Fungsi kontinu pada ruang metrik

canis89 · Oktober 25, 2011, 11:59:53 AM

Hi semua. Bagi yang sudah mempelajari ruang metrik dan topologi, saya ingin menanyakan suatu soal. Soal ini sebetulnya dari pertanyaan teman saya. Saya coba bantu, tapi saya tidak bisa2 juga, jadi kepikiran terus. Mungkin ada teman-teman yang bisa bantu di sini?

Baik soalnya seperti berikut.

Misal kita punya suatu fungsi $f:X\rightarrow Y$ , di mana X dan Y adalah ruang metrik dengan topologinya masing-masing dinotasikan sebagai $\tau_X$ dan $\tau_Y$ . Buktikan bahwa:

a) Jika $X=\bigcup_{i\in\Delta}U_i$ , di mana $\Delta$ tidak terhitung dan $U_i\in\tau_X$ (buka) untuk setiap i serta f kontinu pada $U_i$ untuk setiap i, maka f kontinu pada X.

Petunjuk yang bisa digunakan adalah:

$f:X\rightarrow Y$ kontinu X jhj untuk setiap himpunan buka $O\in\tau_Y$ , maka $f^{-1}(O)\in\tau_X$ (prapetanya juga buka).

Nah, strategi saya sejauh ini seperti berikut:

Ambil suatu himpunan buka $O$ di $f(X)=f(\bigcup_{i\in\Delta}U_i)=\bigcup_{i\in\Delta}f(U_i)$ (range dari f). Untuk membuktikan soalnya, kita harus bisa menunjukkan bahwa prapetanya juga buka. Nah, jika himpunan O ini bisa didekomposisi menjadi himpunan2 buka sebagai berikut:

$O=\bigcup_{i\in\Delta'}O_i,\quad\Delta'\subseteq\Delta$ , di mana $O_i\subseteq U_i$ , untuk masing-masing i,

maka bukti dapat mudah diselesaikan dengan memakai fakta bahwa f kontinu di setiap Ui. Nah, pertanyaan saya adalah apakah setiap himpunan buka O bisa didekomposisi dengan cara demikian?

Kemudian supaya jelas, apakah pernyataan f kontinu di setiap Ui ekuivalen dengan pernyataan

Jika $O\subseteq f(U_i)$ untuk suatu i, maka $f^{-1}(O)$ buka..

canis89 · Oktober 25, 2011, 01:22:08 PM

Kutip dari: canis89 pada Oktober 25, 2011, 11:59:53 AM

$O=\bigcup_{i\in\Delta'}O_i,\quad\Delta'\subseteq\Delta$ , di mana $O_i\subseteq U_i$ , untuk masing-masing i,

Harusnya

$O=\bigcup_{i\in\Delta'}O_i,\quad\Delta'\subseteq\Delta$ , di mana $O_i\subseteq f(U_i)$ , untuk masing-masing i,

User

Cari

Check This Out

Topik Baru

Artikel Sains

Stats

Anggota

Stats

Pengguna Online

Aku Cinta ForSa

Fungsi kontinu pada ruang metrik

canis89

canis89