Gunakan MimeTex/LaTex untuk menulis simbol dan persamaan matematika.

Welcome to Forum Sains Indonesia. Please login or sign up.

Juli 06, 2022, 06:12:50 PM

Login with username, password and session length

Topik Baru

Artikel Sains

Anggota
  • Total Anggota: 26,754
  • Latest: sainsftw
Stats
  • Total Tulisan: 139,633
  • Total Topik: 10,390
  • Online today: 67
  • Online ever: 441
  • (Desember 17, 2011, 09:48:51 AM)
Pengguna Online
Users: 0
Guests: 39
Total: 39

Aku Cinta ForSa

ForSa on FB ForSa on Twitter

Teori Bilangan

Dimulai oleh Melnick, Agustus 20, 2008, 06:09:35 PM

« sebelumnya - berikutnya »

0 Anggota dan 1 Pengunjung sedang melihat topik ini.

Melnick

1. a.) Suatu bilangan habis dibagi 2^n apabila n digit terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2^n
Contoh :
134576 habis dibagi 8 = 2^3, sebab 576 habis dibagi 8 (576 : 8 = 72)

4971328 habis dibagi 16 = 2^4 sebab 1328 habis dibagi 16

b.) Suatu bilangan habis dibagi 5 apabila digit terakhir dari bilangan tersebut adalah 0 atau 5
Contoh : 67585 dan 457830 adalah bilangan-bilangan yang habis dibagi 5.

c.) Suatu bilangan habis dibagi 3 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 3
Contoh : 356535 habis dibagi 3 sebab 3 + 5 + 6 + 5 + 3 + 5 = 27 dan 27 habis dibagi 3.

d.) Suatu bilangan habis dibagi 9 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 9
Contoh : 23652 habis dibagi 9 sebab 2 + 3 + 6 + 5 + 2 = 18 dan 18 habis dibagi 9.

e.) Suatu bilangan habis dibagi 11 apabila selisih antara jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi ganjil dengan jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi genap habis dibagi 11
Contoh : 945351 habis dibagi 11 sebab (9 + 5 + 5) - (4 + 3 + 1) = 11 dan 11 habis dibagi 11.
Contoh bilangan lain yang habis dibagi 11 adalah 53713 dan 245784.

2.) Jika suatu bilangan habis dibagi a dan juga habis dibagi b, maka bilangan tersebut akan habis dibagi ab dengan syarat a dan b relatif prima
Berlaku sebaliknya.
Contoh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12.

3.) Misalkan N jika dibagi p akan bersisa r.
Dalam bentuk persamaan N = pq + r dengan p menyatakan pembagi, q menyatakan hasil bagi dan r menyatakan sisa

Persamaan di atas sering pula ditulis N=r (mod p)

4.) Kuadrat suatu bilangan bulat bulat, habis dibagi 4 atau bersisa 1 jika dibagi 4.
Maka suatu bilangan bulat yang bersisa 2 atau 3 jika dibagi 4, bukanlah bilangan kuadrat.

5.) Angka satuan dari bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6, 9.

6.) Bilangan pangkat tiga (kubik) jika dibagi 7 akan bersisa 0, 1 atau 6.

7.) Dua bilangan dikatakan prima relatif, jika faktor persekutuan terbesarnya (FPB) sama dengan 1.
Contoh : 26 dan 47 adalah prima relatif sebab FPB 26 dan 47 ditulis FPB(26,47) = 1
"Crystals are like people, it is the defects in them which tend to make them interesting!" -Colin Humphreys.

@melissaniken ;D

reborn

wew.... tumben si Melnick rada serius ;D
Keren nih. Barusan cek yang pertama, awalnya ga percaya, eh pas nyoba2 utak atik dikit, ternyata bener.
Mantap nih, kasi panah ijo deh, sekali2nya serius soalnya nih :P

Melnick

Hehe.. Makasi om reborn  ;D
Ini lagi nyari soal olimpiade matematika..
Besok mau ada olimpiade matematika dari primagama  :D
"Crystals are like people, it is the defects in them which tend to make them interesting!" -Colin Humphreys.

