Forum Sains Indonesia

Ilmu Alam => Matematika => Topik dimulai oleh: reborn pada September 26, 2008, 12:35:25 PM

Judul: Akar dua dan bilangan irrasional
Ditulis oleh: reborn pada September 26, 2008, 12:35:25 PM
Akar 2  (\sqrt{2}) adalah bilangan irrasional pertama yang diperkenalkan oleh bangsa Yunani.
Mereka mengatakan bahwa panjang diagonal dari sebuah segitiga siku-siku dengan panjang dua sisi yang membentuk sudut siku-siku tersebut masing-masing  satu tidak mungkin rasional (irrasional).
Dari Teorema Phytagoras didapat bahwa panjang sisi miring (hipotenus) segitiga tersebut adalah akar 2  (\sqrt{2}).

Bagaimana membuktikan bahwa akar dua adalah bilangan irrasional? Ada beberapa cara untuk membuktikan ini.
Apa aja caranya? Nah, silahkan dimulai pembahasannya  ;D
Judul: Re: Akar dua dan bilangan irrasional
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada September 28, 2008, 02:20:27 AM
Bilangan  \sqrt{2} dikenalkan bangsa Yunani ada pada bidang. Sekaligus menunjukkan bilangan itu tidak rasional.
Andaikan  \sqrt{2} rasional, maka harusnya ada bilangan bulat x dan y sehingga  \sqrt{2}=x/y, dimana y tidak nol.

Kita bisa menetapkan bahwa x dan y tidak kedua-duanya genap (yaitu minimal salah satunya kita tetapkan ganjil), karena kalau keduanya genap kita bisa menyederhanakannya sehingga diperoleh minimal salah satunya ganjil. Dalam artian lain x/y kita ambil yang paling sederhana.

Kita dapati bahwa (x2)/(y2)=2 atau (x2)=2(y2), dengan kata lain (x2) genap.

Bisa dengan mudah ditunjukkan bahwa bilangan kuadrat yang genap merupakan kuadrat dari bilangan genap atau jika (x2) genap maka x genap. (contohnya :16 genap maka  \sqrt{16}=4 genap, lalu 196 genap maka  \sqrt{196}=14 genap..).

Jadi karena (x2) genap maka x genap, karena itu ada bilangan bulat h sehingga x=2h, dan jadinya adalah :
x2=2y2 ==> (2h)2=2y2==> 4h2=2y2==>y2=2h2
Woww...jadinya y2 juga genap yang artinya y juga genap, kontradiksi dengan asumsi kita bahwa x dan y minimal salah satunya ganjil. Sehingga asumsi gagal dan  \sqrt{2} tidak rasional. Terbukti.

Logika Pembuktian :
Implikasi yang akan dibuktikan
Jika  \sqrt{2} rasional maka ada bilangan bulat x dan y dg y tak nol shg  \sqrt{2}=x/y.
Kita lambangkan pernyataan < \sqrt{2} rasional> dengan p, dan
pernyataan <ada bilangan bulat x dan y dg y tak nol shg  \sqrt{2}=x/y> dengan q, sehingga implikasi bisa ditulis p ==> q.
Kita telah menunjukkan di atas bahwa q salah atau -q benar, sehingga karena -q==>-p ekuivalen dengan p==>q, maka kita simpulkan -p benar, yaitu p salah atau  \sqrt{2} tidak rasional.
Judul: Re: Akar dua dan bilangan irrasional
Ditulis oleh: ksatriabajuhitam pada September 28, 2008, 02:32:58 AM
^ plok..plok..plok..

Matematika Kerajaan Mataram... ;D
(eh bener kan Mtk-nya itu matematika ;) )
Judul: Re: Akar dua dan bilangan irrasional
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada September 29, 2008, 01:27:18 AM
Anyone in this forum whose an idea to prove the irrationality of \sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{6},...? By mean any non qudratic integer.
Judul: Re: Akar dua dan bilangan irrasional
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada Oktober 07, 2008, 02:28:05 AM
Note that any positive integer greater than 1 is either prime or product of prime numbers (fundamental theorem of arithmatic).
As for the number n of the product of prime numbers, we can represent as
n={p1^m1}....{pr^mr}, where p1,...,pr are prime numbers and m1,...,mr are some positive integers.

If each of {m1,...,mr} is even number then n is quadratic integer, and
if not all of {m1,...,mr} are even numbers then n is not quadratic integer and  \sqrt{n}=u \sqrt{v} for some positive integers u and v.

To verify that  \sqrt{n} is irrational for n is non quadratic integer we just prove the irrationality of  \sqrt{p} for p is prime number, since
rational number x irrational number =irrational number, and
rational number x rational number =rational number, and
 \sqrt{p_1} x  \sqrt{p_2} is irrational number if p1 and p2 are prime numbers and p1 is not equal to p2.

Anyone in this forum who wants to spend his/her time to finish it?
Judul: Re: Akar dua dan bilangan irrasional
Ditulis oleh: Rohedi pada April 21, 2009, 05:22:47 PM
Wah kalo cuma diminta ngitungkan akar-akar yang kalian diskusikan, itu mah terlalu kecil buat Rohedi. Ngitung akar pangkat sembarangpun keknya ndak ada apa-apanya dech buat Rohedi yang fisikawan asal Madura itu. Tidak percaya niy.....tuh intip cara Denaya Lesa yang lagi asyik ngajari matematika produk papanya di Amerika sono, yang di alamat ini...
 
[spam removed]

Hehehehe,
Salam,
Rohedi.
Judul: Re: Akar dua dan bilangan irrasional
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada April 21, 2009, 09:34:17 PM
@Rohedi
Salam Sdr Rohedi, saya kira ini sudah masalah lain, yaitu analisa numerik untuk menghitung akar.
Tapi hebat juga, anda merancang metode lain, bukan sekedar code lain dalam matlab.