Penulis Topik: Akar dua dan bilangan irrasional (Dibaca 13652 kali)

reborn · « **pada:** September 26, 2008, 12:35:25 PM »

Akar 2 $(\sqrt{2}$ ) adalah bilangan irrasional pertama yang diperkenalkan oleh bangsa Yunani.
Mereka mengatakan bahwa panjang diagonal dari sebuah segitiga siku-siku dengan panjang dua sisi yang membentuk sudut siku-siku tersebut masing-masing satu tidak mungkin rasional (irrasional).
Dari Teorema Phytagoras didapat bahwa panjang sisi miring (hipotenus) segitiga tersebut adalah akar 2 $(\sqrt{2}$ ).

Bagaimana membuktikan bahwa akar dua adalah bilangan irrasional? Ada beberapa cara untuk membuktikan ini.
Apa aja caranya? Nah, silahkan dimulai pembahasannya

Mtk Kerajaan Mataram · « **Jawab #1 pada:** September 28, 2008, 02:20:27 AM »

Bilangan $\sqrt{2}$ dikenalkan bangsa Yunani ada pada bidang. Sekaligus menunjukkan bilangan itu tidak rasional.
Andaikan $\sqrt{2}$ rasional, maka harusnya ada bilangan bulat x dan y sehingga $\sqrt{2}$ =x/y, dimana y tidak nol.

Kita bisa menetapkan bahwa x dan y tidak kedua-duanya genap (yaitu minimal salah satunya kita tetapkan ganjil), karena kalau keduanya genap kita bisa menyederhanakannya sehingga diperoleh minimal salah satunya ganjil. Dalam artian lain x/y kita ambil yang paling sederhana.

Kita dapati bahwa (x²)/(y²)=2 atau (x²)=2(y²), dengan kata lain (x²) genap.

Bisa dengan mudah ditunjukkan bahwa bilangan kuadrat yang genap merupakan kuadrat dari bilangan genap atau jika (x²) genap maka x genap. (contohnya :16 genap maka $\sqrt{16}$ =4 genap, lalu 196 genap maka $\sqrt{196}$ =14 genap..).

Jadi karena (x²) genap maka x genap, karena itu ada bilangan bulat h sehingga x=2h, dan jadinya adalah :
x²=2y² ==> (2h)²=2y²==> 4h²=2y²==>y²=2h²
Woww...jadinya y² juga genap yang artinya y juga genap, kontradiksi dengan asumsi kita bahwa x dan y minimal salah satunya ganjil. Sehingga asumsi gagal dan $\sqrt{2}$ tidak rasional. Terbukti.

Logika Pembuktian :
Implikasi yang akan dibuktikan
Jika $\sqrt{2}$ rasional maka ada bilangan bulat x dan y dg y tak nol shg $\sqrt{2}$ =x/y.
Kita lambangkan pernyataan < $\sqrt{2}$ rasional> dengan p, dan
pernyataan <ada bilangan bulat x dan y dg y tak nol shg $\sqrt{2}$ =x/y> dengan q, sehingga implikasi bisa ditulis p ==> q.
Kita telah menunjukkan di atas bahwa q salah atau -q benar, sehingga karena -q==>-p ekuivalen dengan p==>q, maka kita simpulkan -p benar, yaitu p salah atau $\sqrt{2}$ tidak rasional.

ksatriabajuhitam · « **Jawab #2 pada:** September 28, 2008, 02:32:58 AM »

^ plok..plok..plok..

Matematika Kerajaan Mataram...

(eh bener kan Mtk-nya itu matematika

)

Mtk Kerajaan Mataram · « **Jawab #3 pada:** September 29, 2008, 01:27:18 AM »

Anyone in this forum whose an idea to prove the irrationality of $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ , $\sqrt{6}$ ,...? By mean any non qudratic integer.

