Thread ini, saya terinspirasi dari sebuah soal dalam diskusi di "The Math Forum @ Drexel", yaitu :

"I think about a needed parenthood between both the
matrices.
Ex1: if B = A^ n , C = A^ p , n, p integer numbers
B*C = C*B = A ^ (n+p)

Ex2: more generally B = p1(A) ,C = p2(A) p1 and p2 polynomials
then B*C = C*B = p3(A) ; p3(u) = p2(u)*p1(u) = p1(u)*p2(u) ,
I've built a case B = {[18,27,36],[48,66,84],[28,40,52]}
C = {[5,10,15], [20,25,30] ,[10,15,20]}
There is probably an extension to some kinds of function f1,f2
B = f1(A) , C = f2(A)
Your comments will be welcomed,
Alain"
Dapat dilihat di [pranala luar disembunyikan, sila masuk atau daftar.]

Saya mulai pembahasan berikut :
Alih-alih pada yang general, kita mulai matrik yang berorder 2x2.
Saya telah menyelidiki himpunan, sebut saja G<(p,q),(m,n)> dengan p,q,m,n bilangan real dan p<>0,q<>0,n<>0.
Dimana G<(p,q),(m,n)>=himpunan matrik-matrik berordo 2x2 dengan :
baris pertama = {m,n},
dan baris kedua = {n/p,m-n/q}.
Kita lambangkan G<(p,q),(m,n)>={M2x2=[{m,n},{n/p,m-n/q}]}
Saya telah membuktikan bahwa
Jika A,B anggota G<(p,q),(m,n)> maka A+B anggota G<(p,q),(m,n)>
Jika A,B anggota G<(p,q),(m,n)> maka AB anggota G<(p,q),(m,n)>
Jika A,B anggota G<(p,q),(m,n)> maka AB=BA.
Saya belum menyelidiki mengenai inversnya.
Siapakah yang punya ide mengenai bentuk matrik2 yang komutatif.
Mungkinkah kita membentuk suatu group komutatif atas matrik2 dari suatu pola tertentu terhadap perkalian matrik?
Dan selanjutnya dari situ dapatkah kita membangun field (=lapangan) dengan operasi penjumlahan dan perkalian matrik untuk suatu pola matrik2 tertentu?
Ditunggu..,rekan2 matematika nusantara halo-halo.

Ada yang kurang, yaitu pada himpunan G<(p,q),(m,n)>, nilai p dan q tetap, sedangkan m dan n variable dengan syarat n<>0. Lebih tepatnya matrik2 ini cukup disimbolkan dengan G<(p,q)> saja dimana :
baris pertama = {m,n},
dan baris kedua = {n/p,m-n/q}

Mungkin pernah ada mendengar bahwa dua matrik yang dapat dibuat matrik diagonal melalui operasi elementer baris atau kolom, maka keduanya komutatif.

Sebagai contohnya sebagai berikut :
Matrik [{a,b},{c,d}] berarti baris pertama {a,b} dan baris kedua {c,d}
G<p,q> dengan p,q anggota R-{0} saya definisikan himpunan matrik-matrik dengan
baris pertama ={a,b} dengan a,b anggota R-{0}
baris kedua = {b/p, a - b/5}

Misalkan :
p=4 dan q=5

Berikut diantara anggota-anggota dari G<4,5>
A=[{8, 10},{2.5, 6}]  anggota G<4,5> karena 2.5=10/4 dan 6=8-10/5
B=[{3, 7},{1.75, 1.6}] anggota G<4,5> karena 1.75=7/4 dan 1.6=3-7/5
C=[{5, 9},{2.25, 3.2}] anggota G<4,5> karena 2.25=5/4 dan 3.2=5-9/5

Kita lihat :
AB=BA=   [{41.5, 72},{18, 27.1}] anggota G<4,5> karena 18=72/4 dan 27.1 = 41.5 - 72/5
AC=CA= [{62.5, 104},{26, 41.7}] anggota G<4,5> karena 26=104/4 dan 41.7 = 62.5 - 104/5

(AB)(AC) = (AC)(AB) = [{4465.75, 7318.4},{1829.6, 3002.07}] anggota G<4,5> karena 1829.6=7318.4/4 dan 3002.07 = 4465.75 -

7318.4/5.

(A+B)(B+C) = (B+C)(A+C) = [{156, 257.6},{64.4, 104.48}] anggota G<4,5> karena 64.4 = 257.6/4 dan 104.48 = 156 - 257.6/5.

Saya telah membuktikan bahwa jika A anggota G<p,q>, maka jika inversnya A^-1 ada, maka juga merupakan anggota G<p,q>.
Well...siapa mau ikut merembugnya...

wahhhh.. matriks yang komutatif perkalian ya...
baris pertama = {m,n},
dan baris kedua = {n/p,m-n/q}

menarik pak... kalau orde 3 x 3.. coba kita diskusikan