Penulis Topik: Teorema Nilai Tengah (Dibaca 2410 kali)

Mtk Kerajaan Mataram · « **pada:** Desember 11, 2009, 05:36:42 AM »

Dengan menggunakan Teorema Nilai Tengah (Intermediate Value Theorem) dan Teorema Rolle, tunjukkan bahwa persamaan $x^5+2x^3+7x-13=0$ tepat mempunyai satu akar real.

Gen-I-uSy · « **Jawab #1 pada:** Desember 11, 2009, 01:27:03 PM »

waduh, sayangnya, di pendidikan matematika untirta ga diajarin teorema nilai tengah ataupun teorema rolle....
mata kuliah apaan sih itu? ajarin dong.......
ternyata matematikanya fkip emang kalah ni sama matematikanya mipa

Nabih · « **Jawab #2 pada:** Desember 11, 2009, 02:49:10 PM »

Kalo ga salah ini Analisis real

yang saya tahu, turunkan dulu dech

jdi nilai ekstrim dicapai saat $5x^4+6x^2+7=0$
$5(x^2)^2+6(x^2)+7=0$
lalu
$(x^2)^2+6/5(x^2)+7/5=0$
sepertinya salah, harapan saya ini bisa memajukan diskusi

Mtk Kerajaan Mataram · « **Jawab #3 pada:** Desember 11, 2009, 10:19:14 PM »

Teorema tersebut pada Kalkulus I, yaitu
Taruhlah f fungsi yang kontinu pada interval tertutup [a,b]. Misalkan d bilangan real antara f(a) dan f(b), maka ada c pada [a,b] sedemikian hingga f(c)=d.

si anak gajah · « **Jawab #4 pada:** Desember 12, 2009, 12:06:45 PM »

saya coba ya om...
fungsinya jelas kontinu karena polinom...
fungsinya juga monoton naik, karena f'(x)>0
ambil selang bilangan [0,2] misalnya...
f(0)=-13
f(2)=49

karena f(x) kontinu dan monoton naik dari [0,2], maka ada tepat satu nilai c elemen [a,b], sehingga f(c)=0 (0 berada di antara selang [-13,49]

gini bisa ga om?
Teorema Rolle isinya apa sih?

Nabih · « **Jawab #5 pada:** Desember 12, 2009, 06:46:04 PM »

saya kurangi selangnya...
fungsinya jelas kontinu karena polinom...
fungsinya juga monoton naik, karena f'(x)>0
ambil selang bilangan [1,akar 2] misalnya...
f(1)= -4
f(akar2)= 19akar2-13

karena f(x) kontinu dan monoton naik dari [1, akar2], maka ada tepat satu nilai c elemen [a,b], sehingga f(c)=0 (0 berada di antara selang [-4, 19akar2-13]

salut buat si anak gajah

HyawehHoshikawa · « **Jawab #6 pada:** Desember 12, 2009, 08:54:41 PM »

eh, eh, sori saya tidak paham...
kenapa harus pake ngambil bilangan permisalan itu?
bukannya intinya karena fungsinya monoton, dan kontinu???

Mtk Kerajaan Mataram · « **Jawab #7 pada:** Desember 13, 2009, 04:31:03 PM »

Kutip dari: si anak gajah pada Desember 12, 2009, 12:06:45 PM

saya coba ya om...
fungsinya jelas kontinu karena polinom...
fungsinya juga monoton naik, karena f'(x)>0

$x^5+2x^3+7x-13=0$
Kontinu untuk $-\infty <x<\infty$ , okay karena polinom
$f'(x)=5x^4+6x^2+7$ selalu positif karena pangkat x-nya genap semua...okay selalu naik.

Kutip dari: si anak gajah pada Desember 12, 2009, 12:06:45 PM

ambil selang bilangan [0,2] misalnya...
f(0)=-13
f(2)=49
karena f(x) kontinu dan monoton naik dari [0,2], maka ada tepat satu nilai c elemen [a,b], sehingga f(c)=0 (0 berada di antara selang [-13,49]
gini bisa ga om?
Teorema Rolle isinya apa sih?

So, akar itu terletak antara 0 dan 2, okay, benar sekali.
Teorema Rolle adalah kejadian khusus dari Teorema Nilai Tengah dimana jika $a \neq b$ dan $f(a)=f(b)$ , maka ada c di [a,b] sehingga f(c)=0.

Selanjutnya adalah mengapa ada 1 akar saja, dimana jaminan bahwa tidak ada akar2 yang lain?

si anak gajah · « **Jawab #8 pada:** Desember 14, 2009, 01:36:09 PM »

Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada Desember 13, 2009, 04:31:03 PM

Selanjutnya adalah mengapa ada 1 akar saja, dimana jaminan bahwa tidak ada akar2 yang lain?

bukannya jelas om?
fungsinya monoton murni (karena $f'$ pangkatnya genap semua dan koefisiennya positif)...
pastinya fungsinya hanya akan memotong sumbu x di 1 titik untuk x anggota himpunan bilangan Real...

