilanjut penjelasannya lagi.

Nabih · « **Jawab #3 pada:** Juni 15, 2009, 11:57:21 AM »

Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada Juni 15, 2009, 11:40:01 AM

@Nabih
(i) Bisakah anda menjelaskan lagi bagaimana cara memperoleh 74 dan 90, jawaban sudah benar.

(ii)
$5x \equiv 14(mod 17) \equiv 65(mod 17)$
$x \equiv 13(mod 17)$
$3x \equiv 2(mod 13) \equiv 15(mod 13)$
$x \equiv 5(mod 13)$

Bagaimana diperoleh 65 dan 15 di atas?
Ternyata jawabannya juga betul, padahal langkah2nya kurang menjelaskan untuk dipahami.
Terima kasih, monggo dilanjut penjelasannya lagi.

kalau 90 ma 221 itu KPK
90 KPK dari 9 dan 10
221 KPK dari 13 dan 17

untuk asal 74, caranya dibuat deret bantu
2 11 20 ... 74
4 14 24 ... 74
(memang kurang efektif, bis bisanya baru itu)

kalo 15 dan 65, sama dengan deret bantu sampai bisa dibagi modulonya
14 31 ... 65
2 15

saja jawab ini agar om mtk bisa njelasin yang lebih mudah

sudah cukup syarat unuk IQ +1 belum?

Mtk Kerajaan Mataram · « **Jawab #4 pada:** Juni 15, 2009, 09:00:18 PM »

Kutip dari: Nabih pada Juni 15, 2009, 11:57:21 AM

untuk asal 74, caranya dibuat deret bantu
2 11 20 ... 74
4 14 24 ... 74
(memang kurang efektif, bis bisanya baru itu)
kalo 15 dan 65, sama dengan deret bantu sampai bisa dibagi modulonya
14 31 ... 65
2 15

2,11,20,...,74,... = 9m+2
4,14,24,...,74,... = 10n+4

Dari kedua barisan di atas cari suku yang nilainya sama kalau mungkin (disini ternyata diperoleh untuk m=8 dan n=7).

Cari bilangan2 lain yang seperti 74 (yang sekaligus berbentuk 9m+2 dan 10n+4), yaitu ada dua cara :

- Berdasarkan barisan pertama buat suatu barisan dengan suku pertamanya = m = 8 dan bedanya = n = 10 sehingga kita peroleh 10p+8, lalu nilai2 pada barisan ini merupakan nilai2 m yang baru atau katakanlah m=10p+8, lalu substitusikan ke x = 9m+2 sehingga x=9(10p+8)+2 = 90p+74 dan diperoleh penyelesaian x=74(mod 90).
- Berdasarkan barisan kedua....silahkan anda buat sendiri.......(*)

Anda bisa melihat kesalahan pada apa yang anda tuliskan berikut tidak ?

Kutip dari: Nabih pada Juni 15, 2009, 10:22:12 AM

$x \equiv 2(mod 9)\equiv 74(mod 90)$
$x \equiv 4(mod 10)\equiv 74(mod 90)$
dan
$x \equiv 13(mod 17) \equiv 200(mod 221)$
$x \equiv 5(mod 13) \equiv 200(mod 221)$

........................(**)

Kutip dari: Nabih pada Juni 15, 2009, 11:57:21 AM

saja jawab ini agar om mtk bisa njelasin yang lebih mudah
sudah cukup syarat unuk IQ +1 belum?

Semoga yang di atas cukup menjelaskan. Dan tolong yaa jelaskan dahulu yang dua pertanyaan di atas..sepertinya anda masih mengalami kegamangan. Saya bukan menyulit-nyulitkan lho...tapi supaya semakin tajam dan tajam pengertiannya....Good Luck.