Mtk Kerajaan Mataram · « **Jawab #4 pada:** Oktober 07, 2008, 02:28:05 AM »

Note that any positive integer greater than 1 is either prime or product of prime numbers (fundamental theorem of arithmatic).
As for the number n of the product of prime numbers, we can represent as
n={p₁^m₁}....{p_r^m_r}, where p₁,...,p_r are prime numbers and m₁,...,m_r are some positive integers.

If each of {m₁,...,m_r} is even number then n is quadratic integer, and
if not all of {m₁,...,m_r} are even numbers then n is not quadratic integer and $\sqrt{n}$ =u $\sqrt{v}$ for some positive integers u and v.

To verify that $\sqrt{n}$ is irrational for n is non quadratic integer we just prove the irrationality of $\sqrt{p}$ for p is prime number, since
rational number x irrational number =irrational number, and
rational number x rational number =rational number, and
$\sqrt{p_1}$ x $\sqrt{p_2}$ is irrational number if p₁ and p₂ are prime numbers and p₁ is not equal to p₂.

Anyone in this forum who wants to spend his/her time to finish it?

Rohedi · « **Jawab #5 pada:** April 21, 2009, 05:22:47 PM »

Wah kalo cuma diminta ngitungkan akar-akar yang kalian diskusikan, itu mah terlalu kecil buat Rohedi. Ngitung akar pangkat sembarangpun keknya ndak ada apa-apanya dech buat Rohedi yang fisikawan asal Madura itu. Tidak percaya niy.....tuh intip cara Denaya Lesa yang lagi asyik ngajari matematika produk papanya di Amerika sono, yang di alamat ini...

[spam removed]

Hehehehe,
Salam,
Rohedi.

Mtk Kerajaan Mataram · « **Jawab #6 pada:** April 21, 2009, 09:34:17 PM »

@Rohedi
Salam Sdr Rohedi, saya kira ini sudah masalah lain, yaitu analisa numerik untuk menghitung akar.
Tapi hebat juga, anda merancang metode lain, bukan sekedar code lain dalam matlab.

Subyek / Dimulai oleh	Jawaban	Tulisan terakhir
Dua pintu dan dua penjaga Dimulai oleh reborn « 1 2 » Olah Otak	23 Jawaban 20325 Dilihat	Juli 22, 2008, 01:06:22 PM oleh notwelldefined
bilangan terbesar dan bilangan terkecil Dimulai oleh yubus « 1 2 3 » Matematika	40 Jawaban 29124 Dilihat	November 11, 2010, 11:21:04 PM oleh adisae
Akar pangkat akar Dimulai oleh Monox D. I-Fly Matematika	11 Jawaban 9312 Dilihat	Oktober 19, 2014, 10:55:20 AM oleh Sandy_dkk
Memecahkan Akar Kuadrat Irrasional tanpa Kalkulator Dimulai oleh Yorknell « 1 2 3 » Matematika	30 Jawaban 37936 Dilihat	Juni 01, 2016, 12:29:37 AM oleh Monox D. I-Fly
Akar-akar Persamaan Kuadrat Dimulai oleh reborn Bimbel Matematika	3 Jawaban 5887 Dilihat	November 08, 2011, 03:51:26 AM oleh mhyworld

User

Topik Baru

Cari

Artikel Sains

Stats

Anggota

Stats

Pengguna Online

Ikuti ForSa

Penulis Topik: Akar dua dan bilangan irrasional (Dibaca 13652 kali)

reborn

Akar dua dan bilangan irrasional

Mtk Kerajaan Mataram

Re: Akar dua dan bilangan irrasional

ksatriabajuhitam

Re: Akar dua dan bilangan irrasional

Mtk Kerajaan Mataram

Re: Akar dua dan bilangan irrasional

Mtk Kerajaan Mataram

Re: Akar dua dan bilangan irrasional

Rohedi

Re: Akar dua dan bilangan irrasional

Mtk Kerajaan Mataram

Re: Akar dua dan bilangan irrasional

Related Topics