Forum Sains Indonesia

Ilmu Alam => Matematika => Topik dimulai oleh: violin pada Juli 29, 2008, 01:11:25 AM

Judul: Bantuin Dumzz
Ditulis oleh: violin pada Juli 29, 2008, 01:11:25 AM
Tolong dong bantuin selesain ni soal.... ;)

Udah buntu ni... ???

Diberikan barisan (xn) dengan 0 < x1 = a < x2 = b

Dan xn+2 = xn+1 + xn       n = 1,2,3,....

Tinjau barisan rn dengan
   rn = (xn+1) / xn      n = 1,2,3,...

a.   Tunjukkan bahwa 1 < rn < 2 untuk n = 2,3,4,...
b.   Selidiki kekonvergenan (rn)
Judul: Re: Bantuin Dumzz
Ditulis oleh: reborn pada Juli 29, 2008, 05:53:45 AM
Wah, ini kalo ga salah dibahas di Kalkulus ya, soal konvergensi barisan. Pake delta epsilon si Cauchy gitu ya?
Yang udah dikerjain sampe mana nih?
Judul: Re: Bantuin Dumzz
Ditulis oleh: violin pada Agustus 01, 2008, 02:43:09 AM
Yang bagian a udah kelar... :)

Tapi yang suruh buktiin kekonvergenan blm.....

Aku belum ambil mata kuliah itu..

tapi udah disuruh ngerjain...

Dosen yang aneh.... ???
Judul: Re: Bantuin Dumzz
Ditulis oleh: reborn pada Agustus 01, 2008, 04:11:57 AM
Hasil a nya udah dapet ya?
Ide konvergensi : suatu barisan {Sn} dikatakan konvergen ke arah bilangan tertentu jika untuk sembarang bilangan positif epsilon (sekecil apa pun), terdapat sebuah bilangan positif m sedemikian sehingga untuk n>m maka |S-Sn|<delta.

Nah, untuk uji konvergensi, ini deret positif kan ya? Bisa diuji pake beberapa cara : Uji integral (nyatakan dalam bentuk fungsi trus integralkan dari -~ sampai ~), uji perbandingan (dengan deret yang diketahui konvergen), atau uji rasio (konvergen jika lim Sn+1/Sn < 1).
Judul: Re: Bantuin Dumzz
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada Agustus 07, 2008, 09:10:24 PM
Halo hola ini muncul lagi....
Jadi barisan <xn>=a,b,a+b,a+2b,2a+3b,3a+4b,...
Untuk n>3, maka <xn>=<(n-2)a+(n-1)b)>
Kemudian barisan
 <rn>=b/a,(a+b)/b,(a+2b)/(a+b),(2a+3b)/(a+2b),(3a+4b)/(2a+3b),...
Untuk n>3, maka
 <rn>=<[(n-2)a+(n-1)b)]/[(n-3)a+(n-2)b)]>
Semuanya adalah dengan a<b... oke iya kan ya dong.
Salam.
Judul: Re: Bantuin Dumzz
Ditulis oleh: reborn pada Agustus 08, 2008, 05:36:33 AM
Nah tuh. Berarti pertanyaan a dan b terjawab sudah ;D
Btw, ga minat pake LateX? lebih enak bacanya lho kalo pake LateX. Tinggal pake tag
Kode: [Pilih]
[tex][/tex] kok
Di sini lengkapnya : http://www.forumsains.com/pengumuman/fitur-mimetex/
Judul: Re: Bantuin Dumzz
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada Agustus 08, 2008, 10:25:48 PM
Salam
Terima kasih atas mimitex-nya, baru dipelajari...
Ternyata saya salah kemarin, yg benar adalah :
<xn>=a,b,a+b,a+2b,2a+3b,3a+5b,5a+8b, ...
<rn>=b/a,(a+2b)/(a+b),(2a+3b)/(a+2b),(3+5b)/(2a+3b),(5a+8b)/(3a+5b), ...
Ini persoalaannya jadi lebih rumit untuk yang (b)--menyelidiki kekonvergenan <rn>
Saya baru mempunyai hipotesa, yaitu barisan <rn> mulai pada suatu n=N akan bersifat sbb:

rN-1<rN+2-1<rN+4-1< . . . . . .<rN+5-1<rN+3-1<rN+1-1
atau  yg senada dengannya

hipotesa ini didasarkan pada barisan berikut :
<Un>=1/1-1,2/1-1,3/2-1,5/3-1,8/5-1,13/8-1,21/13-1....
Penyebut dan pembilang adalah suku-suku barisan fibbonaci berturutan.
<Un>=0,1,1/2,2/3,3/5,5/8,8/13,...
dimana
3/5<8/13<21/34<..........<13/21<5/8
Kalau hipotesa betul, maka
|rN-rN+1|>|rN+2-rN+3|>|rN+4-rN+5|>......dst

Oke gitu rojer ganti...

