Member baru? Bingung? Perlu bantuan? Silakan baca panduan singkat untuk ikut berdiskusi.

Welcome to Forum Sains Indonesia. Please login or sign up.

Oktober 05, 2022, 06:40:47 PM

Login with username, password and session length

Topik Baru

Artikel Sains

Anggota
Stats
  • Total Tulisan: 139,637
  • Total Topik: 10,394
  • Online today: 56
  • Online ever: 441
  • (Desember 17, 2011, 09:48:51 AM)
Pengguna Online
Users: 0
Guests: 19
Total: 19

Aku Cinta ForSa

ForSa on FB ForSa on Twitter

Bagian dari tripel pythagoras

Dimulai oleh msihabudin, Februari 27, 2011, 09:25:15 PM

« sebelumnya - berikutnya »

0 Anggota dan 1 Pengunjung sedang melihat topik ini.

msihabudin

Jumlah pecahan dengan pembilang 1 dan penyebut bilangan ganjil berurutan adalah bagian dari tripel Pythagoras

(1/a) + (1/b) = (x/y)

dan ternyata x dan y adalah bagian dari tripel Pythagoras. Misalnya kita ambil bilangan ganjil yang berurutan adalah 3 dan 5. Kemudian kita buat bentuk yang dimaksudkan.
(1/3) + (1/5) = (8/15). Dan ternyata 8 dan 15 adalah bagian dari tripel Pythagoras yaitu 8, 15 dan 17.

(1/1) + (1/3) = (4/3) merupakan bagian dari tripel Pythagoras yaitu (4, 3 dan 5)
(1/3) + (1/5) = (8/15) merupakan bagian dari tripel Pythagoras yaitu (8, 15 dan 17)
(1/5) + (1/7) = (12/35) merupakan bagian dari tripel Pythagoras yaitu (12, 35 dan 37)
(1/7) + (1/9) = (16/63) merupakan bagian dari tripel Pythagoras yaitu (16, 63 dan 65)

Mengapa?

Dua bilangan ganjil berurutan bisa kita tuliskan dalam bentuk m – 1 dan m + 1. Bentuk di atas bisa kita rubah menjadi bentuk umumnya yaitu

(1/(m – 1)) + (1/(m + 1)) = ?

Dengan menggunakan penjumlahan pecahan biasa diperoleh 2m / (m2 – 1). Dimana 2m dan (m2 – 1) adalah bagian dari tripel Pythagoras. Berawal dari rumus umum tripel Pythagoras yaitu (m2 – n2), 2mn, (m2 + n2) dengan n = 1. Diperoleh (m2 – 1), 2m, (m2 + 1). Dan ini merupakan hasil dari perhitungan tadi.
Sehingga terbentuklah tripel pythagoras.

Tidak semua tripel Pythagoras yang bisa terbentuk dengan cara ini. karena pada rumus umumnya, nilai n yang dipakai adalah 1. Sehingga tidak semua tripel Pythagoras yang dihasilkan.

Jika sudah diketahui angka-angka pada hasil tersebut. dan diketahui pembilangnya dan penyebutnya sebagai bagian dari tripel Pythagoras yang akan dicari. Maka, angka yang lain pada tripel Pythagoras tersebut adalah penyebut dari hasilnya tadi ditambahkan 2. Misalnya pada contoh (1/1) + (1/3) = (4/3) merupakan bagian dari tripel Pythagoras yaitu (4, 3 dan 5). Di sini angka 5 berasal dari penyebut dari hasil, yaitu 3 ditambahkan 2 sama dengan 5. Ini berlaku untuk yang lain.

Cara seperti ini bisa digunakan untuk mencari pythagoras dengan nilai yang sangat besar.
misalnya saja (1/99)  + (1/101) = 200 / 9999. Ini menghasilkan tripel Pythagoras yaitu (200, 9999, 10001).
Misalnya kita masukkan nilai yang sangat besar sebagai penyebut pecahan yang kita jumlahkan. misalnya

(1/1011) + (1/1013) = (2024/1024143)

Dari hasil tersebut didapatkan tripel Pythagoras dengan nilai yang cukup besar. yaitu (2024, 1024143 dan 1024145).






utusan langit


sukmasuk2006

life free, free your life

Mtk Kerajaan Mataram

wonderful!
Coba dibentuk umumnya :
\frac{1}{m-1}+\frac{1}{m+1}=\frac{2m}{m^2-1} ;

Lalu 2m , dan m^2-1 merupakan bagian dari tripel phytagoras \{2m,m^2-1,m^2+1\}.

Bentuk umumnya dapat kita buat :
\frac{1}{m-n}+\frac{1}{m+n}=\frac{2m}{m^2-n^2} ;

Lalu 2m , dan m^2-n^2 merupakan bagian dari tripel phytagoras \{2m,m^2-n^2,m^2+n^2\}.

