Forum Sains Indonesia

belajar kalkulus, kok banyak nager huruf, e

pertanyaan
1. dari mana tuh?
2, apa yang menyebabkan e begitu istimewa?

e itu kan basisnya logaritma natural...untuk ngitung luas kurva dibawah grafik y=x^-1,
kalo' ga salah mas Kerajaan MTK bilang:

Maksih buat Hoshikawa

IQ+1 buat Hoshikawa

asal mulanya dari mana yaa

e adalah bilangan yang sangat istimewa, bro.

Seperti yang hoshikawa bilang, awalnya matematikawan berusaha mencari luas daerah di bawah kurva y=1/x
Kemudian, didapatlah fungsi itu, (misalnya f(x)) yang merupakan integral dari fungsi y(x) tadi.
Tepatnya:


Setelah diteliti lebih lanjut, ternyata si f(x) ini adalah suatu fungsi logaritma.
Kan matematikawan jadi penasaran tuh? Jika f(x) adalah fungsi logaritma, maka pasti ada basisnya, dicarilah basisnya yang ternyata adalah suatu bilangan irrasional (sebut saja a) yang besarnya sekitar 2,178.

Karena matematikawan memang suka penasaran, sekarang mereka membuat fungsi invers dari f(x).
Sebut saja fungsi invers ini adalah g(x).
Karena f(x) adalah fungsi logaritma, maka fungsi inversnya adalah fungsi eksponen dengan basis a tadi.
Kalau kita tulis:

Tapi, matematikawan tersebut melihat suatu keunikan, yaitu fungsi eksponen tersebut (g(x)) ternyata jika diturunkan adalah fungsi itu sendiri.....
Kalau ditulis:

Dan yang lebih mengejutkan lagi, ternyata banyak peristiwa di alam yang mengikuti persamaan differensial ini.
Contoh mudahnya: peluruhan radioaktif, laju peluruhannya (turunan dari peluruhan) sebanding dengan peluruhan itu sendiri.

Karena alasan keunikan, maka f(x) diberi nama "logaritma natural" (logaritma alamiah) yang diberi nama singkat . Sedangkan basisnya, (a yang tadi) diberi nama basis natural, dan diberi simbol .

Kenapa ? Kenapa tidak a, b, atau c, atau d?
Karena ini untuk menghormati matematikawan yang mengusulkan pengunikan itu, yaitu seorang matematikawan yang bernama Euler. sehingga ini juga sering disebut bilangan Euler atau konstanta Euler.

I just realized that "Sky" was math educated. Excelent explanation.... thank you.

waduh....
thx bgt om Mataram...
Jd tersipu2 nih.....

@sky

KutipDan yang lebih mengejutkan lagi, ternyata banyak peristiwa di alam yang mengikuti persamaan differensial ini.
Contoh mudahnya: peluruhan radioaktif, laju peluruhannya (turunan dari peluruhan) sebanding dengan peluruhan itu sendiri.

hoo...

loh kok bukan 1 ???
begitu toh ceritanya, pantesan dulu pas praktikum peluruhan malah pake' air seperti ini pada tabung fluida bocor itu yang berlaku:

padahal pada fluida tersebut

sehingga



dengan C = ketinggian awal...
ada yang bisa nglanjut ga supaya ketauan berapa "t"-nya supaya h=C

hehe sori OOT :P
enw, masih ada yang bikin penasaran ni, darimana yah ketemu persamaan:

@ Sky

+1 IQ ah, makasih lho
@Hoshikawa
-h+C = \int \sqrt{2gh} dt
h=C berarti \int \sqrt{2gh} dt = 0
\sqrt{2gh} = 0

masak h=0, maksa banget, hahahahaha

laju peluruhan sebanding dengan peluruhan itu maksudnya gini...
Misalkan peluruhan itu kita beri variabel N, jadinya:
(karena kesebandingan, supaya jadi persamaan maka dikalikan konstanta)
(variabel yang sama harus dikelompokkan, yaitu N)
(kedua ruas diintegralkan)
(penyataan ini ekuivalen dengan:)

( untuk memudahkan penulisan)
(rumus peluruhan)

@Hoshikawa

Kutip dari: HyawehHoshikawa pada Juni 16, 2009, 12:39:34 PM

padahal pada fluida tersebut

sehingga

Sampai sini sudah benar, tapi kalau mau diselesaikan, variabel yang sama harus dikelompokkan (h).

