Selamat datang di ForSa! Forum diskusi seputar sains, teknologi dan pendidikan Indonesia.

Welcome to Forum Sains Indonesia. Please login or sign up.

Oktober 05, 2024, 10:21:14 PM

Login with username, password and session length

Topik Baru

Artikel Sains

Anggota
Stats
  • Total Tulisan: 139,653
  • Total Topik: 10,405
  • Online today: 31
  • Online ever: 1,582
  • (Desember 22, 2022, 06:39:12 AM)
Pengguna Online
Users: 0
Guests: 21
Total: 21

Aku Cinta ForSa

ForSa on FB ForSa on Twitter

Menuju Ke Abstrak

    Pemahaman akan pengertian abstrak sepertinya masih dianggap sebagai suatu yang sulit bahkan tak teraplikasi. Bagi orang di pinggir jalan, boleh jadi menganggap orang yang belajar matematika abstrak sebagai orang sinting.

     Saatnya kita harus menguak apa yang dimaksud abstrak dalam matematika? Apakah suatu yang tidak real? Hanyakah ngoyoworo ataukah hanyakah khayalan orang? Apakah seperti aljabar abstrak itu suatu yang mengada-ada saja ataukah memang harus menuju ke situ?

    Berikut semoga bisa memberi gambaran akan pemahaman tersebut. Sebagai langkah-langkah sebelum ke abstrak, kita berkecimpung dengan aritmatika yang di dalamnya ada proses seperti penjumlahan, perkalian, dan ada penggunaan variabel. Pengenalan abstrak di SMA biasanya dimulai dengan pelajaran induksi matematik dimana harus membuktikan keteraturan sampai tak hingga dengan membuktikan implikasi  Pk--->Pk+1 dan membuktikan P0 benar.
     Waktu kita melangkah dari perhitungan dasar ke penggunaan variabel, kita meluaskan orientasi kepada cakupan perhitungan yang lebih luas. Kita bisa mengoperasikan bilangan-bilangan tanpa mengetahui berapa bilangannya, cukup dengan variabel. Nah ini, dari aritmatika menuju abstrak yang banyak membuat kepala para mahasiswa sakit, sebenarnya juga merupakan perluasan orientasi menuju semakin beragam dan semakin luas. Kita mulai dengan mempelajari sekelompok obyek, lalu interaksi antar obyek, yang lalu kita namakan operasi biner, mempelajari keteraturannya, mempelajari ciri-cirinya, lalu memformulasikannya menjadi aksioma-aksioma.

     Contoh di bawah mungkin bisa menjadi bayangan akan langkah tersebut, kita mulai dengan PENGANTAR TEORI BILANGAN.

Subgroup bilangan bulat
Kita perhatikan perhatikan himpunan bilangan bulat (integer), yaitu {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} yang lalu biasa dinotasikan dengan Z. < huruf Z ini adalah diambil dari singkatan Zahl=bilangan dari Bhs Jerman>
Diberikan suatu himpunan bagian dari Z, katakanlah himpunan S. Himpunan S disebut subgroup dari Z jika memenuhi :
(i) x+y anggota dari S untuk setiap x dan y anggota dari S,
(ii) 0 anggota dari S,
(iii) -x anggota dari S untuk setiap x anggota dari S.

< catatan : Kalau pernah mempelajari tentang teori group, maka syarat-syarat di atas tidak lain sifat tertutup(i), ada elemen identitas(ii), dan untuk setiap anggota dari S yang bukan 0 punya invers. Di kasus bilangan bulat ini sifat asosiatif bisa dirunut dg mudah dari sifat tertutup >

Suatu himpunan bagian tak kosong S dari Z adalah subgroup jika dan hanya jika x - y anggota dari S untuk setiap x dan y anggota dari S.
Bukti :
S subgroup dari Z ==> x - y anggota S untuk setiap x,y anggota S
Karena y anggota dari S, maka -y anggota dari S
Karena x dan -y anggota dari S, maka x+(-y)=x-y anggota dari S
x - y anggota S untuk setiap x,y anggota S ==> S subgroup dari Z
Karena S tak kososng maka ada anggotanya, misalkan x anggota dari S, maka x-x=0 adalah anggota dari S , jadi 0 dan x anggota dari S sehingga 0-x=-x anggota dari S , lalu jika x dan y anggota dari S, sehingga -y anggota dari S, lalu x-(-y)=x+y anggota dari S . Terbukti.

Taruhlah m adalah bilangan bulat, dan kita buat notasi mZ={mn|n anggota Z}. Maka mZ adalah subgroup dari Z.

