Forum Sains Indonesia

Ilmu Alam => Matematika => Topik dimulai oleh: Nabih pada Juni 16, 2009, 03:08:14 AM

Judul: Asal mula e
Ditulis oleh: Nabih pada Juni 16, 2009, 03:08:14 AM
belajar kalkulus, kok banyak nager huruf, e

pertanyaan
1. dari mana tuh?
2, apa yang menyebabkan e begitu istimewa?
Judul: Re: Asal mula e
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada Juni 16, 2009, 11:07:30 AM
e itu kan basisnya logaritma natural...untuk ngitung luas kurva dibawah grafik y=x-1,
kalo' ga salah mas Kerajaan MTK bilang:
e=\lim_{n->\inft}(1+\frac{1}{n})^n
Judul: Re: Asal mula e
Ditulis oleh: Nabih pada Juni 16, 2009, 11:29:24 AM
Maksih buat Hoshikawa

IQ+1 buat Hoshikawa

asal mulanya dari mana yaa
Judul: Re: Asal mula e
Ditulis oleh: Sky pada Juni 16, 2009, 02:00:42 PM
e adalah bilangan yang sangat istimewa, bro.

Seperti yang hoshikawa bilang, awalnya matematikawan berusaha mencari luas daerah di bawah kurva y=1/x
Kemudian, didapatlah fungsi itu, (misalnya f(x)) yang merupakan integral dari fungsi y(x) tadi.
Tepatnya:
f(x)=\int_0^x \frac 1x dx

Setelah diteliti lebih lanjut, ternyata si f(x) ini adalah suatu fungsi logaritma.
Kan matematikawan jadi penasaran tuh? Jika f(x) adalah fungsi logaritma, maka pasti ada basisnya, dicarilah basisnya yang ternyata adalah suatu bilangan irrasional (sebut saja a) yang besarnya sekitar 2,178.

Karena matematikawan memang suka penasaran, sekarang mereka membuat fungsi invers dari f(x).
Sebut saja fungsi invers ini adalah g(x). g(x)=f^{-1}(x)
Karena f(x) adalah fungsi logaritma, maka fungsi inversnya adalah fungsi eksponen dengan basis a tadi.
Kalau kita tulis: g(x)=f^{-1}(x)=a^x

Tapi, matematikawan tersebut melihat suatu keunikan, yaitu fungsi eksponen tersebut (g(x)) ternyata jika diturunkan adalah fungsi itu sendiri.....
Kalau ditulis: \frac {d a^x}{dx}=a^x

Dan yang lebih mengejutkan lagi, ternyata banyak peristiwa di alam yang mengikuti persamaan differensial ini.
Contoh mudahnya: peluruhan radioaktif, laju peluruhannya (turunan dari peluruhan) sebanding dengan peluruhan itu sendiri.

Karena alasan keunikan, maka f(x) diberi nama "logaritma natural" (logaritma alamiah) yang diberi nama singkat f(x)=ln(x). Sedangkan basisnya, (a yang tadi) diberi nama basis natural, dan diberi simbol a=e.

Kenapa e? Kenapa tidak a, b, atau c, atau d?
Karena ini untuk menghormati matematikawan yang mengusulkan pengunikan itu, yaitu seorang matematikawan yang bernama Euler. sehingga e ini juga sering disebut bilangan Euler atau konstanta Euler.
Judul: Re: Asal mula e
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada Juni 16, 2009, 09:41:23 PM
I just realized that "Sky" was math educated. Excelent explanation.... thank you.
Judul: Re: Asal mula e
Ditulis oleh: Sky pada Juni 16, 2009, 09:48:11 PM
waduh....
thx bgt om Mataram...
Jd tersipu2 nih.....
Judul: Re: Asal mula e
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada Juni 17, 2009, 03:39:34 AM
@sky
Kutip
Dan yang lebih mengejutkan lagi, ternyata banyak peristiwa di alam yang mengikuti persamaan differensial ini.
Contoh mudahnya: peluruhan radioaktif, laju peluruhannya (turunan dari peluruhan) sebanding dengan peluruhan itu sendiri.
hoo...
y=f(y)
\frac{dy}{dy} = ln.... loh kok bukan 1 ???
begitu toh ceritanya, pantesan dulu pas praktikum peluruhan malah pake' air seperti ini pada tabung fluida bocor itu yang berlaku:
v=\sqrt{2gh}
padahal pada fluida tersebut
v=\frac{dh}{dt}
sehingga
dh = -\sqrt{2gh} dt
\int -dh =\int \sqrt{2gh} dt
 -h+C = \int \sqrt{2gh} dt
dengan C = ketinggian awal...
ada yang bisa nglanjut ga supaya ketauan berapa "t"-nya supaya h=C