@nabih
Wow...tank-Q, mas nabih...

hoo...
kalo' gitu gimana kalo'




jadi mungkin supaya ketemu waktu pas h=C mungkin tinggal diganti aja yah?berarti itu bukan fungsi exponensial yah???

mav kalo agak lo-la,
kan f(x) adalah integral tentu dari 1/x,
lalu knapa f(x) bisa dsbut sbg fungsi logaritma?

mohon pnjelasannya

om,


tapi kalo' misalnya a&b < 0 gimana?(walopun kalo' diliat dari luas daerahnya cuman tinggal dikasi tanda minus "-")
kan log untuk bilangan negatif ga' ada?

Waduh, sori... aku udah lama ga ol lama...
Kita coba jawab satu-satu ya...

Kutip dari: HyawehHoshikawa pada Juni 16, 2009, 10:08:41 PM
jadi mungkin supaya ketemu waktu pas h=C mungkin tinggal diganti aja yah?berarti itu bukan fungsi exponensial yah???

Iya, kalo yang ini bukan fungsi eksponensial.

Kutip dari: nash pada Juni 16, 2009, 10:24:24 PM
mav kalo agak lo-la,
kan f(x) adalah integral tentu dari 1/x,
lalu knapa f(x) bisa dsbut sbg fungsi logaritma?

mohon pnjelasannya

Sebelumnya mau saya ralat dulu, karena baru sadar.
tadinya saya definisikan :
Seharusnya yang benar itu :

Matematikawan kemudian mencoba meneliti sifat fungsi ini.
Kita coba bahas secara bertahap.

# Sifat 1:
*  Kita tahu bahwa jika maka
Ini adalah prinsip integral tentu dan tak tentu.

*  Kita gunakan kedua sifat tadi.
Kita hitung .
Karena , maka
Selesaikan ruas kiri:

Selesaikan ruas kanan :
Maka didapat:

# Sifat 2 :
* Dengan sedikit kreativitas, kita bisa buktikan bahwa
* Coba kita integralkan persamaan tadi.


Kemudian, jika kita cari konstantanya dengan menyulihkan x=1, didapat:


Kemudian. kita sulihkan C1 dan C2:


Jika x kita ganti suatu bilangan b, didapat:

Nah, kedua sifat tadi adalah identitas dasar fungsi logaritma.
Dari keduanya, bisa diturunkan sifat2 logaritma yang lain.
Seperti :
# Sifat 3:
# Sifat 4:

Oya, penomoran sifat ini ga wajib.
Saya nomori begitu untuk memudahkan pembacaan dan notasi saja.

Nah, karena fungsi f(x) adalah fungsi logaritma, berarti fungsi ini memiliki basis tertentu, yang kemudian basis tersebut diberi nama bilangan e.

Kutip dari: HyawehHoshikawa pada Juli 09, 2009, 08:38:23 PM
om,


tapi kalo' misalnya a&b < 0 gimana?(walopun kalo' diliat dari luas daerahnya cuman tinggal dikasi tanda minus "-")
kan log untuk bilangan negatif ga' ada?

Untuk menjawab pertanyaan Hoshikawa kita harus meninjau dulu perilaku f(x) saat x<0.
Karena, saat membahas sifat2 tadi, kita hanya menggunakan x>0.
*  Kita hitung lagi dari awal: untuk x<0













Nah, ternyata .
Padahal, fungsi logaritma tidak terdefinisi di x<0, kan?
Sementara ini terdefinisi walaupun x<0.
Jadi kesimpulannya adalah fungsi logaritma, tapi bukan logaritma murni/bukan memiliki unsur logaritma saja.
Untuk menyatakan sebagai suatu fungsi dari logaritma, maka untuk selanjutnya didefinisikan:


Nah, tadi kan definisi awalnya untuk x>0.
Sekarang, karena definisinya diperluas menjadi untuk x selain 0.
Maka definisi integral tak tentunya juga mesti diubah, menjadi:
untuk x selain 0.