Teorema I
Jika S adalah saubgroup dari Z, maka S = mZ untuk suatu bilngan bulat tak negatif m. < dengan kata lain, teorema ini mengatakan bahwa kalau S adalah subgroup dari Z, maka pasti berbentuk himpunan kelipatan dari suatu bilangan bulat tak negatif {0,1,2,3,...} >
Bukti :
Kita buat dua kemungkinan, yaitu :
pertama --> jika S = {0}, maka dapat ditulis S=mZ dengan m=0.
kedua --> jika S tidak sama dengan {0}, atau S memuat bilangan bulat tak nol. Maka tentunya S memuat bilangan bulat positif < karena jika x anggota S maka -x juga anggota S >. Kita ambil misalnya m adalah bilangan bulat positif yang terkecil di S. Lalu suatu bilangan bulat positif n di S akan dapat ditulis dalam bentuk n=qm+r, dimana q adalah suatu bilangan bulat positif dan r suatu bilangan bulat yang memenuhi 0<=r. Dengan demikian r juga anggota S, karena r=n-qm. Karena diasumsikan m adalah yang terkecil, maka haruslah r=0. Jadi n=qm, dengan demikian n anggota mZ, yang berarti S=mZ. Terbukti.

Teorema tersebut mengatakan bahwa kalau sebuah himpunan yang anggotanya bilangan-bilangan bulat serta memenuhi tiga aksioma untuk subgroup di atas, maka tentulah anggota-anggota himpunan tersebut berbentuk kelipatan dari suatu bilangan bulat positif.

Faktor Persekutuan Terbesar
Definisi :
Taruhlah a1,a2,...,ar adalah bilangan bulat, yang tidak semuanya nol. Faktor persekutuan dari a1,a2,...,ar adalah suatu bilangan bulat yang membagi habis setiap a1,a2,...,ar. Faktor persekutuan terbesar dari a1,a2,...,ar adalah bilangan bulat positif terbesar yang membagi habis setiap a1,a2,...,ar. Faktor persekutuan terbesar dari a1,a2,...,ar dinaotasikan dengan (a1,a2,...,ar).

Teorema II
Taruhlah a1,a2,...,ar adalah bilangan bulat, yang tidak semuanya nol. Maka ada bilangan-bilangan bulat sebutlah u1,u2,...,ur sedemikian hingga
(a1,a2,...,ar)=a1u1 + a2u2 + . . . +arur
dimana (a1,a2,...,ar) adalah Faktor Persekutuan Terbesar dari a1,a2,...,ar.
Bukti :
Pembuktian teorema ini, pertama kita harus menunjukkan bahwa suatu himpunan S yang anggota-anggotanya berbentuk n1a1+ n2a2 + . . . +nrar dimana n1, n2,..., nr bilangan-bilangan bulat merupakan subgroup dari Z dengan menunjukkan terpenuhinya  3 aksioma di atas. Lalu setelah terbukti, maka karena
S subgroup Z, akan berbentuk mZ. Dengan kata lain bahwa setiap anggota S merupakan kelipatan dari m. Dengan demikian m adalah faktor persekutuan dari a1,a2,...,ar. Karena FPB adalah faktor persekutuan, maka otomatis ada u1,u2,...,ur sehingga (a1,a2,...,ar)=a1u1 + a2u2 + . . . +arur. Terbukti.

    Kiranya, ini bisa menjadi gambaran bahwa yang namanya abstrak bukan suatu yang tidak aplikatif, melainkan adalah perluasan orientasi kita dalam memandang. Memang terlihat lebih sulit, karena kita mencoba menengok yang disebalik dari yang nampak.

     Semoga bermanfaat bagi semuanya.

Share on Facebook!Share on Twitter!Reddit

Comments: 16 *

1) Re: Menuju Ke Abstrak
Comment by rudibudiyono pada November 20, 2008, 06:56:59 PM

iya,
kebanyakan berbicara tentang teorema dan pembuktian

2) Re: Menuju Ke Abstrak
Comment by agoes pada November 30, 2008, 07:04:50 AM

memang banyak teorema dan pembuktian.
3) Re: Menuju Ke Abstrak
Comment by afif pada Desember 26, 2008, 08:08:47 PM

emang gitu sih, kan kita orang matematika. mau nggak mau harus berani mencoba untuk membuktikan teorema2 yang ada, yah...walaupun agak sulit he....
4) Re: Menuju Ke Abstrak
Comment by jhonson tamba pada April 10, 2009, 10:54:51 PM

saya kira juga bahwa abstrak matematika itu masih bersifat basic,tapi pasti sangat berguna untuk mengasah kecekatan dan ketanggapan untuk menganalisa banyak hal yang masih misterius di muka bumi ini (from: Mr. jhonson tamba)
5) Re: Menuju Ke Abstrak
Comment by Nabih pada Mei 23, 2009, 09:54:53 PM

