Gunakan MimeTex/LaTex untuk menulis simbol dan persamaan matematika.

Welcome to Forum Sains Indonesia. Please login or sign up.

Oktober 05, 2022, 06:27:05 PM

Login with username, password and session length

Topik Baru

Artikel Sains

Anggota
Stats
  • Total Tulisan: 139,637
  • Total Topik: 10,394
  • Online today: 56
  • Online ever: 441
  • (Desember 17, 2011, 09:48:51 AM)
Pengguna Online
Users: 0
Guests: 18
Total: 18

Aku Cinta ForSa

ForSa on FB ForSa on Twitter

iseng-iseng:deret tak terhingga

Dimulai oleh Gen-I-uSy, September 01, 2009, 12:42:25 AM

« sebelumnya - berikutnya »

0 Anggota dan 1 Pengunjung sedang melihat topik ini.

oyi


Mtk Kerajaan Mataram

Mari kita telusur dengan rumus deret Maclaurian :

Deret maclaurian dari f(x) adalah :

f(x)=f(0)+f^{(1)}(0)x+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+...

Turunan f(x)=e^x \cos x ke - m kita dapatkan dengan (silahkan diteliti sendiri) :

f^{(m)}(x)=\begin{Bmatrix}(-1)^{n}2^{2n}e^x \cos x,jika :m=4n\\(-1)^n2^{2n}e^x[\cos x-\sin x],jika :m=4n+1 \\(-1)^{n+1}2^{2n+1}e^x \sin x,jika :m=4n+2 \\ (-1)^{n+1}2^{2n+1}e^x[\cos x+\sin x],jika :m=4n+3 \end{matrix}

dengan n=0,1,2,3,4,5,...
Jadi untuk x=0, maka

f^{(m)}(0)=\begin{Bmatrix}(-1)^{n}2^{2n},jika :m=4n\\(-1)^n2^{2n},jika :m=4n+1 \\0,jika :m=4n+2 \\ (-1)^{n+1}2^{2n+1},jika :m=4n+3 \end{matrix}

Maka kita dapatkan :

f(x)=e^x \cos x=\begin{Bmatrix} 1-\frac{2^2}{4!}x^4+\frac{2^4}{8!}x^8-\frac{2^6}{12!}x^{12}+\cdots \rightarrow jika:m:kelipatan 4 \\ +x-\frac{2^4}{5!}x^5+\frac{2^6}{9!}x^9-\frac{2^8}{13!}x^{13}+\cdots \rightarrow jika:m=4n+1 \\- \frac{2}{3!}x^3+\frac{2^3}{7!}x^7-\frac{2^5}{11!}x^{11}+\frac{2^7}{15!}x^{15}-\cdots \rightarrow jika:m=4n+3\end{matrix}

Nabih

Wah, kira-kira bisa ga kalau tidk dengan cara deret mac laurin

Mtk Kerajaan Mataram

Tidak harus seperti itu, bisa juga dengan deret maclaurin yang telah diketahui :
\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\frac{x^10}{10!}+\frac{x^12}{12!} - \cdots untuk -\infty<x<\infty

e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^7}{7!} + \cdots untuk -\infty<x<\infty

e^x \cos x=\{1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^7}{7!} + \cdots \}\{1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\frac{x^10}{10!}+\frac{x^{12}}{12!} - \cdots \} untuk -\infty<x<\infty
e^x \cos x= \cdots

oyi

@mataram, mau nanya, menentukan nilai eksak untuk deret tak hingga divergen gimana, tolong di jawab ya, terimakasih sebelumnya

Mtk Kerajaan Mataram

@oyi
Lho..gimana, namanya saja divergen berarti untuk banyak suku tak hingga, jumlahnya juga tak hingga. Nilai eksaknya yaa tak hingga itu. Jika kita menemukan suatu nilai berhingga dari deret tsb, berarti deret bukan lagi divergen.

Nabih

@mataram, yang dikaji dari deret divergen apa saja?

oyi

o, berarti yang konvergen aja yang punya nilai eksak.
aproksimasi juga tidak ada ya bung?
sebenarnya ane lagi belajar deret asimptot en ada nilai eksak misal diambil suku ke 3, suku selanjutnya itu di ambil aproksimasi nilainya sebagai tingkat error, nanya lage deh, deret asymptotic series itu konvergen, divergen, atau bisa konvergen atau divergen? 

Mtk Kerajaan Mataram

@Nabih
Kita ingat kembali pengertian barisan(sequence) dan deret(series) sbb:
Barisan merupakan fungsi (biasa dilambangkan dengan an) dengan daerah asal bilangan asli/cacah ke bilangan real atau kompleks \{n \epsilon N \rightarrow a_n \epsilon R/C \}, yang lalu juga digambarkan sbb:

a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots

Jika ada nilai L (real atau kompleks) sehingga \lim_{n\to \infty} a_n=L, maka barisan konvergen, jika tidak maka barisan konvergen.
Dengan kata lain barisan divergen adalah barisan yang tidak konvergen.

Sedangkan deret(series) adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan, yaitu

\sum_{i=1}^{\infty}a_i=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots

Diberikan suatu barisan {an}, maka Sn adalah jumlah n suku pertama.
S1=a1,
S2=a1+a2,
........
Sn=a1+a2+...+an

Deret \sum_{i=1}^{\infty}a_i konvergen jika barisan S_1,S_2,S_3,\cdots,S_n,\cdots konvergen.

Ada beberapa test (uji) yang digunakan untuk membedakan deret konvergen dan divergen seperti uji banding, uji rasio, uji integral, dll.
Jika suatu deret konvergen, maka barisannya akan konvergen ke-0, namun sebaliknya jika suatu barisan konvergen ke-0 maka deretnya belum tentu konvergen.

Kutip dari: Nabih pada November 17, 2009, 09:20:07 AM
@mataram, yang dikaji dari deret divergen apa saja?
Deret divergen muncul secara alamiah karena kita menelusur deret2 konvergen sedangkan yang tak terseleksi merupakan deret divergen.

Kutip dari: oyi pada November 17, 2009, 03:07:31 PM
deret asymptotic series itu konvergen, divergen, atau bisa konvergen atau divergen? 
Deret asimtotik (asymptotic series) biasa dikenal juga dengan asymptotic expansion atau Poincare Expansion
Istilah "asymptotic series" biasanya berarti deret tidak-konvergen. Meskipun tidak konvergen, deret asymptotik menjadi berguna jika dipotong (hanya diambil) sejumlah suku berhingga.
Deret asmtotik sering kita dapati manakala kita membawa suatu deret formal keluar dari selang kekonvergennya. Lebih jauh persoalan yang dibawa oleh @oyi adalah lanjutan dari materi deret.

oyi

#39
two tumbs up 4 mataram, ;D
ya, maaf krn saya menumpang di threadnya usy ;D