Salam,
Pernah ada posting tentang "Setiap bilangan bulat positif adalah jumlahan 4 kuadrat". Karena kebetulan pernah baca2 dan baru sekarang membaca topik itu diluncurkan, maka walau terlambat, saya kira tidak bermasalah dilontarkan.
Yang dimaksud sebenarnya adalah setiap bilangan bulat positif adalah jumlahan 4 kuadrat dari bilangan2 real. Jadi misalnya,
1 = (1/3)²+(1/3)²+(2/3)²+(sqrt(2)/3)²
Untuk membuktikan secara general biasanya menggunakan identitas Euler.
Kita mulai dari awal, misalnya 1, i, j, dan k adalah vektor2 basis dalam ruang dimensi 4, perkalian didefinisian sbb :

i²=j²=k²=-1
ij=-ji=k
jk=-kj=i
ki=-ik=j

Kemudian definisikan himpunan H (mengambil singkatan Hamilton orang yang pertama menyelidiki) yang anggota-anggotanya kombinasi linear a+bi+cj+dk dengan a,b,c, dan d bilangan real. Maka menurut definisi perkalian di atas diperoleh

(a+bi+cj+dk)(e+fi+gj+hk)=(ae-bf-cg-dh)+(af+be+ch-dg)i+(ag-bh+ce+df)j+(ah+bg-cf+de)k

Kemudian, jika kita perkalikan a+bi+cj+dk dengan konjugatnnya, yaitu a-bi-cj-dk, maka diperoleh :
(a+bi+cj+dk)(a-bi-cj-dk)=(a²+b²+c²+d²) + (-ab+ba-cd+dc)i+(-ac+ca-bd+db)j+(-ad+da-bc+cb)k = a²+b²+c²+d²

Sehingga,
(a+bi+cj+dk)[(a-bi-cj-dk)/(a²+b²+c²+d²)]=1

Atas perkalian ini, himpunan H membentuk sebuah group yang dikenal group quaternion, dimana invers dari (a+bi+cj+dk) adalah [(a-bi-cj-dk)/(a²+b²+c²+d²)].

Sekarang kita perhatikan bentuk kuadrat a²+b²+c²+d²), misalnya kita punya bentuk kuadrat lain yaitu e²+f²+g²+h²), maka

[a²+b²+c²+d²)][e²+f²+g²+h²)]
=(a+bi+cj+dk)(a-bi-cj-dk)(e+fi+gj+hk)(e-fi-gj-hk)
=(a+bi+cj+dk)[(ae+bf+cg+dg)+(af-eb-ch+dg)i+(ag-ce+bh-df)j+(ah-de-bg+cf)k](e-fi-gj-hk)
=....
=(ae+bf+cg+dh)²+(af-eb+ch-gd)²+(ag-ce+df-bh)²+(af-de+bg-cf)²

Ini dikenal dengan Identitas Euler. Ide pembuktian adalah sbb, setiap bilangan bulat positif merupakan perkalian bilangan2 prima,
misalnya N=(p₁)^m1(p₂)^m2.....(p_k)^m1, kalao kita membuktikan jika bilangan prima dapat dinyatan sebagai jumlahan 4 kuadrat maka dengan identitas Euler akan memenuhi buktinya.
Kita ambil contohnya dengan ide bilangan 1 di atas, yaitu misalnya
Bilangan prima p = (sqrt(p)/3)²+(sqrt(p)/3)²+(2sqrt(p)/3)²+(sqrt(2p)/3)², maka kita dapat menurunkan untuk bilangan-bilangan komposit.

Mohon maaf, bila ada kekurangan.
Salam

Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada Mei 18, 2008, 07:32:48 AM
Salam,
Pernah ada posting tentang "Setiap bilangan bulat positif adalah jumlahan 4 kuadrat". Karena kebetulan pernah baca2 dan baru sekarang membaca topik itu diluncurkan, maka walau terlambat, saya kira tidak bermasalah dilontarkan.

Ini maksudnya topik quadratic forms ya asyik dilanjutin hehe

Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada Mei 18, 2008, 07:32:48 AM
1 = (1/3)²+(1/3)²+(2/3)²+(sqrt(2)/3)²

Kalo misalnya begini, baru bener :



atau lebih mudah : 1 = 1^2

Hmm... rasanya ada yang salah dengan pernyataan ini :

Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada Mei 18, 2008, 07:32:48 AM
Ini dikenal dengan Identitas Euler. Ide pembuktian adalah sbb, setiap bilangan bulat positif merupakan perkalian bilangan2 prima,
misalnya N=(p₁)^m1(p₂)^m2.....(p_k)^m1, kalao kita membuktikan jika bilangan prima dapat dinyatan sebagai jumlahan 4 kuadrat maka dengan identitas Euler akan memenuhi buktinya.
Kita ambil contohnya dengan ide bilangan 1 di atas, yaitu misalnya
Bilangan prima p = (sqrt(p)/3)²+(sqrt(p)/3)²+(2sqrt(p)/3)²+(sqrt(2p)/3)², maka kita dapat menurunkan untuk bilangan-bilangan komposit.

Identitas four-square Euler : hasil perkalian dari dua bilangan, masing-masing merupakan jumlah dari empat bilangan pangkat, dapat dinyatakan dalam jumlah dari empat bilangan pangkat. Dapat dituliskan :




Ini tentunya juga sesuai teorinya Lagrange bahwa setiap bilangan bulat positif dapat dinyatakan sebagai jumlah dari empat buah bilangan pangkat.

Salam
Terima kasih atas koreksinya. Saya sendiri belum tahu apakah dari Lagrange atau lain, kalau benar memang layak karena Lagrange hidup pada jamannya Begawan Matematika Sang Euler, hanya lebih muda saja. Senang ternyata Mas Reborn juga suka Matematika.