@melissaniken ;D

Mtk Kerajaan Mataram

Well, good start...
Yoo.. digeneralkan buktinya...
Kutip dari: Melnick pada Agustus 20, 2008, 06:09:35 PM
1. a.) Suatu bilangan habis dibagi 2^n apabila n digit terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2^n
Contoh :
134576 habis dibagi 8 = 2^3, sebab 576 habis dibagi 8 (576 : 8 = 72)
4971328 habis dibagi 16 = 2^4 sebab 1328 habis dibagi 16
Yang ini jelas digit bilangan harus >= n, misalna bilangannya M=A10n+an-110n-1+....+a2102+a1101+a0
Lalu point 1 tersebut bisa ditulis :
Jika 2n | (an-110n-1+....+a2102+a1101+a0 ) maka 2n | M
dan ayo gimana bukti formalnya ini...

Mtk Kerajaan Mataram

Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada Agustus 21, 2008, 06:27:27 AM
misalna bilangannya M=A10n+an-110n-1+....+a2102+a1101+a0
Lalu point 1 tersebut bisa ditulis :
Jika 2n | (an-110n-1+....+a2102+a1101+a0 ) maka 2n | M
Kita memang dalam hal ini menghadapi dilema, satu sisi dengan penggunaan simbol akan membuat persoalan kelihatan sulit tapi di sisi lain akan memberikan kepastian kebenaran menyeluruh. Juga sebaliknya kalau hanya contoh2 maka tidak akan mendapat kepastian nanti kalau ini atau itu berlaku tidak yaa...
Ada satu keuntungan menggunakan simbol2 yang akan membawa pada penyelsaian general, yaitu kita nanti bisa menggunakannya dalam software komputer.
Berikut adalah penyelesaian bukti tersebut :
Karena antesedennya 2n | (an-110n-1+....+a2102+a1101+a0 ) dan kita tahu bahwa A10n = A(5n)(2n) yang berarti 2n | A10n, dan akhirnya 2n | M. Mudah bukan ?

Lalu yang berikut misalnya :
Kutip dari: Melnick pada Agustus 20, 2008, 06:09:35 PM
c.) Suatu bilangan habis dibagi 3 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 3
Contoh : 356535 habis dibagi 3 sebab 3 + 5 + 6 + 5 + 3 + 5 = 27 dan 27 habis dibagi 3.
d.) Suatu bilangan habis dibagi 9 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 9
Contoh : 23652 habis dibagi 9 sebab 2 + 3 + 6 + 5 + 2 = 18 dan 18 habis dibagi 9.
Misalkan bilangannya adalah :
M = an-110n-1+an-210n-2+...+a1101+a0100
Yang akan dibuktikan adalah implikasi
Jika 3 | (an-1+an-2+...+a1+a0) maka 3 | M
Sebelumnya, kita harus ingat bahwa untuk sembarang k, 10k=3m+1 untuk suatu m bilangan integer, contoh gampangnya 10=3.3 +1, 100=33.3+1, 1000=333.3+1, dst.
Misalkan 10n-1=3mn-1+1,10n-2=3mn-2+1, dan seterusnya 101=3m1+1, yang 100=0.3+1=1 tentunya. Dan berturut-turut m1,m2,...,mn-1 adalah 3;33;333;3333;...;33..3.

Jadi
M=an-110n-1+an-210n-2+...+a1101+a0100
  =an-1.{3mn-1+1}+an-2.{3mn-2+1}+...+a1.{3m1+1}+a0.1
  =3.{an-1.mn-1+an-2.mn-2+...+a1.m1}+{an-1+an-2+...+a1+a0}
Sampai di sini terlihat jelas bahwa karena pada ruas kanan suku pertama adalah kelipatan 3 maka
jika {an-1+an-2+...+a1+a0} juga kelipatan 3 maka M akan merupakan kelipatan 3.
Ah..untuk yang habis dibagi 9 sama cara kok...
Dilanjut kali lain, semoga semakin banyak yang tertarik dengan forum ini... dan tidak pelit dengan berbagi pemikiran...

Mtk Kerajaan Mataram

Kutip dari: Melnick pada Agustus 20, 2008, 06:30:50 PM
Hehe.. Makasi om reborn  ;D
Ini lagi nyari soal olimpiade matematika..
Besok mau ada olimpiade matematika dari primagama  :D

Weeh ini Melnick anak SMA apa mahasiswa ta? kok, nyari2 soal olimpiade primagama?

Melnick

Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada September 07, 2008, 10:02:36 AM
Weeh ini Melnick anak SMA apa mahasiswa ta? kok, nyari2 soal olimpiade primagama?

aku masih SMA kak..  ;D
"Crystals are like people, it is the defects in them which tend to make them interesting!" -Colin Humphreys.

