Gunakan MimeTex/LaTex untuk menulis simbol dan persamaan matematika.

Welcome to Forum Sains Indonesia. Please login or sign up.

Oktober 05, 2022, 07:42:41 PM

Login with username, password and session length

Topik Baru

Artikel Sains

Anggota
Stats
  • Total Tulisan: 139,637
  • Total Topik: 10,394
  • Online today: 56
  • Online ever: 441
  • (Desember 17, 2011, 09:48:51 AM)
Pengguna Online
Users: 0
Guests: 20
Total: 20

Aku Cinta ForSa

ForSa on FB ForSa on Twitter

Asal mula e

Dimulai oleh Nabih, Juni 15, 2009, 12:08:14 PM

« sebelumnya - berikutnya »

0 Anggota dan 1 Pengunjung sedang melihat topik ini.

Nabih

belajar kalkulus, kok banyak nager huruf, e

pertanyaan
1. dari mana tuh?
2, apa yang menyebabkan e begitu istimewa?

HyawehHoshikawa

e itu kan basisnya logaritma natural...untuk ngitung luas kurva dibawah grafik y=x-1,
kalo' ga salah mas Kerajaan MTK bilang:
e=\lim_{n->\inft}(1+\frac{1}{n})^n
Rationality alone isn't enough, the world is Complex.

Nabih

Maksih buat Hoshikawa

IQ+1 buat Hoshikawa

asal mulanya dari mana yaa

Sky

e adalah bilangan yang sangat istimewa, bro.

Seperti yang hoshikawa bilang, awalnya matematikawan berusaha mencari luas daerah di bawah kurva y=1/x
Kemudian, didapatlah fungsi itu, (misalnya f(x)) yang merupakan integral dari fungsi y(x) tadi.
Tepatnya:
f(x)=\int_0^x \frac 1x dx

Setelah diteliti lebih lanjut, ternyata si f(x) ini adalah suatu fungsi logaritma.
Kan matematikawan jadi penasaran tuh? Jika f(x) adalah fungsi logaritma, maka pasti ada basisnya, dicarilah basisnya yang ternyata adalah suatu bilangan irrasional (sebut saja a) yang besarnya sekitar 2,178.

Karena matematikawan memang suka penasaran, sekarang mereka membuat fungsi invers dari f(x).
Sebut saja fungsi invers ini adalah g(x). g(x)=f^{-1}(x)
Karena f(x) adalah fungsi logaritma, maka fungsi inversnya adalah fungsi eksponen dengan basis a tadi.
Kalau kita tulis: g(x)=f^{-1}(x)=a^x

Tapi, matematikawan tersebut melihat suatu keunikan, yaitu fungsi eksponen tersebut (g(x)) ternyata jika diturunkan adalah fungsi itu sendiri.....
Kalau ditulis: \frac {d a^x}{dx}=a^x

Dan yang lebih mengejutkan lagi, ternyata banyak peristiwa di alam yang mengikuti persamaan differensial ini.
Contoh mudahnya: peluruhan radioaktif, laju peluruhannya (turunan dari peluruhan) sebanding dengan peluruhan itu sendiri.

Karena alasan keunikan, maka f(x) diberi nama "logaritma natural" (logaritma alamiah) yang diberi nama singkat f(x)=ln(x). Sedangkan basisnya, (a yang tadi) diberi nama basis natural, dan diberi simbol a=e.

Kenapa e? Kenapa tidak a, b, atau c, atau d?
Karena ini untuk menghormati matematikawan yang mengusulkan pengunikan itu, yaitu seorang matematikawan yang bernama Euler. sehingga e ini juga sering disebut bilangan Euler atau konstanta Euler.

Mtk Kerajaan Mataram

I just realized that "Sky" was math educated. Excelent explanation.... thank you.


HyawehHoshikawa

@sky
KutipDan yang lebih mengejutkan lagi, ternyata banyak peristiwa di alam yang mengikuti persamaan differensial ini.
Contoh mudahnya: peluruhan radioaktif, laju peluruhannya (turunan dari peluruhan) sebanding dengan peluruhan itu sendiri.
hoo...
y=f(y)
\frac{dy}{dy} = ln.... loh kok bukan 1 ???
begitu toh ceritanya, pantesan dulu pas praktikum peluruhan malah pake' air seperti ini pada tabung fluida bocor itu yang berlaku:
v=\sqrt{2gh}
padahal pada fluida tersebut
v=\frac{dh}{dt}
sehingga
dh = -\sqrt{2gh} dt
\int -dh =\int \sqrt{2gh} dt
 -h+C = \int \sqrt{2gh} dt
dengan C = ketinggian awal...
ada yang bisa nglanjut ga supaya ketauan berapa "t"-nya supaya h=C

hehe sori OOT :P
enw, masih ada yang bikin penasaran ni, darimana yah ketemu persamaan:
e = \lim_{n->\inft}(1+\frac 1n)^n
Rationality alone isn't enough, the world is Complex.