Seberapa sulitkah aljabar abstrak, terus terang, saya baru menempuh aljabar linier
6) Re: Menuju Ke Abstrak
Comment by Chaos-chaos pada November 21, 2009, 08:44:04 PM

Pertama kali saya belajar aljabar abstrak saya sudah pusing duluan melihat aksioma2, teorema,lema,definisi wah2....dan nilai yg saya dapat ketika itu adalah "D"...Lalu di tahun kemarin saya mengulang dan akhirnya saya tau tips untuk belajar abstrak dengan menyenangkan yaitu dengan mencari sebisa mungkin aplikasinya...ternyata luar biasa summa luarbiasa,,aplikasinya sangat banyak digunakan sebagai contoh "security system" subset dari kriptografi yang didasari oleh teori bilangan grup,field,ring dll dan terlintas di pikaran saya sepertinya ini mirip kayak mencari siapa pelaku "dibalik pembunuhan x" ala detektif yang sangat saya sukai dan membuat saya makin tertantang.  Akhirnya dengan motivasi yang saya dapatkan ketika itu,,saya berhasil mendapat nilai "A" ;). Alhamdulillah....
7) Re: Menuju Ke Abstrak
Comment by r.a.n pada Desember 01, 2009, 04:17:47 PM

Rumit...euy...ora mudeng...
8) Re: Menuju Ke Abstrak
Comment by gery unib pada Desember 07, 2009, 08:20:01 PM

thanxs ya jaya selalu matematika
9) Re: Menuju Ke Abstrak
Comment by Freddy Lumbantoruan pada Januari 15, 2010, 11:56:36 PM

teruskan aja, matematika itu sangat penting, saya sangat butuh itu walaupun saya jurusan fisika, saya lebih dominan belajar matematika sebagai alat untuk perhitungan fisis.
thanks
10) Re: Menuju Ke Abstrak
Comment by NaufalIshartono pada Maret 22, 2010, 11:34:10 PM

wah...emang bener2 ABSTRAK...hahha
11) Re: Menuju Ke Abstrak
Comment by Mat Dillom pada Juni 10, 2010, 04:12:30 AM

emang rumit matematika. Ane pernah ngobrol ma mantan dosen salah satu perguruan tinggi negeri. Nendang orang aja mungkin secara
matematika. Ane cuma senyum aja. Terus dia celoteh soal perhitungannya. Ane bilang, nih gue diri dan nendang lo, gampang khan? :D.
Ngapain susah susah, kataku :D. Abis dia gak bisa ninggalin dunianya meski gak jadi dosen lagi :D.
12) Re: Menuju Ke Abstrak
Comment by winterwing pada Juli 14, 2010, 09:08:26 PM

david hume: hal-hal yang tak bisaditelusuri dari pengetahuan aindra yang sederhana seharusnya buang saja ke api.
jadi aku penganut empirisme. sederhana, riil dan berkaitan nyata. makanya sekarang aku belajar matemtika yang riil saja seperti matematika SD dan SMP. kalkulus itu mengerikan. juga bilangan kompleks, dll.
di dasar terus.
13) Re: Menuju Ke Abstrak
Comment by Kurniawan deGloman pada Juli 22, 2010, 01:08:25 PM

Teori n pembuktian
14) Re: Menuju Ke Abstrak
Comment by Balya pada Desember 16, 2010, 07:03:34 AM

???
15) Re: Menuju Ke Abstrak
Comment by Mohammad Atim pada Desember 22, 2010, 09:52:11 AM

pada teorema i kita bicara grup pada Z, mk operasi biner yang digunakan mestinya kan "+" dengan demikian untuk m bilangan bulat tertentu (bisa positif bisa negatif) apakah mZ artinya m + z untuk setiap z anggota Z, atau bisakah kita mendefinisikan operasi lain di luar operasi dalam grup Z?
16) Re: Menuju Ke Abstrak
Comment by hamka irama pada Mei 27, 2012, 04:39:49 PM

wah mantep men.... ini ilmu IT lanjutan . keren
You don't have permission to comment, or comments have been turned off for this article.

Articles dalam « Matematika »