Selamat datang di ForSa! Forum diskusi seputar sains, teknologi dan pendidikan Indonesia.

Selamat datang, Pengunjung. Silahkan masuk atau mendaftar. Apakah anda lupa aktivasi email?

Desember 02, 2021, 11:25:53 PM

Masuk dengan nama pengguna, kata sandi dan lama sesi

Topik Baru

Artikel Sains

Anggota
Stats
  • Total Tulisan: 139668
  • Total Topik: 10408
  • Online Today: 30
  • Online Ever: 441
  • (Desember 18, 2011, 12:48:51 AM)
Pengguna Online
Users: 0
Guests: 26
Total: 26

Ikuti ForSa

ForSa on FB ForSa on Twitter

Penulis Topik: Asal mula e  (Dibaca 19092 kali)

0 Anggota dan 1 Pengunjung sedang melihat topik ini.

Offline Nabih

  • Profesor
  • *****
  • Tulisan: 934
  • IQ: 141
  • Gender: Pria
  • Bosen avatar kosong mulu
    • Pecinta Olimpiade Matematika Mahasiswa
Asal mula e
« pada: Juni 16, 2009, 03:08:14 AM »
belajar kalkulus, kok banyak nager huruf, e

pertanyaan
1. dari mana tuh?
2, apa yang menyebabkan e begitu istimewa?
Website Matematika Terapan => http://nabihbawazir.com

Offline HyawehHoshikawa

  • Dosen
  • ****
  • Tulisan: 499
  • IQ: 22
  • Gender: Pria
  • ehm...gua itu cowo' yah...
Re: Asal mula e
« Jawab #1 pada: Juni 16, 2009, 11:07:30 AM »
e itu kan basisnya logaritma natural...untuk ngitung luas kurva dibawah grafik y=x-1,
kalo' ga salah mas Kerajaan MTK bilang:
e=\lim_{n->\inft}(1+\frac{1}{n})^n
Rationality alone isn't enough, the world is Complex.

Offline Nabih

  • Profesor
  • *****
  • Tulisan: 934
  • IQ: 141
  • Gender: Pria
  • Bosen avatar kosong mulu
    • Pecinta Olimpiade Matematika Mahasiswa
Re: Asal mula e
« Jawab #2 pada: Juni 16, 2009, 11:29:24 AM »
Maksih buat Hoshikawa

IQ+1 buat Hoshikawa

asal mulanya dari mana yaa

Offline Sky

  • Dosen
  • ****
  • Tulisan: 473
  • IQ: 36
  • Gender: Pria
Re: Asal mula e
« Jawab #3 pada: Juni 16, 2009, 02:00:42 PM »
e adalah bilangan yang sangat istimewa, bro.

Seperti yang hoshikawa bilang, awalnya matematikawan berusaha mencari luas daerah di bawah kurva y=1/x
Kemudian, didapatlah fungsi itu, (misalnya f(x)) yang merupakan integral dari fungsi y(x) tadi.
Tepatnya:
f(x)=\int_0^x \frac 1x dx

Setelah diteliti lebih lanjut, ternyata si f(x) ini adalah suatu fungsi logaritma.
Kan matematikawan jadi penasaran tuh? Jika f(x) adalah fungsi logaritma, maka pasti ada basisnya, dicarilah basisnya yang ternyata adalah suatu bilangan irrasional (sebut saja a) yang besarnya sekitar 2,178.

Karena matematikawan memang suka penasaran, sekarang mereka membuat fungsi invers dari f(x).
Sebut saja fungsi invers ini adalah g(x). g(x)=f^{-1}(x)
Karena f(x) adalah fungsi logaritma, maka fungsi inversnya adalah fungsi eksponen dengan basis a tadi.
Kalau kita tulis: g(x)=f^{-1}(x)=a^x

Tapi, matematikawan tersebut melihat suatu keunikan, yaitu fungsi eksponen tersebut (g(x)) ternyata jika diturunkan adalah fungsi itu sendiri.....
Kalau ditulis: \frac {d a^x}{dx}=a^x

Dan yang lebih mengejutkan lagi, ternyata banyak peristiwa di alam yang mengikuti persamaan differensial ini.
Contoh mudahnya: peluruhan radioaktif, laju peluruhannya (turunan dari peluruhan) sebanding dengan peluruhan itu sendiri.

Karena alasan keunikan, maka f(x) diberi nama "logaritma natural" (logaritma alamiah) yang diberi nama singkat f(x)=ln(x). Sedangkan basisnya, (a yang tadi) diberi nama basis natural, dan diberi simbol a=e.

Kenapa e? Kenapa tidak a, b, atau c, atau d?
Karena ini untuk menghormati matematikawan yang mengusulkan pengunikan itu, yaitu seorang matematikawan yang bernama Euler. sehingga e ini juga sering disebut bilangan Euler atau konstanta Euler.

Mtk Kerajaan Mataram

  • Pengunjung
Re: Asal mula e
« Jawab #4 pada: Juni 16, 2009, 09:41:23 PM »
I just realized that "Sky" was math educated. Excelent explanation.... thank you.