@melissaniken ;D

Mtk Kerajaan Mataram

Saya salut Melnick punya semangat yang baik. Kalau permasalahan soal SMA menurut saya lebih baik ke bagian SMA, maksudnya supaya bang admin-nya forsa ini nggak judeg...
semoga sukses..

Melnick

oh iya lupa.. mestinya emang masuk ke situ..  :-X
makasi ka MTKKM  ;D

btw, mindahinnya gimana nih?  :-\
"Crystals are like people, it is the defects in them which tend to make them interesting!" -Colin Humphreys.

@melissaniken ;D

hanifa

Kutip dari: Melnick pada Agustus 20, 2008, 06:09:35 PM
1. a.) Suatu bilangan habis dibagi 2^n apabila n digit terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2^n
Contoh :
134576 habis dibagi 8 = 2^3, sebab 576 habis dibagi 8 (576 : 8 = 72)

4971328 habis dibagi 16 = 2^4 sebab 1328 habis dibagi 16

b.) Suatu bilangan habis dibagi 5 apabila digit terakhir dari bilangan tersebut adalah 0 atau 5
Contoh : 67585 dan 457830 adalah bilangan-bilangan yang habis dibagi 5.

c.) Suatu bilangan habis dibagi 3 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 3
Contoh : 356535 habis dibagi 3 sebab 3 + 5 + 6 + 5 + 3 + 5 = 27 dan 27 habis dibagi 3.

d.) Suatu bilangan habis dibagi 9 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 9
Contoh : 23652 habis dibagi 9 sebab 2 + 3 + 6 + 5 + 2 = 18 dan 18 habis dibagi 9.

e.) Suatu bilangan habis dibagi 11 apabila selisih antara jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi ganjil dengan jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi genap habis dibagi 11
Contoh : 945351 habis dibagi 11 sebab (9 + 5 + 5) - (4 + 3 + 1) = 11 dan 11 habis dibagi 11.
Contoh bilangan lain yang habis dibagi 11 adalah 53713 dan 245784.

2.) Jika suatu bilangan habis dibagi a dan juga habis dibagi b, maka bilangan tersebut akan habis dibagi ab dengan syarat a dan b relatif prima
Berlaku sebaliknya.
Contoh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12.

3.) Misalkan N jika dibagi p akan bersisa r.
Dalam bentuk persamaan N = pq + r dengan p menyatakan pembagi, q menyatakan hasil bagi dan r menyatakan sisa

Persamaan di atas sering pula ditulis N=r (mod p)

4.) Kuadrat suatu bilangan bulat bulat, habis dibagi 4 atau bersisa 1 jika dibagi 4.
Maka suatu bilangan bulat yang bersisa 2 atau 3 jika dibagi 4, bukanlah bilangan kuadrat.

5.) Angka satuan dari bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6, 9.

6.) Bilangan pangkat tiga (kubik) jika dibagi 7 akan bersisa 0, 1 atau 6.

7.) Dua bilangan dikatakan prima relatif, jika faktor persekutuan terbesarnya (FPB) sama dengan 1.
Contoh : 26 dan 47 adalah prima relatif sebab FPB 26 dan 47 ditulis FPB(26,47) = 1
hwwaaa.....
ga' ngerti nih. mo nulis pa'an,.

Ginji

Kutip dari: Melnick pada Agustus 20, 2008, 06:09:35 PM
1. a.) Suatu bilangan habis dibagi 2^n apabila n digit terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2^n
Contoh :
134576 habis dibagi 8 = 2^3, sebab 576 habis dibagi 8 (576 : 8 = 72)

4971328 habis dibagi 16 = 2^4 sebab 1328 habis dibagi 16

b.) Suatu bilangan habis dibagi 5 apabila digit terakhir dari bilangan tersebut adalah 0 atau 5
Contoh : 67585 dan 457830 adalah bilangan-bilangan yang habis dibagi 5.

c.) Suatu bilangan habis dibagi 3 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 3
Contoh : 356535 habis dibagi 3 sebab 3 + 5 + 6 + 5 + 3 + 5 = 27 dan 27 habis dibagi 3.

d.) Suatu bilangan habis dibagi 9 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 9
Contoh : 23652 habis dibagi 9 sebab 2 + 3 + 6 + 5 + 2 = 18 dan 18 habis dibagi 9.

e.) Suatu bilangan habis dibagi 11 apabila selisih antara jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi ganjil dengan jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi genap habis dibagi 11
Contoh : 945351 habis dibagi 11 sebab (9 + 5 + 5) - (4 + 3 + 1) = 11 dan 11 habis dibagi 11.
Contoh bilangan lain yang habis dibagi 11 adalah 53713 dan 245784.