Judul: Re: Bantuin Dumzz
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada Agustus 12, 2008, 02:53:07 AM
Wah kayaknya sudah ndak ada yang minat yopik ini yaa..
Baik kulanjutkan dulu....
Kemaren adalah :
<xn>=a,b,a+b,a+2b,2a+3b,3a+5b,5a+8b, ...
<rn>=b/a,a+b/a,(a+2b)/(a+b),(2a+3b)/(a+2b),(3+5b)/(2a+3b),(5a+8b)/(3a+5b), ...
Kalau masing2 suku dari <rn> dikurangi 1 lalu kita namakan barisan <wn> maka
<wn>=\frac{b-a}{a},\frac{a}{b},\frac{b}{a+b},\frac{a+b}{a+2b},\frac{a+2b}{2a+3b}, . . .
<wn>=\frac{b-a}{a},\frac{x1}{x2},\frac{x2}{x3},\frac{x3}{x4},...

Kita mau selidiki untuk sembarang n>=1 tentang hubungan ketaksamaan dari
xn / xn+1 , xn+1 / xn+2, dan xn+2 / xn+3. Untuk memudahkan kita misalkan u=xn+1 dan v=xn+2, sehingga xn=v-u dan xn+3=v+u, ini dikarenakan oleh :
xn+2 = xn+1 + xn       n = 1,2,3,....
Jadi ketiga pecahan bisa ditulis dengan
\frac{v-u}{u}\frac{u}{v}, dan \frac{v}{v+u}

Kita main logika sekarang,
pertama :
Jika \frac{v-u}{u} > \frac{u}{v}, maka
(v-u)v>u2, lalu v2-uv>u2 dan v2>uv+u2 lalu v2>u(v+u).....(i), juga v2-u2>uv dan (v-u)(v+u)>uv....(ii)
Dari (i) diperoleh \frac{v}{v+u} > \frac{u}{v}
Dari (ii) diperoleh \frac{v}{v+u} < \frac{v-u}{u}
Jadi jika xn / xn+1 < xn+1 / xn+2, maka
xn / xn+1 < xn+2 / xn+3 < xn+1 / xn+2 .............(*)

Kedua :
Dengan cara yang sama diperoleh
Jadi jika xn / xn+1 > xn+1 / xn+2, maka
xn / xn+1 > xn+2 / xn+3 > xn+1 / xn+2 .............(**)

Kembali ke atas, karena \frac{x1}{x2}<\frac{x2}{x3}, maka menurut (*) diperoleh
\frac{x1}{x2}<\frac{x3}{x4}<\frac{x2}{x3}
Lalu karena \frac{x3}{x4}<\frac{x2}{x3} dan menurut (**) diperoleh
\frac{x1}{x2} < \frac{x3}{x4} < \frac{x4}{x5}\frac{x2}{x3}
Kemudian karena \frac{x3}{x4} < \frac{x4}{x5} dan menurut (*) diperoleh
\frac{x1}{x2} < \frac{x3}{x4} <\frac{x5}{x6} < \frac{x4}{x5}\frac{x2}{x3}

Dst..dst.....akhirnya diperoleh
\frac{x1}{x2} < \frac{x3}{x4} <\frac{x5}{x6} < ...............< \frac{x4}{x5}\frac{x2}{x3}

Ini dulu sajalah...pegel aku nulisnya.........
Judul: Re: Bantuin Dumzz
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada Agustus 14, 2008, 02:21:12 AM
Sudahlah saya terusin biar tuntas.....
\frac{x1}{x2} < \frac{x3}{x4} <\frac{x5}{x6} < ...............< \frac{x6}{x7} < \frac{x4}{x5}\frac{x2}{x3}
Kita buat barisan baru <Dn> yang suku-sukunya adalah :
D1=\frac{x2}{x3} - \frac{x1}{x2}
D2=\frac{x4}{x5} - \frac{x3}{x4}
D3=\frac{x6}{x7} - \frac{x5}{x6}
.
.
.
Dn=[x2n / x2n+1] - [x2n-1 / x2n]