hehe sori OOT :P
enw, masih ada yang bikin penasaran ni, darimana yah ketemu persamaan:
e = \lim_{n->\inft}(1+\frac 1n)^n
Judul: Re: Asal mula e
Ditulis oleh: Nabih pada Juni 17, 2009, 08:00:04 AM
@ Sky

+1 IQ ah, makasih lho
@Hoshikawa
-h+C = \int \sqrt{2gh} dt
h=C berarti \int \sqrt{2gh} dt = 0
\sqrt{2gh} = 0

masak h=0, maksa banget, hahahahaha
Judul: Re: Asal mula e
Ditulis oleh: Sky pada Juni 17, 2009, 10:21:12 AM
laju peluruhan sebanding dengan peluruhan itu maksudnya gini...
Misalkan peluruhan itu kita beri variabel N, jadinya:
\frac{dN}{dt}=kN (karena kesebandingan, supaya jadi persamaan maka dikalikan konstanta)
\frac{dN}{N}=kdt (variabel yang sama harus dikelompokkan, yaitu N)
\int \frac{dN}{N}=\int kdt (kedua ruas diintegralkan)
ln(N)=kt+C (penyataan ini ekuivalen dengan:)
N=e^{kt+C}
N=e^{kt}e^{C} (e^{C}=A untuk memudahkan penulisan)
N=Ae^{kt} (rumus peluruhan)

@Hoshikawa
v=\sqrt{2gh}
padahal pada fluida tersebut
v=\frac{dh}{dt}
sehingga
dh = -\sqrt{2gh} dt
Sampai sini sudah benar, tapi kalau mau diselesaikan, variabel yang sama harus dikelompokkan (h).

@nabih
Wow...tank-Q, mas nabih...
Judul: Re: Asal mula e
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada Juni 17, 2009, 01:08:41 PM
hoo...
kalo' gitu gimana kalo'
-dh=\sqrt{2gh}dt
\frac{-dh}{\sqrt{2gh}}= dt
\int \frac{-dh}{\sqrt{2gh}}= \int dt
-\frac{\sqrt{2}h}{\sqrt{gh}}+C = t
jadi mungkin supaya ketemu waktu pas h=C mungkin tinggal diganti aja yah?berarti itu bukan fungsi exponensial yah???
Judul: Re: Asal mula e
Ditulis oleh: nash pada Juni 17, 2009, 01:24:24 PM
mav kalo agak lo-la,
kan f(x) adalah integral tentu dari 1/x,
lalu knapa f(x) bisa dsbut sbg fungsi logaritma?

mohon pnjelasannya
Judul: Re: Asal mula e
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada Juli 10, 2009, 11:38:23 AM
om,
\int^{b}_a \frac{1}{x} dx
=\ln(x)
tapi kalo' misalnya a&b < 0 gimana?(walopun kalo' diliat dari luas daerahnya cuman tinggal dikasi tanda minus "-")
kan log untuk bilangan negatif ga' ada?
Judul: Re: Asal mula e
Ditulis oleh: Sky pada Juli 11, 2009, 04:30:16 AM
Waduh, sori... aku udah lama ga ol lama...
Kita coba jawab satu-satu ya...
jadi mungkin supaya ketemu waktu pas h=C mungkin tinggal diganti aja yah?berarti itu bukan fungsi exponensial yah???
Iya, kalo yang ini bukan fungsi eksponensial.

mav kalo agak lo-la,
kan f(x) adalah integral tentu dari 1/x,
lalu knapa f(x) bisa dsbut sbg fungsi logaritma?

mohon pnjelasannya
Sebelumnya mau saya ralat dulu, karena baru sadar.
tadinya saya definisikan : f(x)=\int^x_0 \frac 1xdx
Seharusnya yang benar itu : f(x)=\int^x_1 \frac 1xdx
Sorry but you are not allowed to view spoiler contents.