Nabih · « **Jawab #5 pada:** Juni 16, 2009, 05:19:35 PM »

- Berdasarkan barisan pertama buat suatu barisan dengan suku pertamanya = m = 7 dan bedanya = n = 9 sehingga kita peroleh 9q+7, lalu nilai2 pada barisan ini merupakan nilai2 m yang baru atau katakanlah m=9q+7, lalu substitusikan ke x = 9m+7 sehingga x=10(9q+7)+4 = 90q+74 dan diperoleh penyelesaian x=74(mod 90)
*) udah bener belom

$5x \equiv 14(mod 17) \equiv (17-14)17+14(mod 17)$
$x \equiv 13(mod 17)$
$3x \equiv 2(mod 13) \equiv 13 + 2(mod 13)$
$x \equiv 5(mod 13)$
**) wah, tetep ga dapet polanya

Mtk Kerajaan Mataram · « **Jawab #6 pada:** Juni 16, 2009, 08:41:05 PM »

Jawaban (*) tepat sekali, untuk (**) bukan itu yang dimaksud, tapi soal yang pertama, silahkan perhatikan lagi mana yang salah tulis. Satu poin untuk anda untuk hal ini.
Untuk 5x=14(mod 17) cukup cari 17h+14 yang habis dibagi 5 :
5 | (17h+14) ==> 5 | (2h+4) <karena 10 dan 15 habis dibagi 5, bisa dicancel>
==> diperoleh yang pertama adalah 5 | (2.3+4), yaitu h=3.
==> 17.3+14=65
==> 5x=65(mod 17) ==> x=13(mod 17)
Selamat !

Nabih · « **Jawab #7 pada:** Juni 16, 2009, 09:07:07 PM »

5 | (17h+14) ==> 5 | (2h+4) <karena 10 dan 15 habis dibagi 5, bisa dicancel>
==> diperoleh yang pertama adalah 5 | (2.3+4), yaitu h=3
dari mana???

Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada Juni 14, 2009, 06:13:02 AM

1. Buktikan ! (1 poin)
(i) Jika k adalah bilangan asli ganjil, maka jumlah k bilangan bulat yang berturutan habis
dibagi oleh k. (contoh : k=5 maka -3+(-2)+(-1)+0+1 habis dibagi 5, juga
23+24+25+26+27 habis dibagi 5).
(ii) Jika a,b, dan c bilangan asli, dan GCD(a,b)=1 serta c|b ("b habis dibagi c"),
maka GCD(a,c)=1. (Ket : Ingat GCD(p,q)=1 <==> ada m,n bulat sehingga mp+nq=1)

setahu saya yang namanya bilangan ganjil pasti asli, emangnya bilangan negatif ada ganjil genap

thanks buat om Mtk atas kesabaranya 1 poin buat om Mtk

Mtk Kerajaan Mataram · « **Jawab #8 pada:** Juni 17, 2009, 05:23:45 AM »

2h+4 untuk h=0,1,2,3,... yang pertama kali habis dibagi 5 adalah 2.3+4 (untuk h=3).
Bilangan -1,-3,-5,... juga sering disebut bil ganjil.

Nabih · « **Jawab #9 pada:** Juni 17, 2009, 02:30:59 PM »

Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada Juni 17, 2009, 05:23:45 AM

2h+4 untuk h=0,1,2,3,... yang pertama kali habis dibagi 5 adalah 2.3+4 (untuk h=3).
Bilangan -1,-3,-5,... juga sering disebut bil ganjil.

berarti cara awal saya benar, buktinya om Mtk menggunakan cara yang sama

Mtk Kerajaan Mataram · « **Jawab #10 pada:** Juni 17, 2009, 09:14:59 PM »

Hiya yaa...makanya kukasih 1 poin. Selamat.

Nabih · « **Jawab #11 pada:** Juni 17, 2009, 09:24:48 PM »

1. Buktikan ! (1 poin)
   (i) Jika k adalah bilangan asli ganjil, maka jumlah k bilangan bulat yang berturutan habis
   dibagi oleh k. (contoh : k=5 maka -3+(-2)+(-1)+0+1 habis dibagi 5, juga
   23+24+25+26+27 habis dibagi 5).
   (ii) Jika a,b, dan c bilangan asli, dan GCD(a,b)=1 serta c|b ("b habis dibagi c"),
   maka GCD(a,c)=1. (Ket : Ingat GCD(p,q)=1 <==> ada m,n bulat sehingga mp+nq=1)

mau jawab yang (ii) ah

GCD(a,b)=1 <==> ap + bq=1
b=xc <==> ap + xcq=1
ap + cr=1 maka GCD(a,c)=1

yang (i)
k=2n+1
maka jumlahan k bilangan berurutan (misal suku tengah x)