Maaf, anda tidak dapat melihat isi spoiler.

Sky · « **Jawab #9 pada:** Desember 15, 2009, 03:43:32 AM »

Kutip dari: si anak gajah pada Desember 14, 2009, 01:36:09 PM

Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada Desember 13, 2009, 04:31:03 PM
Selanjutnya adalah mengapa ada 1 akar saja, dimana jaminan bahwa tidak ada akar2 yang lain?
bukannya jelas om?
fungsinya monoton murni (karena $f'$ pangkatnya genap semua dan koefisiennya positif)...
pastinya fungsinya hanya akan memotong sumbu x di 1 titik untuk x anggota himpunan bilangan Real...

Maaf, anda tidak dapat melihat isi spoiler.

Maksud mas Mataram, walaupun pasti memotong sumbu x, tapi itu tidak menjamin sumbu x hanya dipotong 1 kali.
Sebut saja karena derajatnya 4, maka maksimal sumbu x bisa dipotong 4 kali.
Dengan tambahan informasi dari Teorema Nilai Tengah, maka maksimal sumbu x diantara selang tersebut bisa dipotong 3 kali.
Memang jika dilihat dari fungsinya yang monoton, sudah jelas sumbu x hanya dipotong 1 kali. Tapi tantangannya adalah bagaimana caranya membuktikan bahwa sumbu x dipotong 1 kali, menggunakan Teorema Rolle.
He... Karena ada banyak jalan menuju jawaban yang sama...

BTW, Mas Mataram, bukannya implikasi Teorema Rolle itu gini:

Kutip

"Teorema Rolle adalah kejadian khusus dari Teorema Nilai Tengah dimana jika a \neq b dan f(a)=f(b) dan f(x) differensiabel di [a,b], maka ada c di (a,b) sehingga f'(c)=0."

Jadi, turunan di c yang nol, bukan nilai f di c yang nol.

Oya, Untuk menjamin, hanya ada 1 nilai diantara a dan b yang menghasilkan f=0,
kita bisa pakai kontraposisi dari Teorema Rolle..
Silahkan dicoba...

si anak gajah · « **Jawab #10 pada:** Desember 15, 2009, 05:18:48 PM »

kira-kira artinya jika $a \neq b$ dan f(a) = f(b) akan ada c di antara (a,b) yang menjadi titik belok ya? ekstrem gitu?

oke, saya coba pakai kontraposisi teorema Rollenya...
kita bisa buat kontraposisinya kira-kira seperti ini: Jika tidak ada suatu bilangan real c yang terletak pada selang interval (a,b) sehingga f'(c) = 0, maka tidak ada nilai f(a) = f(b) dimana $a \neq b$ (Koreksi ya kalau salah, saya bingung bahasanya gimana)
atau dengan kata lain (dalam bahasa yang lebih sederhana, jika tidak ada c yang menghasilkan f'(c)=0, maka fungsi tidak akan berbalik (mempunyai nilai yang sama 2 kali untuk a dan b berbeda)

jadi kita buktikan tidak ada nilai c dimana f'(c) = 0...
$f(x) = x^5 + 2x^3 + 7x -13\\ f'(x) = 5x^4 + 6x^2 + 7\\ f'(x) = \frac{1}{5} (x^4 + \frac{6}{5} x^2 + \frac{7}{5})\\<br />f'(x) = \frac{1}{5} ((x^2 + \frac{3}{5})^2 - \frac{9}{25} + \frac{7}{5} )\\<br />f'(x) = \frac{1}{5} ((x^2 + \frac{3}{5})^2 + \frac{26}{25})$

f'(x) jelas akan selalu bernilai lebih besar dari 0. jadi tidak ada nilai c pada selang bilangan real $(-\infty,\infty)$ yang mengakibatkan f'(c)=0.
maka jelas tidak ada nilai f(a) = f(b), untuk $a \neq b$
f(x) hanya akan memotong sumbu x sekali saja (akar-akar real dari f(x)=0 hanya 1 bilangan)

kira-kira gimana om?

Mtk Kerajaan Mataram · « **Jawab #11 pada:** Desember 15, 2009, 08:32:01 PM »

Bagus @si bledug, karena f(x) naik untuk seluruh x real, maka hanya memotong sumbu X sekali.
Kontraposisi teorema Rolle :
Jika setiap $c \in [a,b]$ , $f(c) \neq 0$ , maka $a \neq b$ atau $f(a)=f(b)$ .

si anak gajah · « **Jawab #12 pada:** Desember 16, 2009, 12:31:50 PM »

jadi kontraposisi saya masih salah ya?

memang susah buat saya untuk membuat ingkaran dari suatu premis, masih sering salah...

Artikel Sains

Aku Cinta ForSa

Pranala Luar

ShoutBox!

Penulis Topik: Teorema Nilai Tengah (Dibaca 2410 kali)