Akar 2
) adalah bilangan irrasional pertama yang diperkenalkan oleh bangsa Yunani.
Mereka mengatakan bahwa panjang diagonal dari sebuah segitiga siku-siku dengan panjang dua sisi yang membentuk sudut siku-siku tersebut masing-masing satu tidak mungkin rasional (irrasional).
Dari
Teorema Phytagoras didapat bahwa panjang sisi miring (hipotenus) segitiga tersebut adalah akar 2
).
Bagaimana membuktikan bahwa akar dua adalah bilangan irrasional? Ada beberapa cara untuk membuktikan ini.
Apa aja caranya? Nah, silahkan dimulai pembahasannya ;D
Bilangan
dikenalkan bangsa Yunani ada pada bidang. Sekaligus menunjukkan bilangan itu tidak rasional.
Andaikan
rasional, maka harusnya ada bilangan bulat x dan y sehingga
=x/y, dimana y tidak nol.
Kita bisa menetapkan bahwa x dan y tidak kedua-duanya genap (yaitu minimal salah satunya kita tetapkan ganjil), karena kalau keduanya genap kita bisa menyederhanakannya sehingga diperoleh minimal salah satunya ganjil. Dalam artian lain x/y kita ambil yang paling sederhana.
Kita dapati bahwa (x
2)/(y
2)=2 atau (x
2)=2(y
2), dengan kata lain (x
2) genap.
Bisa dengan mudah ditunjukkan bahwa bilangan kuadrat yang genap merupakan kuadrat dari bilangan genap atau jika (x
2) genap maka x genap. (contohnya :16 genap maka
=4 genap, lalu 196 genap maka
=14 genap..).
Jadi karena (x
2) genap maka x genap, karena itu ada bilangan bulat h sehingga x=2h, dan jadinya adalah :
x
2=2y
2 ==> (2h)
2=2y
2==> 4h
2=2y
2==>y
2=2h
2Woww...jadinya y
2 juga genap yang artinya y juga genap, kontradiksi dengan asumsi kita bahwa x dan y minimal salah satunya ganjil. Sehingga asumsi gagal dan
tidak rasional. Terbukti.
Logika Pembuktian :
Implikasi yang akan dibuktikan
Jika
rasional maka ada bilangan bulat x dan y dg y tak nol shg
=x/y.
Kita lambangkan pernyataan <
rasional> dengan p, dan
pernyataan <ada bilangan bulat x dan y dg y tak nol shg
=x/y> dengan q, sehingga implikasi bisa ditulis p ==> q.
Kita telah menunjukkan di atas bahwa q salah atau -q benar, sehingga karena -q==>-p ekuivalen dengan p==>q, maka kita simpulkan -p benar, yaitu p salah atau
tidak rasional.
^ plok..plok..plok..
Matematika Kerajaan Mataram... ;D
(eh bener kan Mtk-nya itu matematika ;) )
Anyone in this forum whose an idea to prove the irrationality of
,
,
,...? By mean any non qudratic integer.
Note that any positive integer greater than 1 is either prime or product of prime numbers (fundamental theorem of arithmatic).
As for the number n of the product of prime numbers, we can represent as
n={p
1^m
1}....{p
r^m
r}, where p
1,...,p
r are prime numbers and m
1,...,m
r are some positive integers.
If each of {m
1,...,m
r} is even number then n is quadratic integer, and
if not all of {m
1,...,m
r} are even numbers then n is not quadratic integer and
=u
for some positive integers u and v.
To verify that
is irrational for n is non quadratic integer we just prove the irrationality of
for p is prime number, since
rational number x irrational number =irrational number, and
rational number x rational number =rational number, and
x
is irrational number if p
1 and p
2 are prime numbers and p
1 is not equal to p
2.
Anyone in this forum who wants to spend his/her time to finish it?
Wah kalo cuma diminta ngitungkan akar-akar yang kalian diskusikan, itu mah terlalu kecil buat Rohedi. Ngitung akar pangkat sembarangpun keknya ndak ada apa-apanya dech buat Rohedi yang fisikawan asal Madura itu. Tidak percaya niy.....tuh intip cara Denaya Lesa yang lagi asyik ngajari matematika produk papanya di Amerika sono, yang di alamat ini...
[spam removed]
Hehehehe,
Salam,
Rohedi.
@Rohedi
Salam Sdr Rohedi, saya kira ini sudah masalah lain, yaitu analisa numerik untuk menghitung akar.
Tapi hebat juga, anda merancang metode lain, bukan sekedar code lain dalam matlab.