Offline Sky

  • Dosen
  • ****
  • Tulisan: 473
  • IQ: 36
  • Gender: Pria
Re: Asal mula e
« Jawab #5 pada: Juni 16, 2009, 09:48:11 PM »
waduh....
thx bgt om Mataram...
Jd tersipu2 nih.....

Offline HyawehHoshikawa

  • Dosen
  • ****
  • Tulisan: 499
  • IQ: 22
  • Gender: Pria
  • ehm...gua itu cowo' yah...
Re: Asal mula e
« Jawab #6 pada: Juni 17, 2009, 03:39:34 AM »
@sky
Kutip
Dan yang lebih mengejutkan lagi, ternyata banyak peristiwa di alam yang mengikuti persamaan differensial ini.
Contoh mudahnya: peluruhan radioaktif, laju peluruhannya (turunan dari peluruhan) sebanding dengan peluruhan itu sendiri.
hoo...
y=f(y)
\frac{dy}{dy} = ln.... loh kok bukan 1 ???
begitu toh ceritanya, pantesan dulu pas praktikum peluruhan malah pake' air seperti ini pada tabung fluida bocor itu yang berlaku:
v=\sqrt{2gh}
padahal pada fluida tersebut
v=\frac{dh}{dt}
sehingga
dh = -\sqrt{2gh} dt
\int -dh =\int \sqrt{2gh} dt
 -h+C = \int \sqrt{2gh} dt
dengan C = ketinggian awal...
ada yang bisa nglanjut ga supaya ketauan berapa "t"-nya supaya h=C

hehe sori OOT :P
enw, masih ada yang bikin penasaran ni, darimana yah ketemu persamaan:
e = \lim_{n->\inft}(1+\frac 1n)^n

Offline Nabih

  • Profesor
  • *****
  • Tulisan: 934
  • IQ: 141
  • Gender: Pria
  • Bosen avatar kosong mulu
    • Pecinta Olimpiade Matematika Mahasiswa
Re: Asal mula e
« Jawab #7 pada: Juni 17, 2009, 08:00:04 AM »
@ Sky

+1 IQ ah, makasih lho
@Hoshikawa
-h+C = \int \sqrt{2gh} dt
h=C berarti \int \sqrt{2gh} dt = 0
\sqrt{2gh} = 0

masak h=0, maksa banget, hahahahaha

Offline Sky

  • Dosen
  • ****
  • Tulisan: 473
  • IQ: 36
  • Gender: Pria
Re: Asal mula e
« Jawab #8 pada: Juni 17, 2009, 10:21:12 AM »
laju peluruhan sebanding dengan peluruhan itu maksudnya gini...
Misalkan peluruhan itu kita beri variabel N, jadinya:
\frac{dN}{dt}=kN (karena kesebandingan, supaya jadi persamaan maka dikalikan konstanta)
\frac{dN}{N}=kdt (variabel yang sama harus dikelompokkan, yaitu N)
\int \frac{dN}{N}=\int kdt (kedua ruas diintegralkan)
ln(N)=kt+C (penyataan ini ekuivalen dengan:)
N=e^{kt+C}
N=e^{kt}e^{C} (e^{C}=A untuk memudahkan penulisan)
N=Ae^{kt} (rumus peluruhan)

@Hoshikawa
v=\sqrt{2gh}
padahal pada fluida tersebut
v=\frac{dh}{dt}
sehingga
dh = -\sqrt{2gh} dt
Sampai sini sudah benar, tapi kalau mau diselesaikan, variabel yang sama harus dikelompokkan (h).

@nabih
Wow...tank-Q, mas nabih...

Offline HyawehHoshikawa

  • Dosen
  • ****
  • Tulisan: 499
  • IQ: 22
  • Gender: Pria
  • ehm...gua itu cowo' yah...
Re: Asal mula e
« Jawab #9 pada: Juni 17, 2009, 01:08:41 PM »
hoo...
kalo' gitu gimana kalo'
-dh=\sqrt{2gh}dt
\frac{-dh}{\sqrt{2gh}}= dt
\int \frac{-dh}{\sqrt{2gh}}= \int dt
-\frac{\sqrt{2}h}{\sqrt{gh}}+C = t
jadi mungkin supaya ketemu waktu pas h=C mungkin tinggal diganti aja yah?berarti itu bukan fungsi exponensial yah???

Offline nash

  • Profesor
  • *****
  • Tulisan: 728
  • IQ: 52
  • Gender: Pria
  • i-will-always-love-math-!
Re: Asal mula e
« Jawab #10 pada: Juni 17, 2009, 01:24:24 PM »
mav kalo agak lo-la,
kan f(x) adalah integral tentu dari 1/x,
lalu knapa f(x) bisa dsbut sbg fungsi logaritma?

mohon pnjelasannya
"Perhaps it is good to have a beautiful mind, but an even greater gift is to discover a beautiful heart"

(John Nash, "A Beautiful Mind")

Offline HyawehHoshikawa

  • Dosen
  • ****
  • Tulisan: 499
  • IQ: 22
  • Gender: Pria
  • ehm...gua itu cowo' yah...
Re: Asal mula e
« Jawab #11 pada: Juli 10, 2009, 11:38:23 AM »
om,
\int^{b}_a \frac{1}{x} dx
=\ln(x)
tapi kalo' misalnya a&b < 0 gimana?(walopun kalo' diliat dari luas daerahnya cuman tinggal dikasi tanda minus "-")
kan log untuk bilangan negatif ga' ada?