2.) Jika suatu bilangan habis dibagi a dan juga habis dibagi b, maka bilangan tersebut akan habis dibagi ab dengan syarat a dan b relatif prima
Berlaku sebaliknya.
Contoh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12.

3.) Misalkan N jika dibagi p akan bersisa r.
Dalam bentuk persamaan N = pq + r dengan p menyatakan pembagi, q menyatakan hasil bagi dan r menyatakan sisa

Persamaan di atas sering pula ditulis N=r (mod p)

4.) Kuadrat suatu bilangan bulat bulat, habis dibagi 4 atau bersisa 1 jika dibagi 4.
Maka suatu bilangan bulat yang bersisa 2 atau 3 jika dibagi 4, bukanlah bilangan kuadrat.

5.) Angka satuan dari bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6, 9.

6.) Bilangan pangkat tiga (kubik) jika dibagi 7 akan bersisa 0, 1 atau 6.

7.) Dua bilangan dikatakan prima relatif, jika faktor persekutuan terbesarnya (FPB) sama dengan 1.
Contoh : 26 dan 47 adalah prima relatif sebab FPB 26 dan 47 ditulis FPB(26,47) = 1

Weits sorry gak ada maksud apa-apa tapi kok kanyaknya pernah liat yang kayak gini :kribo:

Melnick

Kutip dari: Ginji pada Oktober 21, 2008, 04:07:40 PM
Weits sorry gak ada maksud apa-apa tapi kok kanyaknya pernah liat yang kayak gini :kribo:

Pernah liat di mana? Di buku pelajaran?
Ini kan emang pelajaran SMA  ;D
"Crystals are like people, it is the defects in them which tend to make them interesting!" -Colin Humphreys.

@melissaniken ;D

biobio

ehm,mau nanya ni,sbnrnya apa guna panah ijo n merah it?thx
"The pen is mightier than the sword"

biobio

Saya tambahi beberapa ya untuk sifat keterbagiannya melnick ini...

Contoh soal yang biasa keluar di olimpiade:
1.Tunjukkan bahwa jika 10x + y adalah perkalian 7, maka x – 2y adalah perkalian 7 juga.
2.Tentukan semua bilangan puluhan yang besaran bilangannya meningkat 75% apabila posisi satuan dan puluhannya ditukar

Jawaban:
1.Jika 10x + y dapat dibagi 7, maka kita dpaat menulisnya sbb: 10x + y = 7a dengan a adalah bilangan bulat. Maka, y = 7a – 10x. Substitusikan persamaan berikut ke dalam x – 2y, maka x – 2.(7a – 10x) = x – 14a + 20 x = 21 x – 14a, dan berikutnya 7(3x – 2a), jelaslah 21x – 14a adalah kelipatan 7
2.Dimisalkan angkanya berbentuk ab, maka 0<a<10 dan 0<=b<10, bilangan meningkat 75% apabila angkanya ditukar, maka 7/4. (10a + b) = 10b + a, dan 70a + 7b = 40b + 4a, selanjutnya 66a = 33b, b=2a. Jadi semua bilangan yang memenuhi adalah 12,24,36,48.

Ada beberapa soal lain pula, silahkan dicoba:
1.Apakah 24 680 135 796 789 567 967 habis dibagi 9?
2.Bilangan berangka 6 membentuk bilangan a1989b habis dibagi 72. Tentukan a dan b!
3.Buktikan bahwa jika abcdef adalah bilangan yang habis dibagi 11, maka (b+d+f) – (a+c+e) pasti habis pula dibagi 11.
4.Tentukan angka satuan dari 1! + 2! + 3! + ......... 1989!
"The pen is mightier than the sword"

Nabih

Jadi inget bukunya pak "Suwah Sembiring" yang judulnua "Olimpiade Matematika untuk SMU"

tqapi suer baru tau

jika n ganjil maka n^2 ekuivalen dengan 1(mod4) alias ga mungkin 3(mod4)