Perlu diingat, bahwa fungsi logaritmanya saja hanya terdefinisi untuk x>0.
Tapi f(x) terdefinisi juga untuk x<0 karena dia merupakan fungsi modifikasi dari fungsi logaritma.

eh, integralnya ln(x) itu kan x*ln(x) - x
terus kalo' integralnya:
itu apa yah?
kok' gw coba di calc101 ama wolfram ga bisa?
integralnya x^x juga ga ada...tapi turunannya ada.

top markotop

klo ditanya darimana yach, dari sononya, tapi yg jelas e biasax digunakan pada logaritma natural(ln) e log x = n, maka e^n = x

jadi e log x = ln x

Pertama kali bilangan e muncul hampir dianggap tidak penting. Pada tahun 1618, dalam apendik karya Napier tentang logaritma, sebuah tabel nampak memberikan logaritma natural terhadap barbagai macam bilangan. Namun, lagoritma berbasis e waktu itu belum dikenal karena bilangan e itu sendiri belum muncul seperti yang dikenal sekarang. Meskipun sekarang kita memandang logaritma sebagai pangkat yang akan dicari jika suatu bilangan basis dipangkatkan bil tsb menghasilkan suatu bilangan yang telah diketahui, namun ini adalah pemikiran modern sekarang ini. Beberapa tahun kemudian pada 1624, lagi-lagi bilangan e hampir dibawa ke literatur matematika, tapi tidak cukup. Pada saat itu, Briggs memberikan pendekatan numerik terhadap logaritma berbasis 10 terhadap e, tapi tidak menyebut e itu sendiri dalam karyanya.

Kemungkinan munculnya bilangan e waktu itu menjadi rancu lagi.Pada tahun 1647 Saint Vincent menghitung luas suatu hiperbola tegaklurus (kedua asimtotnya saling tegak lurus). Yang menjadi perdebatan adalah apakah dia mengenal hubungan antara luas tersebut dengan logaritma atau tidak, dan bahkan jika dia mengenalnya maka itu hanya merupakan alasan kecil baginya untuk membawa pada bilangan e secara eksplisit. Pastinya, pada tahun 1661 Huygen mengerti hubungan antara hiperbola tegaklurus dengan logaritma tsb. Dia menelaah secara eksplisit hubungan antara luas dibawah hiperbola tegaklurus xy=1 dan logaritma tsb. Yaitu bahwa luas dibawah kurva xy=1 dari 1 s.d. e sama dengan 1. Hal ini yang merupakan bahan untuk membuat e sebagai basis logaritma narural, namun waktu itu masih belum dimengerti oleh para matematikawan, meskipun pelan-pelan mereka mengarah kepada pemahaman ini.

Huygens melanjutkan dengan dengan cara lain pada tahun 1661. Dia mendefinisikan sebuah kurva yang dia sebut dengan logaritmik tapi kita lebih mengenalnya sebagai kurva eksponensial, yang berbentuk . Lagi dari sini diperoleh nilai logaritma dari e berbasis 10, yang oleh Huygens dihitung sampai 17 belakang koma, hasil ini muncul sebagai penghitungan dari suatu konstanta dari hasil kerjanya dan tidak dikenal sebagai logaritma suatu bilangan (Lagi-lagi merupakan kedekatan pada e, namun masih belum dikenal).
........................................

Selanjutnya dapat dibaca di [pranala luar disembunyikan, sila masuk atau daftar.].

Kutip dari: HyawehHoshikawa pada Juli 10, 2009, 04:00:23 PM
itu apa yah?

integral
=integral
=ln(a) integral
hayo berapa????

Baca:

[pranala luar disembunyikan, sila masuk atau daftar.])