Sekarang kita balik, misalnya a,b,c bilangan bulat positif dengan a<b<c, dan ketiganya merupakan triple phytagoras. Rumuskan m dan n dalam a dan b...!

Mtk Kerajaan Mataram

Revisi :
Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada Maret 06, 2011, 07:52:50 PM

Bentuk umumnya dapat kita buat :
\frac{1}{m-n}+\frac{1}{m+n}=\frac{2m}{m^2-n^2} ;
Lalu 2m , dan m^2-n^2 merupakan bagian dari tripel phytagoras \{2m,m^2-n^2,m^2+n^2\}.

Seharusnya :
\frac{n}{m-n}+\frac{n}{m+n}=\frac{2mn}{m^2-n^2} ;
Lalu 2mn , dan m^2-n^2 merupakan bagian dari tripel phytagoras \{2mn,m^2-n^2,m^2+n^2\}.

Kita lihat bahwa jika \{2m,m^2-1\} merupakan bagian dari triple phytagoras maka \{2mn,m^2-n^2\} juga merupakan bagian dari suatu triple phytagoras, dengan n<m, keduanya bilangan bulat positif.

contoh1 :
m=3 , maka \{2\cdot3,3^2-1\}=\{6,8\} bagian dari suatu triple phytagoras.
Untuk :
n=2 , maka \{2\cdot3 \cdot2,3^2-2^2\}=\{12,5\} bagian dari suatu triple phytagoras.
contoh2 :
m=4 , maka \{2\cdot4,4^2-1\}=\{8,15\} bagian dari suatu triple phytagoras.
Untuk :
n=3 , maka \{2\cdot4 \cdot3,4^2-3^2\}=\{24,7\} bagian dari suatu triple phytagoras.
n=2 , maka \{2\cdot4 \cdot2,4^2-2^2\}=\{16,12\} bagian dari suatu triple phytagoras.
dst...

Monggo yang sudah ketemu rumusnya....

msihabudin

Mantap tu kerajaan mataram... memang seperti itu bentuk umumnya

Mtk Kerajaan Mataram

#6
Mari dipelajari lagi, semoga banyak yang bisa diambil manfatnya,
Jika n bilangan bulat positif, maka :
\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+2}=\frac{4n+2}{4(n^2+n)}=\frac{2n+1}{2n^2+2n},

untuk n=1,2,3,... maka 2n+1, 2n^2+2n, dan 2n^2+2n+1 membentuk tripel phytagoras, lalu kita sebut sebagai bentuk pertama.

Begitu juga,
\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}=\frac{4n+4}{4n^2+8n+3},

untuk n=1,2,3,... maka 4n+4, 4n^2+8n+3, dan 4n^2+8n+5 membentuk tripel phytagoras, lalu kita sebut sebagai bentuk kedua.

Kita lihat bahwa FPB (faktor persekutuan terbesar) masing-masing adalah 1 sbb:

FPB \(2n+1, 2n^2+2n, 2n^2+2n+1\)=1, dan

FPB \(4n+4, 4n^2+8n+3, 4n^2+8n+5\)=1.

{Mungkin untuk FPB=1 ini ada yang mau membuktikannya...}

Lalu kita kelompokkan tripel2 phytagoras sbb :

Diberikan m bilangan bulat positif, kita definisikan

m\[ \(2n+1, 2n^2+2n, 2n^2+2n+1\)\] adalah tripel phytagoras yang terdiri dari m(2n+1), m(2n^2+2n), dan m(2n^2+2n+1).

Begitu juga untuk bentuk yang kedua :

m\[ \(4n+4, 4n^2+8n+3, 4n^2+8n+5\)\] adalah tripel phytagoras yang terdiri dari m(4n+4), m(4n^2+8n+3), dan m(4n^2+8n+5).

Sebagai contoh :
yang berikut ini diambil dari bentuk pertama :
m[3,4,5]={[3,4,5], [6,8,10], [9,12,15], [12,16,20],...}
m[5,12,13]={[5,12,13], [10,24,26], [15,36,39], [20,48,52],...}
.....
dst
yang berikut ini diambil dari bentuk kedua :
m[8,15,17]={[8,15,17], [16,30,34],[24,45,51],...}
m[12,35,37]={[12,35,37], [24,70,74], [36,105,111],...}
.....
dst

Pertanyaan pertanyaan :
1. Apakah hanya ada dua bentuk tripel phytagoras yang dapat dibuat seperti di atas?
2. Apakah semua bilangan bulat positif kecuali 1 dan 2 dapat termuat dalam tripel phytagoras?
3. Kedua bentuk diatas menelusur dari bentuk pecahan dengan penyebutnya menjelajah bilangan genap (bentuk pertama) dan menjelajah bilangan ganjil (bentuk kedua). Adakah yang punya ide lain untuk membuat bentuk lain yang bisa mencakup semua tripel phytagoras?