Matematikawan kemudian mencoba meneliti sifat fungsi ini.
Kita coba bahas secara bertahap.

# Sifat 1:f(1)=0
*  Kita tahu bahwa jika f(x)=\int^x_1 \frac 1xdx maka \int \frac 1xdx=f(x)+C
Ini adalah prinsip integral tentu dan tak tentu.

*  Kita gunakan kedua sifat tadi.
Kita hitung \int^x_1\frac 1xdx.
Karena \int \frac 1xdx=f(x)+C, maka \int^x_1 \frac 1xdx=\left[f(x)+C\right]^x_1
Selesaikan ruas kiri: f(x)=\left[f(x)+C\right]^x_1
Sorry but you are not allowed to view spoiler contents.

Selesaikan ruas kanan : f(x)=[f(x)+C]-[f(1)+C]
Maka didapat: f(1)=0
Sorry but you are not allowed to view spoiler contents.
Judul: Re: Asal mula e
Ditulis oleh: Sky pada Juli 11, 2009, 04:45:19 AM
# Sifat 2 : f(ab)=f(a)+f(b)
* Dengan sedikit kreativitas, kita bisa buktikan bahwa \frac 1x=\frac a{ax}
* Coba kita integralkan persamaan tadi.
\int \frac 1xdx=\int \frac a{ax}dx
 f(x) + C1=f(ax) +C2
Kemudian, jika kita cari konstantanya dengan menyulihkan x=1, didapat:
 f(1) +C1=f(a)+C2
C1-C2=f(a)
Kemudian. kita sulihkan C1 dan C2:
f(x)+C1-C2=f(ax)
f(x)+f(a)=f(ax)
Jika x kita ganti suatu bilangan b, didapat:
f(b)+f(a)=f(ab)
Judul: Re: Asal mula e
Ditulis oleh: Sky pada Juli 11, 2009, 04:51:41 AM
Nah, kedua sifat tadi adalah identitas dasar fungsi logaritma.
Dari keduanya, bisa diturunkan sifat2 logaritma yang lain.
Seperti :
# Sifat 3: f(a)=-f(\frac 1a)
# Sifat 4: f(\frac ab)=f(a)-f(b)

Oya, penomoran sifat ini ga wajib.
Saya nomori begitu untuk memudahkan pembacaan dan notasi saja.

Nah, karena fungsi f(x) adalah fungsi logaritma, berarti fungsi ini memiliki basis tertentu, yang kemudian basis tersebut diberi nama bilangan e.
Judul: Re: Asal mula e
Ditulis oleh: Sky pada Juli 11, 2009, 05:30:58 AM
om,
\int^{b}_a \frac{1}{x} dx
=\ln(x)
tapi kalo' misalnya a&b < 0 gimana?(walopun kalo' diliat dari luas daerahnya cuman tinggal dikasi tanda minus "-")
kan log untuk bilangan negatif ga' ada?
Untuk menjawab pertanyaan Hoshikawa kita harus meninjau dulu perilaku f(x) saat x<0.
Karena, saat membahas sifat2 tadi, kita hanya menggunakan x>0.
*  Kita hitung lagi dari awal: untuk x<0
f(x)=\int^x_1 \frac 1xdx

f(x)=\int^{-1}_1 \frac 1xdx+\int^x_{-1} \frac 1xdx
Sorry but you are not allowed to view spoiler contents.


f(x)=\int^x_{-1} \frac {(-1)}{(-x)}dx

f(x)=[f(-x)]^x_{-1}

f(x)=f(-x)+f(1)

f(x)=f(-x)

Nah, ternyata f(x)=f(-x).
Padahal, fungsi logaritma tidak terdefinisi di x<0, kan?
Sementara f(x) ini terdefinisi walaupun x<0.
Jadi kesimpulannya f(x) adalah fungsi logaritma, tapi bukan logaritma murni/bukan memiliki unsur logaritma saja.
Untuk menyatakan f(x) sebagai suatu fungsi dari logaritma, maka untuk selanjutnya didefinisikan:
f(x)=ln|x|

Nah, tadi kan definisi awalnya f(x)=ln(x) untuk x>0.
Sekarang, karena definisinya diperluas menjadi f(x)=ln|x| untuk x selain 0.
Maka definisi integral tak tentunya juga mesti diubah, menjadi:
\int \frac 1xdx=ln|x| + C untuk x selain 0.

