Penulis Topik: Soal Teori Bilangan untuk Pemula (Dibaca 8223 kali)

Nabih · « **Jawab #15 pada:** Juni 22, 2009, 01:55:04 PM »

Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada Juni 14, 2009, 06:13:02 AM

3. Jika $GCD(a,n) =1$ , maka bilangan asli terkecil, katakanlah k yang memenuhi
$a^k \equiv 1(mod n)$ disebut dengan 'order perkalian (multiplicative order)'
dari $[a]$ dalam group $Z_n^{\times}$ . (Contoh : GCD(3,5)=1 dan
$3^4 =81 \equiv 1(mod 5)$ maka order perkalian [3] dalam group $Z_5^{\times}$ adalah 4.
Sekarang tentukan order perkalian dari (1 poin)
(i) [5] dan [11] dalam group $Z_{17}^{\times}$
(ii) tiap elemen dari group $Z_8^{\times}$ (yakni [1],[2],...,[7])

$Z_n^{\times}$ maksudnya apaan

Mtk Kerajaan Mataram · « **Jawab #16 pada:** Juni 22, 2009, 10:00:54 PM »

Kutip dari: Nabih pada Juni 22, 2009, 01:55:04 PM

$Z_n^{\times}$ maksudnya apaan

$Z_n^{\times}$ adalah himpunan beranggotakan [1],[2],...,[n-1] yang didalamnya berlaku operasi perkalian ("x").
Contoh :
$Z_5^{\times}$ beranggotakan [1],[2],[3],[4].
[2]x[2]=[4] karena 2x2 (mod 5)=4(mod 5)
[2]x[3]=[1] karena 2x3 (mod 5)=1(mod 5)
Perkaliannya bersifat tertutup karena hasil perkaliannya juga anggota $Z_5^{\times}$ .
$Z_n^{\times}$ bersama operasi biner perkalian kongruensi merupakan semigroup (syarat adanya invers pada group dihilangkan).
Jika p merupakan bilangan prima maka $Z_p^{\times}$ merupakan group multiplikatif yang anggota-anggotanya kelas-kelas kongruensi [1],[2],...,[n-1].
Kita review sebentar tentang group :
Group adalah sebuah himpunan G bersama sebuah operasi biner * yang memenuhi sifat :
- tertutup : utk setiap a,b anggota G maka a*b juga anggota G
- assosiatif : utk setiap a,b,c anggota G maka a*(b*c)=(a*b)*c
- ada elemen identitas e dalam G sehingga utk setiap a anggota G e*a=a*e=a
- untuk setiap a anggota G ada b anggota G sehingga a*b=e (invers).

Kholil · « **Jawab #17 pada:** Juni 23, 2009, 10:10:34 AM »

Gimana cara nentuin elemen identitasnya

dari group tersebut

Nabih · « **Jawab #18 pada:** Juni 23, 2009, 10:59:25 AM »

Kutip dari: Kholil pada Juni 23, 2009, 10:10:34 AM

Gimana cara nentuin elemen identitasnya

dari group tersebut

Wah! kok pertanyaannya sama dengan saya?

Mtk Kerajaan Mataram · « **Jawab #19 pada:** Juni 23, 2009, 12:17:31 PM »

Lo yaa disini elemen identitasnya [1]. karena untuk setiap x anggota{[1],[2],...,[p-1]}, maka 1.x=x.1=x (mod p).

Nabih · « **Jawab #20 pada:** Juni 23, 2009, 12:29:52 PM »

untuk semua $Z_n^{\times}$ kah?

@mtk utang IQ saya dah lunas, lihat postingan saya tentang pembuktian bahwa bilangan prima berbentuk $6n+1$ dan $6n-1$

Mtk Kerajaan Mataram · « **Jawab #21 pada:** Juni 23, 2009, 08:25:42 PM »

" untuk setiap x anggota{[1],[2],...,[n-1]}, maka 1.x=x.1=x (mod n) jelas bahwa untuk setiap n bilangan asli sifat ini selalu terpenuhi.
Yang invers tidak selalu terpenuhi, hanya untuk n bilangan prima saja yang menjamin bahwa setiap anggota $Z_n^{\times}$ punya invers.
Contoh untuk $Z_{17}^{\times}$ adalah sebagai berikut :

Elemen Order Invers
[1] 1 [1]
[2] 8 [9]
[3] 16 [6]
[4] 4 [13]
[5] 16 [7]
[6] 16 [3]
[7] 16 [5]
[8] 8 [15]
[9] 8 [2]
[10] 16 [12]
[11] 16 [14]
[12] 16 [10]
[13] 4 [4]
[14] 16 [11]
[15] 8 [8]
[16] 2 [16]

Saya ambil misal elemen [11] punya invers [14] karena $11\times 14 = 154 \equiv 1(mod17)$ .
Dan [11] punya order 16 karena $11^{16}=45949729863572161 \equiv 1(mod 17)$ .

