Selamat datang di ForSa! Forum diskusi seputar sains, teknologi dan pendidikan Indonesia.

Welcome to Forum Sains Indonesia. Please login or sign up.

September 26, 2022, 11:06:20 PM

Login with username, password and session length

Topik Baru

Artikel Sains

Anggota
Stats
  • Total Tulisan: 139,638
  • Total Topik: 10,395
  • Online today: 38
  • Online ever: 441
  • (Desember 17, 2011, 09:48:51 AM)
Pengguna Online
Users: 0
Guests: 35
Total: 35

Aku Cinta ForSa

ForSa on FB ForSa on Twitter

Deret bilangan Ajaib

Dimulai oleh v_hen, Februari 07, 2009, 03:01:49 PM

« sebelumnya - berikutnya »

0 Anggota dan 1 Pengunjung sedang melihat topik ini.

v_hen

pertama-tama, salam kenal ya kakak2 smua..
saya anggota baru nii, masi junior.. ^^

Kak, sya mau tanya dong, ada 2 hal brkaitan dengan deret (baris/deret) bilangan yang menurut saya cukup aneh, tapi ajaib.

yang pertama:
menurut rumus deret bilangan, semua jenis deret ada rumus nya (rumus Un=...)
Nah yang mau saya tanyakan bagaimana dengan bilangan: Prima, dan bilangan Fibonacci?? apakah ada rumusnya? kalau tidak ada, kenapa? Kalau ada, syaratnya apa?

yang kedua:
suatu kali saya iseng2 ngurutin bilangan Fibonacci yang dimulai dari 0, dan memperoleh:
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,dst
nah setelah saya turunkan, menjadi:
0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , dst
  1 , 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5  ,  8 ,  13 , 21 , 34  ,55, dst
   -1,  1,  0,  1,  1   2,   3,   5,    8,    13,  21
       2, -1,  1,  0,  1,  1,   2,    3,    5,    8
         -3,  2, -1,  1,  0,  1,   1,    2,    3
             5, -3,  2, -1,  1,  0,   1,    1
               -8,  5, -3, 2, -1,   1,    0
                  13, -8, 5, -3,  2,  -1
                    -21,13,-8,  5,  -3
                       34,-21,13,-8
                        -55,34,-21
                           89,-55
                            -144

bilangan2 ini tak akan pernah berakhir, tetapi terus membuat bilangan2 Fibonacci baru dengan pola horizontal, dan diagonal dari atas ke bawah, maupun diagonal dari bawah ke atas.. Apa yang terjadi di sini??

saya mohon kakak2 untuk penjelasannya yah.. ^^
Thx thx thx....  :)
Yesaya 55:9
Seperti tingginya langit dari bumi, demikianlah tingginya jalan-Ku dari jalanmu dan rancangan-Ku dari rancanganmu...
GBU :)

Mtk Kerajaan Mataram

Barisan Fibonacci dirumuskan secara rekursif mulai suku ke-3 : yaitu
Un = Un-2 + Un-1 dan U1=0 serta U2=1
Maka selisih=selisih diantaranya juga bersifat rekursif.
Mungkin yang anda maksudkan dengan habis adalah sampai selisihnya nol begitu ....
Hal ini terjadi jika barisan <an> merupakan fungsi polinomial.
Misal an = 2n2 + 3n - 1, maka

4     13     26     43     64    89   ...
     9      13     17     21    25      ...
        4       4       4       4          ...
             0       0       0              ...

Secara general kalau rumus barisan <an> merupakan polinomial berderajat m, maka akan mencapai selisih 0 setelah selisih yang ke - m+1.     

Sky

Salam kenal kakak semuanya...
Saya anggota baru juga nih...
Pertama kali bergabung taun 2007 tapi baru berani nge-post sekarang....

he...

Mas v_hen, kita senasib!
Saya juga pernah mengamati barisan fibonacci dengan cara yang sama seperti itu, dan entah benar atau tidak,
dulu saya berhasil mendapatkan rumus Un ny.