(x-n) + (x-n+1) + ... + x + (x+1) + ... + (x+n) = (2n+1)x = kx

misal n=0, jumlah deret=x
n=1, jumlah deret=2x

asumsikan benar untuk n=m
(x-m) + (x-m+1) + ... + x + (x+1) + ... + (x+m) = (2m+1)x = kx

lalu sunstitusikan n=m+1
(x-m+1) + (x-m+2) + ... + x+1 + (x+2) + ... + (x+m+1) = k(x+1)
= (x-m) + (x-m+1) + ... + x + (x+1) + ... + (x+m) + 2m+1
= kx + k
= k(x+1)
Terbukti

demikian juga dengan perubahan x (juag pake induksi)
Tebukti juga dech

Gimana?

untuk no 3, saya harus belajar lagi

Mtk Kerajaan Mataram · « **Jawab #12 pada:** Juni 17, 2009, 09:59:38 PM »

Untuk yang nomor (ii) sempurna.

Untuk yang nomor (i) : ada beberapa yang perlu saya tanyakan, sbb:

Kutip dari: Nabih pada Juni 17, 2009, 09:24:48 PM

yang (i)
k=2n+1
maka jumlahan k bilangan berurutan (misal suku tengah x)
(x-n) + (x-n+1) + ... + x + (x+1) + ... + (x+n) = (2n+1)x = kx
misal n=0, jumlah deret=x
n=1, jumlah deret=2x

kalau n=0, banyak bil =k=1 ==> x
kalau n=1 banyak bil =k=3 ==> bukankah x-1 + x + x+1 = 3x ?

Kutip dari: Nabih pada Juni 17, 2009, 09:24:48 PM

asumsikan benar untuk n=m
(x-m) + (x-m+1) + ... + x + (x+1) + ... + (x+m) = (2m+1)x = kx

lalu sunstitusikan n=m+1
(x-m+1) + (x-m+2) + ... + x+1 + (x+2) + ... + (x+m+1) = k(x+1)

= (x-m) + (x-m+1) + ... + x + (x+1) + ... + (x+m) + 2m+1
= kx + k
= k(x+1)
Terbukti

Mengapa kok menjadi
= (x-m) + (x-m+1) + ... + x + (x+1) + ... + (x+m) + 2m+1 ?

Nabih · « **Jawab #13 pada:** Juni 17, 2009, 10:23:13 PM »

kalau n=1 banyak bil =k=3 ==> bukankah x-1 + x + x+1 = 3x ?
yang ini kurang ketik

rumus suku tengah

Mengapa kok menjadi
= (x-m) + (x-m+1) + ... + x + (x+1) + ... + (x+m) ?

kan tadinya
(x-m+1) + (x-m+2) + ... + x+1 + (x+2) + ... + (x+m+1) =
saya rubah menjadi
(x-m)+1 + (x-m+1)+1 + ... + (x)+1 + (x+1) +1 + ... + (x+m) +1
karena 1 ada k, kan di soal k bilangan berurutan
jadi saya rubah
(x-m) + (x-m+1) + ... + x + (x+1) + ... + (x+m)

cukup runtut kah?

kalo ini lembar jawab OSN, dari 7 saya dapet berapa?

(saya jadi tahu, kenapa saya ga dapet medali waktu OSN)

Mtk Kerajaan Mataram · « **Jawab #14 pada:** Juni 17, 2009, 10:52:32 PM »

(x-m+1) + (x-m+2) + ...+(x-1)+ (x) + (x+1) + (x+2) + ... +(x+m)+ (x+m+1) =

[(x-m)+1] + [(x-m+1)+1] + ... + [(x-2)+1] + [(x-1)+1] + [(x)+1] +[(x+1)+1] + ... +[(x+m-1)+1]+ [(x+m) +1] =

{(x-m) + (x-m+1) + ... + x + (x+1) + ... + (x+m)} + k dengan k=2m+1
= kx + k <berdasar asumsi>
=k(x+1)

Okay, bagus sudah benar, 1 poin buat anda. Saya bukan panitia OSN, sehingga tidak tahu bagaimana penilaiannya.

Artikel Sains

Aku Cinta ForSa

Pranala Luar

ShoutBox!

Penulis Topik: Soal Teori Bilangan untuk Pemula (Dibaca 8223 kali)