Nabih · « **Jawab #22 pada:** Juni 24, 2009, 05:56:14 PM »

Kalau itu saya tahu, saya hanya asing dengan notasinya, saya masih perlu buka buku lagi nich!

Nabih · « **Jawab #23 pada:** Desember 07, 2009, 08:34:05 PM »

Setelah belajar struktur aljabar, akhirnya saya mengerti maksud pertanyaanya mas Mataram
3. a
$5^n = \equiv 1(mod 17)$
$11^n = \equiv 1(mod 17)$
pake fermat kan dua-duanya 16

3.b
$1^n = \equiv 1(mod 8)$ , order [1]= 1
$2^n = \equiv 1(mod 8)$ , order [2]= ga ada
$3^n = \equiv 1(mod 8)$ , order [3]= 2
$4^n = \equiv 1(mod 8)$ , order [4]= ga ada
$5^n = \equiv 1(mod 8)$ , order [1]= 2
$6^n = \equiv 1(mod 8)$ , order [6]= ga ada
$7^n = \equiv 1(mod 8)$ , order [1]= 2

kalo yang ga ada, jelas, itu tak saling prima dengan 8, tapi kenapa yang lain banyak yang 2, aa yang bisa jawab?

Mtk Kerajaan Mataram · « **Jawab #24 pada:** Desember 15, 2009, 08:40:46 PM »

@Nabih
Syukurlah sudah tahu maksudnya, jawabannya sudah benar, +1 IQ.

Kutip dari: Nabih pada Desember 07, 2009, 08:34:05 PM

kalo yang ga ada, jelas, itu tak saling prima dengan 8, tapi kenapa yang lain banyak yang 2, aa yang bisa jawab?

Hayo silahkan selidiki...

Nabih · « **Jawab #25 pada:** Desember 16, 2009, 03:35:11 PM »

4. Tentukan order dari $Z_a^{\times}$ x $Z_b^{\times}$ x $Z_c^{\times}$
a. Terhadap perkalian
b. Terhadap penjumlahan
c. Terhadap pembagian
d. Terhadap pengurangan
e. Terhadap operasi pangkat

Mtk Kerajaan Mataram · « **Jawab #26 pada:** Desember 16, 2009, 09:11:35 PM »

@Nabih
Ehh..saya kok aneh dengan soal ini yaa....?
$Z_a^{\times}$ x $Z_b^{\times}$ x $Z_c^{\times}$ adalah group yang merupakan direct product dari group $Z_a^{\times}$ , $Z_b^{\times}$ , dan $Z_c^{\times}$ .
Order dari suatu group tidak lain adalah banyaknya anggota dari group tersebut, jadi tidak terkait dengan terhadap operasi perkalian atau penjumlahan.
Order dari suatu elemen yang terkaitkan dengan operasi biner,
misal order dari elemen a terhadap perkalian adalah m jika $a^m=1$ , dimana 1 adalah identitas perkalian (elemen netral pada perkalian),
atau order dari a terhadap penjumlahan adalah m jika $\underbrace{a+a+ \cdots +a}_{ sebanyak-m}=0$ , dimana 0 adalah identitas penjumlahan (elemen netral untuk penjumlahan).
Kita juga tahu tidak ada elemen netral untuk pembagian dan pengurangan.

Nabih · « **Jawab #27 pada:** Desember 17, 2009, 07:32:07 PM »

bukanya elemen netral pada penjumlahan dan pengurangan sama2 nol
sedangkan pada perkalian dan pembagian satu, lalu soal itu saya kutip dari OST-DIY dan saya juga tidak bisa mengerjakannya

Artikel Sains

Aku Cinta ForSa

Pranala Luar

ShoutBox!

Penulis Topik: Soal Teori Bilangan untuk Pemula (Dibaca 8223 kali)