Kita sharing ja yo mas...

gini ceritanya:

coba kita amati barisan bilangan yang memiliki rumus Un=2n dan selisih masing-masing sukunya
(n dari 0)
1  2  4   8   16    32     64     128      256      512      1024
 1  2  4   8    16     32     64      128      256       512
   1  2  4     8     16     32     64      128      256
     1  2   4      8     16     32      64      128
                              .....
dan seterusnya... kan mirip-mirip fibonacci tuh...

Trus, kalo kita amati lebih jauh, barisan Un=3n juga punya pola yang mirip:
1    3      9       27      81       243
  2    6       18      54       162
     4     12      36      108
        8       24      72
              . .  .
Tapi, kalo yang ini, barisan yang dibawahnya adalah 2 kali barisan yang diatasnya.

Karena barisan fibonacci sifatnya mirip-mirip barisan pangkat, jadi 'siapa tahu' rumus barisannyanya berisi barisan pangkat.
Tapi... kalo diperhatikan lagi, barisan dibawah barisan fibonacci adalah barisan fibonacci yang digeser 1 suku ke kanan.
Maka, bisa saja rumusnya tidak hanya berisi satu barisan pangkat ( misalnya hanya an saja dimana a adalah suatu
bilangan).
Terus kita asumsikan di rumusnya tidak mengandung barisan polinomial, karena <seperti yang mas Mtk Kerajaan
Mataram bilag> selisihnya suatu saat akan nol, yang bukan sifat barisan fibonacci (soalnya kalo diselisihkan terus sampai berapa
kali juga masih bisa).

Jadi, kita ambil perkiraan bahwa rumusnya berbentuk Un = A*an+B*bn
Dengan A,a,B,dan b adalah suatu konstanta.
Nah,langkah selanjutnya adalah mencari konstanta itu dan mencocokkannya dengan barisan fibonacci.

kalo n=0:
U0 = 0 = A + B .............//persamaan 1

n=1:
U1 = 1 = Aa +Bb.............//persamaan 2

n=2:
U2 = 1 = A*a2 + B*b2.......//persamaan 3

n=3:
U3 = 2 = A*a3 + B*b3.......//persamaan 4

Proses pencariannya:
1. Dari persamaan 1, didapat A = -B
2. Karena A = -B, maka jika persamaan 3 dibagi persamaan 2, didapat a + b = 1
3. Dengan cara yang sama dengan nomor 2, tapi persamaan 4 dibagi persamaan 2, didapat
  a2 + b2 + a*b = 2
4. Dengan menyelesaikan persamaan yang didapat dari poin 2 dan 3 (persamaan kuadrat), didapat:
  a = (1 + akar(5) ) / 2
  b = (1 - akar(5) ) / 2
5. Karena a dan b sudah diketahui, maka nilai A didapat dari persamaan 2, yaitu:
  A = 1 / akar(5)

Berarti rumus Un untuk barisan fibonacci:

Un = ( 1 / akar(5) ) * ( (1 + akar(5) ) / 2 )n - ( (1 - akar(5) ) / 2 )n

Pendekatannya lumayan bagus ko.
Atau kalo mau disederhanakan pake binomial Newton juga bisa.

Waktu itu pernah dicoba sampai suku k 72, selisihnya 1 dengan barisan fibonacci.
Itupun bisa saja karena kalkulatornya ga bisa menghitung dengan eksak hasil dari rumus ini.

Tapi saya juga ga tau rumus ini benar ga, soalnya cuma kerjaan iseng j.
Sepertinya juga dasar penurunannya kurang meyakinkan, he...
mohon bantuannya..... :D

maaf kebanyakan makan tempat,kakak-kakak sekalian...

Sky

dari topik sebelah:
http://www.forumsains.com/matematika/phi/

ternyata deret fibonacci punya keunikan lain, yaitu:

\phi = \frac {1+\sqrt 5}{2}

kalo rumus diatas ditulis ulang:
<br />f_n = \frac {1}{\sqrt 5} ( (\frac {1+\sqrt 5}{2})^n-(\frac {1-\sqrt 5}{2})^n )<br />
<br />f_n = \frac {1}{\sqrt 5} ( (\phi)^n-(\phi - \sqrt 5)^n )<br />

katanya, \frac {U_{n+1}}{U_n} \approx \phi untuk n yang besar.