Perlu diingat, bahwa fungsi logaritmanya saja hanya terdefinisi untuk x>0.
Tapi f(x) terdefinisi juga untuk x<0 karena dia merupakan fungsi modifikasi dari fungsi logaritma.
Judul: Re: Asal mula e
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada Juli 11, 2009, 07:00:23 AM
eh, integralnya ln(x) itu kan x*ln(x) - x
terus kalo' integralnya:
^x log(a) itu apa yah?
kok' gw coba di calc101 ama wolfram ga bisa?
integralnya xx juga ga ada...tapi turunannya ada.
Judul: Re: Asal mula e
Ditulis oleh: sith lord pada Juli 18, 2009, 07:11:22 PM
top markotop
Judul: Re: Asal mula e
Ditulis oleh: Zanra_GTG pada Agustus 18, 2009, 03:10:41 PM
klo ditanya darimana yach, dari sononya, tapi yg jelas e biasax digunakan pada logaritma natural(ln) e log x = n, maka e^n = x

jadi e log x = ln x
Judul: Re: Asal mula e
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada September 22, 2009, 03:14:18 PM
Pertama kali bilangan e muncul hampir dianggap tidak penting. Pada tahun 1618, dalam apendik karya Napier tentang logaritma, sebuah tabel nampak memberikan logaritma natural terhadap barbagai macam bilangan. Namun, lagoritma berbasis e waktu itu belum dikenal karena bilangan e itu sendiri belum muncul seperti yang dikenal sekarang. Meskipun sekarang kita memandang logaritma sebagai pangkat yang akan dicari jika suatu bilangan basis dipangkatkan bil tsb menghasilkan suatu bilangan yang telah diketahui, namun ini adalah pemikiran modern sekarang ini. Beberapa tahun kemudian pada 1624, lagi-lagi bilangan e hampir dibawa ke literatur matematika, tapi tidak cukup. Pada saat itu, Briggs memberikan pendekatan numerik terhadap logaritma berbasis 10 terhadap e, tapi tidak menyebut e itu sendiri dalam karyanya.

Kemungkinan munculnya bilangan e waktu itu menjadi rancu lagi.Pada tahun 1647 Saint Vincent menghitung luas suatu hiperbola tegaklurus (kedua asimtotnya saling tegak lurus). Yang menjadi perdebatan adalah apakah dia mengenal hubungan antara luas tersebut dengan logaritma atau tidak, dan bahkan jika dia mengenalnya maka itu hanya merupakan alasan kecil baginya untuk membawa pada bilangan e secara eksplisit. Pastinya, pada tahun 1661 Huygen mengerti hubungan antara hiperbola tegaklurus dengan logaritma tsb. Dia menelaah secara eksplisit hubungan antara luas dibawah hiperbola tegaklurus xy=1 dan logaritma tsb. Yaitu bahwa luas dibawah kurva xy=1 dari 1 s.d. e sama dengan 1. Hal ini yang merupakan bahan untuk membuat e sebagai basis logaritma narural, namun waktu itu masih belum dimengerti oleh para matematikawan, meskipun pelan-pelan mereka mengarah kepada pemahaman ini.

Huygens melanjutkan dengan dengan cara lain pada tahun 1661. Dia mendefinisikan sebuah kurva yang dia sebut dengan logaritmik tapi kita lebih mengenalnya sebagai kurva eksponensial, yang berbentuk y=ka^x. Lagi dari sini diperoleh nilai logaritma dari e berbasis 10, yang oleh Huygens dihitung sampai 17 belakang koma, hasil ini muncul sebagai penghitungan dari suatu konstanta dari hasil kerjanya dan tidak dikenal sebagai logaritma suatu bilangan (Lagi-lagi merupakan kedekatan pada e, namun masih belum dikenal).
........................................

Selanjutnya dapat dibaca di http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/HistoryTopics.html.
Judul: Re: Asal mula e
Ditulis oleh: Nabih pada November 12, 2009, 12:04:26 PM
^x log(a) itu apa yah?
integral^x log(a)dx
=integral ln(a)/ln(x)dx
=ln(a) integral1/ln(x)dx
hayo berapa????
Judul: Re: Asal mula e
Ditulis oleh: The Houw Liong pada November 12, 2009, 09:53:15 PM
Baca:

http://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)