Selamat datang di ForSa! Forum diskusi seputar sains, teknologi dan pendidikan Indonesia.

Welcome to Forum Sains Indonesia. Please login or sign up.

Maret 29, 2024, 12:19:05 PM

Login with username, password and session length

Topik Baru

Artikel Sains

Anggota
Stats
  • Total Tulisan: 139,653
  • Total Topik: 10,405
  • Online today: 169
  • Online ever: 1,582
  • (Desember 22, 2022, 06:39:12 AM)
Pengguna Online
Users: 0
Guests: 163
Total: 163

Aku Cinta ForSa

ForSa on FB ForSa on Twitter

UTS 1 Mekanika #3

Dimulai oleh gtx, Oktober 18, 2012, 05:05:59 AM

« sebelumnya - berikutnya »

0 Anggota dan 1 Pengunjung sedang melihat topik ini.

gtx

Sebuah partikel dipengaruhi gaya \vec{F}(x, y, z)=\frac{x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}}{x^2+y^2+z^2} dengan x,\ y, dan z adalah komponen-komponen posisi partikel dalam koordinat kartesius. Semua satuan dalam SI.

a) Periksalah apakah gaya tersebut konservatif.

b) Tentukan sudut antara vektor posisi dan vektor gaya tersebut.

c) Hitunglah usaha atau kerja yang dilakukan gaya tersebut terhadap partikel untuk perpindahan sepanjang lintasan dengan persamaan parametrik x=t^2,\ y=t^3,\ z=t untuk nilai parameter t dari -1 sampai 2.

gtx

Solusi resmi :

a) Sifat konservatif :

F(x, y, z)=(x^2+y^2+z^2)^{-1}(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k})

\rightarrow\ F_{x}=(x^2+y^2+z^2)^{-1}x,\ F_y=(x^2+y^2+z^2)^{-1}y,\ F_z=(x^2+y^2+z^2)^{-1}z

\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{x\partial (x^2+y^2+z^2)^{-1}}{\partial y}=\frac{-2xy}{r^4}

\frac{\partial F_y}{\partial x}=\frac{y\partial (x^2+y^2+z^2)^{-1} }{\partial x}=\frac{-2xy}{r^4}

Maka \frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial F_y}{\partial x}.

\frac{\partial F_z}{\partial y}=\frac{x\partial (x^2+y^2+z^2)^{-1}}{\partial y}=\frac{-2yz}{r^4}

\frac{\partial F_y}{\partial z}=\frac{y\partial (x^2+y^2+z^2)^{-1} }{\partial z}=\frac{-2yz}{r^4}

Maka \frac{\partial F_z}{\partial y}=\frac{\partial F_y}{\partial z}.

\frac{\partial F_x}{\partial z}=\frac{x\partial (x^2+y^2+z^2)^{-1}}{\partial z}=-2xz(x^2+y^2+z^2)^{-2}

\frac{\partial F_z}{\partial x}=\frac{z\partial (x^2+y^2+z^2)^{-1} }{\partial x}=-2xz(x^2+y^2+z^2)^{-2}

Maka \frac{\partial F_x}{\partial z}=\frac{\partial F_z}{\partial x}.

Jadi, gayanya konservatif.

b) Sudut antara vektor posisi dan vektor gaya

\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k},\ \rightarrow\ \vec{F}(x, y, z)=(x^2+y^2+z^2)^{-1}(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k})=\frac{\vec{r}}{r^2}

\rightarrow\ \vec{F}\ \text{searah}\ \vec{r}.

Jadi, sudut antara vektor posisi dan vektor gaya sama dengan nol.

c) Usaha:

W=\int_{A}^{B} \vec{F}\dot d\vec{r}=\int_{A}^{B} \frac{\vec{r}\dot d\vec{r}}{r^2}

=\int_{A}^{B} \frac{x\ dx+y\ dy+z\ dz}{r^2}=\frac{1}{2}\int_{A}^{B} \frac{dx^2+dy^2+dz^2}{r^2}

=\frac{1}{2}\int_{A}^{B} \frac{dr^2}{r^2}=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{r_B^2}{r_A^2}\right)

Titik A: t=-1\ \rightarrow\ x=1,\ y=1,\ z=-1\ \rightarrow\ r_A=\sqrt{3}, Titik B: t=2:\ x=4,\ y=8,\ z=2\ \rightarrow\ r_B=\sqrt{84}. Jadi, W=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{84}{3}\right)=\frac{1}{2}\ln 28 J.

Cara lain :

x=t^2,\ y=t^3,\ z=t\ \rightarrow\ dx=2t\ dt,\ dy=3t^2\ dt,\ dz=dt.

W=\int_A^{B} \frac{x\ dx+y\ dy+z\ dz}{r^2}=\int_{-1}^{2} \frac{2t^3+3t^5+t}{t^4+t^6+t^2}\ dt

=\frac{1}{2}\int_{-1}^{2}\frac{d(t^4+t^6+t^2)}{t^4+t^6+t^2}=\frac{1}{2}\ln(t^4+t^6+t^2)|_{-1}^{2}

=\frac{1}{2}\ln\frac{16+64+4}{3}=\frac{1}{2}\ln 28.