Nabih

@ Sky

+1 IQ ah, makasih lho
@Hoshikawa
-h+C = \int \sqrt{2gh} dt
h=C berarti \int \sqrt{2gh} dt = 0
\sqrt{2gh} = 0

masak h=0, maksa banget, hahahahaha

Sky

laju peluruhan sebanding dengan peluruhan itu maksudnya gini...
Misalkan peluruhan itu kita beri variabel N, jadinya:
\frac{dN}{dt}=kN (karena kesebandingan, supaya jadi persamaan maka dikalikan konstanta)
\frac{dN}{N}=kdt (variabel yang sama harus dikelompokkan, yaitu N)
\int \frac{dN}{N}=\int kdt (kedua ruas diintegralkan)
ln(N)=kt+C (penyataan ini ekuivalen dengan:)
N=e^{kt+C}
N=e^{kt}e^{C} (e^{C}=A untuk memudahkan penulisan)
N=Ae^{kt} (rumus peluruhan)

@Hoshikawa
Kutip dari: HyawehHoshikawa pada Juni 16, 2009, 12:39:34 PM
v=\sqrt{2gh}
padahal pada fluida tersebut
v=\frac{dh}{dt}
sehingga
dh = -\sqrt{2gh} dt
Sampai sini sudah benar, tapi kalau mau diselesaikan, variabel yang sama harus dikelompokkan (h).

@nabih
Wow...tank-Q, mas nabih...

HyawehHoshikawa

hoo...
kalo' gitu gimana kalo'
-dh=\sqrt{2gh}dt
\frac{-dh}{\sqrt{2gh}}= dt
\int \frac{-dh}{\sqrt{2gh}}= \int dt
-\frac{\sqrt{2}h}{\sqrt{gh}}+C = t
jadi mungkin supaya ketemu waktu pas h=C mungkin tinggal diganti aja yah?berarti itu bukan fungsi exponensial yah???
Rationality alone isn't enough, the world is Complex.

nash

mav kalo agak lo-la,
kan f(x) adalah integral tentu dari 1/x,
lalu knapa f(x) bisa dsbut sbg fungsi logaritma?

mohon pnjelasannya
"Perhaps it is good to have a beautiful mind, but an even greater gift is to discover a beautiful heart"

(John Nash, "A Beautiful Mind")

HyawehHoshikawa

om,
\int^{b}_a \frac{1}{x} dx
=\ln(x)
tapi kalo' misalnya a&b < 0 gimana?(walopun kalo' diliat dari luas daerahnya cuman tinggal dikasi tanda minus "-")
kan log untuk bilangan negatif ga' ada?
Rationality alone isn't enough, the world is Complex.

Sky

Waduh, sori... aku udah lama ga ol lama...
Kita coba jawab satu-satu ya...
Kutip dari: HyawehHoshikawa pada Juni 16, 2009, 10:08:41 PM
jadi mungkin supaya ketemu waktu pas h=C mungkin tinggal diganti aja yah?berarti itu bukan fungsi exponensial yah???
Iya, kalo yang ini bukan fungsi eksponensial.

Kutip dari: nash pada Juni 16, 2009, 10:24:24 PM
mav kalo agak lo-la,
kan f(x) adalah integral tentu dari 1/x,
lalu knapa f(x) bisa dsbut sbg fungsi logaritma?

mohon pnjelasannya
Sebelumnya mau saya ralat dulu, karena baru sadar.
tadinya saya definisikan : f(x)=\int^x_0 \frac 1xdx
Seharusnya yang benar itu : f(x)=\int^x_1 \frac 1xdx
Sorry but you are not allowed to view spoiler contents.

Matematikawan kemudian mencoba meneliti sifat fungsi ini.
Kita coba bahas secara bertahap.

# Sifat 1:f(1)=0
*  Kita tahu bahwa jika f(x)=\int^x_1 \frac 1xdx maka \int \frac 1xdx=f(x)+C
Ini adalah prinsip integral tentu dan tak tentu.

*  Kita gunakan kedua sifat tadi.
Kita hitung \int^x_1\frac 1xdx.
Karena \int \frac 1xdx=f(x)+C, maka \int^x_1 \frac 1xdx=\left[f(x)+C\right]^x_1
Selesaikan ruas kiri: f(x)=\left[f(x)+C\right]^x_1
Sorry but you are not allowed to view spoiler contents.

Selesaikan ruas kanan : f(x)=[f(x)+C]-[f(1)+C]
Maka didapat: f(1)=0
Sorry but you are not allowed to view spoiler contents.

Sky

# Sifat 2 : f(ab)=f(a)+f(b)
* Dengan sedikit kreativitas, kita bisa buktikan bahwa \frac 1x=\frac a{ax}
* Coba kita integralkan persamaan tadi.
\int \frac 1xdx=\int \frac a{ax}dx
 f(x) + C1=f(ax) +C2
Kemudian, jika kita cari konstantanya dengan menyulihkan x=1, didapat:
 f(1) +C1=f(a)+C2
C1-C2=f(a)
Kemudian. kita sulihkan C1 dan C2:
f(x)+C1-C2=f(ax)
f(x)+f(a)=f(ax)
Jika x kita ganti suatu bilangan b, didapat:
f(b)+f(a)=f(ab)

Sky

Nah, kedua sifat tadi adalah identitas dasar fungsi logaritma.
Dari keduanya, bisa diturunkan sifat2 logaritma yang lain.
Seperti :
# Sifat 3: f(a)=-f(\frac 1a)
# Sifat 4: f(\frac ab)=f(a)-f(b)

Oya, penomoran sifat ini ga wajib.
Saya nomori begitu untuk memudahkan pembacaan dan notasi saja.

Nah, karena fungsi f(x) adalah fungsi logaritma, berarti fungsi ini memiliki basis tertentu, yang kemudian basis tersebut diberi nama bilangan e.