Offline Sky

  • Dosen
  • ****
  • Tulisan: 473
  • IQ: 36
  • Gender: Pria
Re: Asal mula e
« Jawab #12 pada: Juli 11, 2009, 04:30:16 AM »
Waduh, sori... aku udah lama ga ol lama...
Kita coba jawab satu-satu ya...
jadi mungkin supaya ketemu waktu pas h=C mungkin tinggal diganti aja yah?berarti itu bukan fungsi exponensial yah???
Iya, kalo yang ini bukan fungsi eksponensial.

mav kalo agak lo-la,
kan f(x) adalah integral tentu dari 1/x,
lalu knapa f(x) bisa dsbut sbg fungsi logaritma?

mohon pnjelasannya
Sebelumnya mau saya ralat dulu, karena baru sadar.
tadinya saya definisikan : f(x)=\int^x_0 \frac 1xdx
Seharusnya yang benar itu : f(x)=\int^x_1 \frac 1xdx
Sorry but you are not allowed to view spoiler contents.

Matematikawan kemudian mencoba meneliti sifat fungsi ini.
Kita coba bahas secara bertahap.

# Sifat 1:f(1)=0
*  Kita tahu bahwa jika f(x)=\int^x_1 \frac 1xdx maka \int \frac 1xdx=f(x)+C
Ini adalah prinsip integral tentu dan tak tentu.

*  Kita gunakan kedua sifat tadi.
Kita hitung \int^x_1\frac 1xdx.
Karena \int \frac 1xdx=f(x)+C, maka \int^x_1 \frac 1xdx=\left[f(x)+C\right]^x_1
Selesaikan ruas kiri: f(x)=\left[f(x)+C\right]^x_1
Sorry but you are not allowed to view spoiler contents.

Selesaikan ruas kanan : f(x)=[f(x)+C]-[f(1)+C]
Maka didapat: f(1)=0
Sorry but you are not allowed to view spoiler contents.

Offline Sky

  • Dosen
  • ****
  • Tulisan: 473
  • IQ: 36
  • Gender: Pria
Re: Asal mula e
« Jawab #13 pada: Juli 11, 2009, 04:45:19 AM »
# Sifat 2 : f(ab)=f(a)+f(b)
* Dengan sedikit kreativitas, kita bisa buktikan bahwa \frac 1x=\frac a{ax}
* Coba kita integralkan persamaan tadi.
\int \frac 1xdx=\int \frac a{ax}dx
 f(x) + C1=f(ax) +C2
Kemudian, jika kita cari konstantanya dengan menyulihkan x=1, didapat:
 f(1) +C1=f(a)+C2
C1-C2=f(a)
Kemudian. kita sulihkan C1 dan C2:
f(x)+C1-C2=f(ax)
f(x)+f(a)=f(ax)
Jika x kita ganti suatu bilangan b, didapat:
f(b)+f(a)=f(ab)

Offline Sky

  • Dosen
  • ****
  • Tulisan: 473
  • IQ: 36
  • Gender: Pria
Re: Asal mula e
« Jawab #14 pada: Juli 11, 2009, 04:51:41 AM »
Nah, kedua sifat tadi adalah identitas dasar fungsi logaritma.
Dari keduanya, bisa diturunkan sifat2 logaritma yang lain.
Seperti :
# Sifat 3: f(a)=-f(\frac 1a)
# Sifat 4: f(\frac ab)=f(a)-f(b)

Oya, penomoran sifat ini ga wajib.
Saya nomori begitu untuk memudahkan pembacaan dan notasi saja.

Nah, karena fungsi f(x) adalah fungsi logaritma, berarti fungsi ini memiliki basis tertentu, yang kemudian basis tersebut diberi nama bilangan e.

 

Related Topics

  Subyek / Dimulai oleh Jawaban Tulisan terakhir
9 Jawaban
7788 Dilihat
Tulisan terakhir Juni 01, 2010, 08:30:24 PM
oleh Farabi
1 Jawaban
6266 Dilihat
Tulisan terakhir Juli 23, 2010, 03:15:36 AM
oleh The Houw Liong
0 Jawaban
11301 Dilihat
Tulisan terakhir Januari 13, 2016, 09:34:33 PM
oleh The Houw Liong
3 Jawaban
25252 Dilihat
Tulisan terakhir Juli 12, 2017, 12:21:33 PM
oleh Pi-One
5 Jawaban
1971 Dilihat
Tulisan terakhir Maret 06, 2018, 12:05:10 AM
oleh Pi-One