Silahkan siapapun menjawab....

msihabudin

wah... baru baca pak... tak coba2 dulu ya... hehehehe

neo

Ikutan tanya ah :

jika a, b dan c memenuhi tripel pythagora dg a<b<c, apakah nilai a dan b yg memenuhi tunggal?

Contoh :
a=30, b=40 dan c=50, apakah ada a dan b yg laen selain 30 dan 40 yg memenuhi?
Kenapa?

Mtk Kerajaan Mataram

Kutip dari: neo pada Mei 21, 2011, 01:30:44 PM
Ikutan tanya ah :
jika a, b dan c memenuhi tripel pythagora dg a<b<c, apakah nilai a dan b yg memenuhi tunggal?
Saya menduga bahwa a dan b yang memenuhi tripel phytagoras  seperti itu adalah tunggal.
Nilai c muncul lagi dalam tripel phytagoras lain, tapi bukan sebagai yang terbesar. Dengan kata lain, jika a<b<c tripel phytagoras dan [d,e,c] membentuk tripel phytagoras, maka c<d atau c<e.

Benar atau tidakkah dugaan saya ini?

neo

@ pak mataram : tebakan ny sama pak... Hehehe
pembuktian ny yg bingung


neo

Iseng jwb pak mataram ahhh

1. Tdk, ada bentuk yg laen krn kl cm 2 bentuk itu maka saya menebak m(5,12,13) yg jg tripel phytagoras belum termasuk

2. Menurut pak euclide jika a, b dan c tripel phytagoras primitiv maka memenuhi :
a = 2r + r^2
b = 2r + 1
c = 2r + 2r^2 + 1
jelas a = genap dan b = ganjil, krn r = 1, 2, 3, ... Maka semua bilangan bulat positif termuat dalam tripel phytagoras

gmana pak?
Skali lg ini cm asal menebak
(maaf pake hp jadi ga bs pake latex)

neo

Maaf saya koreksi pak saya salah itung ternyata

Iseng jwb pak mataram ahhh

1. Tdk, ada bentuk yg laen krn kl cm 2 bentuk itu maka saya menebak m(160,231,281) yg jg tripel phytagoras belum termasuk

(semoga ga salah itung lagi... Hehehe maklum kan cm iseng)

2. Menurut pak euclide jika a, b dan c tripel phytagoras primitiv maka memenuhi :
a = 2r + 2r^2
b = 2r + 1
c = 2r + 2r^2 + 1
jelas a = genap dan b = ganjil, krn r = 1, 2, 3, ... Maka semua bilangan bulat positif termuat dalam tripel phytagoras

gmana pak?
Skali lg ini cm asal menebak
(maaf pake hp jadi ga bs pake latex)

Mtk Kerajaan Mataram

Kutip dari: neo pada Mei 24, 2011, 07:43:37 PM
1. Tdk, ada bentuk yg laen krn kl cm 2 bentuk itu maka saya menebak m(160,231,281) yg jg tripel phytagoras belum termasuk

Luarbiasa, sehingga kita masih bisa mencari sebanyak tak hingga bentuk triple phytagoras yang lain

Kutip dari: neo pada Mei 24, 2011, 07:43:37 PM
2. Menurut pak euclide jika a, b dan c tripel phytagoras primitiv maka memenuhi :
a = 2r + 2r^2
b = 2r + 1
c = 2r + 2r^2 + 1
jelas a = genap dan b = ganjil, krn r = 1, 2, 3, ... Maka semua bilangan bulat positif termuat dalam tripel phytagoras

saya kira yang ini belum menjawab pertanyaan, sebab pertanyaannya dapat saya tulis berikut :
Betulkah implikasi "Jika a > 2, dan a bilangan asli, maka ada tripel phytagoras yang memuat a."


neo

kl qt amati kan tripel phytagoras primitiv sll tdiri dari 2 bilangan ganjil dan 1 bilangan genap, nah kl b = 2r + 1 (jelas ganjil) brati semua bilangan ganjil termuat di b

yg menjadi masalah kan yg genap, apakah untuk stiap b = 2r + 1, ada a yg memenuhi tripel phytagoras ?

Cb qt liat polany :
jelas bilangan genap yg hbs di bagi 3 adl tripel phytagoras

bgt jg bilangan genap yg habis di bagi 5,7,11,13,17,19...
jelaz tripel phytagoras

sdgkan bilangan genap yg tdk habis maka dpt dinyatakan dalam 2r + 2r^2 atau habis dibagi 4

mungkin bgtu pak ...
hehehe
sory kl salah, maklum amatiran
hehehe