BARISAN DAN DERET


Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu.
Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku.
Perubahan di antara suku-suku berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan tertentu.


Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap,
maka barisan ini disebut barisan aritmetika. Misal:

a. 2, 5, 8, 11, 14, ................ ditambah 3 dari suku di depannya

b. 100, 95, 90, 85, 80, ........ dikurangi 5 dari suku di depannya


Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan tetap, maka disebut barisan geometri. Misal:

a. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, .......... dikalikan 2 dari suku di depannya

b. 80, 40, 20, 10, 5, 2½, ............ dikalikan ½ dari suku di depannya


Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Misal:

Deret aritmetika (deret hitung) : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Deret geometri (deret ukur) : 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62



BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

Barisan Aritmatika

Misal: 2, 5, 8, 11, 14, .........an

a1 = 2 = a

a2 = 5 = 2 + 3 = a + b

a3 = 8 = 5 + 3 = (a + b) + b = a + 2b

a4 = 11 = 8 + 3 = (a + 2b) + b = a + 3b

an = a + (n-1) b



Jadi rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika adalah:

an = a1 + (n -1)b

atau

Sn = a1 + (n -1)b

di mana:

a1 = suku pertama

b = beda antar suku

n = banyaknya suku



Latihan:


1. Carilah suku ke-10 dari barisan 3, 7, 11, 15, 19, ................

2. Suku ke-3 dan suku ke-16 dari barisan aritmetika adalah 13 dan 78. Tentukan suku pertama dan bedanya!

3. Carilah suku ke-21 dalam barisan aritmetika dimana suku ke-5 = 41 dan suku ke11 = 23



Deret Aritmetika (Deret Hitung)

Misal: Dn = a + (a + b) + (a + 2b) + ...........+ (Sn – 2b) + (Sn – b) + Sn

Dn = Sn + (Sn - b) + (Sn – 2b) + ......+ (a + 2b) + (a + b) + a                +

2 Dn = (a + Sn) + (a + Sn) + (a + Sn) + ................... sebanyak n

Dn = n/2(a + Sn)
2 Dn = n/2(a + Sn)

atau                   

Dn = n (2a + (n-1)b)
Dn = n/2(a + a + (n -1)b)

di mana

Dn = Deret ke-n (jumlah sampai dengan suku ke-n)




BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Barisan Geometri

Misal: 3, 6, 12, 24, 48, .................

a1 = 3 = a

a2 = 6 = 3 x 2 = a x r = ar

a3 = 12 = 6 x 2 = ar x r = ar²

a4 = 24 = 12 x 2 = ar2 x r = ar³

an = ar^n-1

Jadi rumus suku ke-n dalam barisan geometri adalah:

an   = ar^n-1

di mana:

an = suku ke-n (Sn)

a = suku pertama

r = rasio antar suku berurutan

n = banyaknya suku



Deret Geometri (Deret Ukur)

Misal:

D_n = a + ar + ar² + ar³ + ............ + ar^n-1

r D_n = ar + ar² + ar³ + ............ + ar^n-1 + arⁿ                     

D_n – rD_n = a – arⁿ

(1-r)D_n = a (1-rⁿ)

D_n= a(1 – rⁿ) : (1 - r)


di mana:

D_n = Deret ke-n (jumlah sampai dengan suku ke-n)