Misalkan lagi x2n-1= u dan x2n = v, sehingga x2n+1=u+v.
Dan Dn=\frac{v}{u+v} - \frac{u}{v}=\frac{v^2-u^2-uv}{v(u+v)}
Dan karena x2(n+1)=x2n+2=u+2v,x2(n+1)+1=2u+3v, juga x2(n+1)+2=3u+5v, maka :
Dn+1=\frac{2u+3v}{3u+5v} - \frac{u+2v}{2u+3v}=\frac{v^2-u^2-uv}{(2u+3v)(3u+5v)}
Bisa dipahami secara induksi matematik, bahwa pembilangnya konstan, kemudian penyebutnya meningkat, dengan membayangkan pembandingan barisan ini dengan barisan <\frac{1}{n^2}> , kita bisa menuliskan :
Dn+1={Konstanta} / {(x2(n+1)+1)(x2(n+1)+2)}
Kemudian ini tergantung x1=a dan x2=b, kalau mereka bil integer positif maka Dn langsung kelihatan konvergen ke 0, karena
Dn < {Konstanta} / {(x2n)^2}<{Konstanta} / {n^2}, yang dimana {Konstanta} / {n^2} menuju ke 0 untuk n sampai tak hingga.
Sedangkan untuk untuk a dan b yang bilangan lebih kecil dari satu, maka Dn juga akan konvergen ke 0 hanya pemikirannya barisan akan monoton menurun setelah sampai pada suatu n=N.

Apa artinya Dn konvergen ke 0 ?
Kita kembali ke atas, yaitu
\frac{x1}{x2} < \frac{x3}{x4} <\frac{x5}{x6} < ...............< \frac{x6}{x7} < \frac{x4}{x5}\frac{x2}{x3}

Misal barisan \frac{x1}{x2}, \frac{x3}{x4}, \frac{x5}{x6},....
yang naik monoton berbatas atas terkecil A
Misal \frac{x2}{x3}, \frac{x4}{x5}, \frac{x6}{x7}, . . . yang turun monoton dan mempunyai batas bawah B
Karena Dn konvergen ke 0, maka A=B.
Itu artinya barisan <rn> yang kita selidiki akan menuju pada suatu titik dengan cara pendekatan dari kiri lalu kanan lalu lalu kanan semakin dekat - semakin dekat. Dan approaching seperti ini dibenarkan dalam kekonvergenan.
Jadi memang barisan <rn> konvergen.
Oke tuntas sudah untuk sebatas soal di atas.
Judul: Re: Bantuin Dumzz
Ditulis oleh: izna pada Agustus 14, 2008, 03:06:12 AM
Wah...Mtk Kerajaan Mataram hebat ya, rajin bgt ngerjain itu soal,.. ;D
Saluuutttttttt dech...,yo SMANGAT ya !! ;)
Judul: Re: Bantuin Dumzz
Ditulis oleh: violin pada Agustus 14, 2008, 07:55:08 AM
Semuanya....

Terima kasih yaow udah bantuin kerjain soalnya... ;)

Ternyata ini salah satu materi olimpiade Matematika mahasiswa,,

Maklum mahasiswa baru,,.jadi nggak tau apa aja materi olimpiade. ;D

Aku juga bingung,anak tahun pertama kok disuruh ikutan... ???
Judul: Re: Bantuin Dumzz
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada Agustus 14, 2008, 10:52:28 PM
Siapa tahu mahasiswa baru bisa menyelesaikannya....menurut saya... hanya bisa ditentukan nanti mana yang novice dan mana yang expert dalam menganalisa permasalahan.
Mungkin dosennya melihat kemungkinan itu pada anda lho..
Oke Salam
Judul: Re: Bantuin Dumzz
Ditulis oleh: violin pada Agustus 20, 2008, 12:32:45 AM
Wahhh.....

Jadi malu niey.... :-[

@ Mtk Kerajaan Mataram

Thanks yaow.... ;)
Judul: Re: Bantuin Dumzz
Ditulis oleh: Santri pada Oktober 21, 2008, 01:05:16 PM
Alo Salam Aku anggota baru..
kk semua hebat yah kl aku mah bener ga bisa soalnya aku masih SMA
hheeheee
Matematika Mataram minta bantuan dong..
kl UAN itu soal yang sering keluar itu apa..?
and kl kita ikut olimpiade MTK yang harus diperhaikan itu apa sih..!
kl ada saran tolong kirim ke tiowandahendaris@yahoo.co.id
thx before.... :kribo:
Judul: Re:Bantuin Dumzz
Ditulis oleh: Monox D. I-Fly pada Januari 30, 2016, 01:32:03 AM
Alo Salam Aku anggota baru..
kk semua hebat yah kl aku mah bener ga bisa soalnya aku masih SMA
hheeheee
Matematika Mataram minta bantuan dong..
kl UAN itu soal yang sering keluar itu apa..?
and kl kita ikut olimpiade MTK yang harus diperhaikan itu apa sih..!
kl ada saran tolong kirim ke tiowandahendaris@yahoo.co.id
thx before.... :kribo:

Bisa dilihat di sini. Tapi kamu tanyanya tahun 2008 ya, pasti sekarang udah sarjana atau bahkan udah nikah...