Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan

Sky · September 14, 2009, 11:41:33 PM

Hai teman-teman....
Maaf baru muncul nih...
Semoga topik ini belum ada yang mempost...

Aku dapat satu soal menarik dari temenku...

"Jika diberikan suatu bilangan bulat n positif, ada berapa cara menyatakan bilangan itu sebagai penjumlahan angka
1 atau 2, dengan memperhatikan urutan penjumlahannya?"

Contoh:
1. Saya punya bilangan n=3, maka cara untuk menyatakannya sebagai penjumlahan angka 1 atau 2:
3=1+1+1
3=1+2
3=2+1
Jadi, ada 3 cara....
2. Saya punya n=1
1=1
Jadi ada 1 cara...
3. Saya punya n=2
2=1+1
2=2
Jadi ada 2 cara....

Tadinya saya mau post ini di forum Olah-Otak, tapi karena jawaban yang didapat nanti "cukup
mengejutkan", saya juga ingin kita bahas bareng2....

Ayo....Selamat menikmati.....

raisuien · September 15, 2009, 12:00:07 AM

klo n = 4
4 = 1+1+1+1
4 = 2+2
4 = 1+2+1
4 = 2+1+1
4 = 1+1+2

maksudnya begini?

Sky · September 15, 2009, 12:51:38 AM

Yap, untuk n=4 ada 5 cara.

Sekarang jika saya ingin n adalah suatu bilangan bulat sembarang, ada berapa cara untuk menuliskannya?
(tentunya yang dalam bentuk hitungan, bukan enumerasi kayak tadi...)

Mtk Kerajaan Mataram · September 15, 2009, 02:16:33 AM

Yoo diotak-atik...

2=1+1 (1 kemungkinan)
4=2+2
=2+1+1=1+2+1=1+1+2
=1+1+1+1 (5 kemungkinan)
8=2+2+2+2 sebanyak 1 kemungkinan
=1+1+2+2+2=...=2+2+2+1+1 sebanyak 5!/2!3!= 10 kemungkinan
=1+1+1+1+2+2=...= 2+2+1+1+1+1 sebanyak 6!/4!2!= 15 kemungkinan
=1+1+1+1+1+1+2=...=2+1+1+1+1+1+1 sebanyak 7!/6!1!= 7 kemungkinan
=1+1+1+1+1+1+1+1 sebanyak 1 kemungkinan
Untuk 8 ada 34 (=1+10+15+7+1) kemungkinan.

Silahkan diraba bentuk umumnya....

Sky · September 15, 2009, 05:18:38 AM

Koreksi buat Om mataram, harusnya untuk n=2, ada 2 kemungkinan

Ayo, yang lain silakan ikut mencoba....

Nabih · September 15, 2009, 03:28:40 PM

klo n = 4
4 = 1+1+1+1
4 = 2+2
4 = 1+2+1
4 = 2+1+1
4 = 1+1+2
4 = 1+3
4 = 3+1
kok jadi 7 cara, salahkah aku?

HyawehHoshikawa · September 15, 2009, 04:45:51 PM

baca soalnya dulu bung...
diatas kan dibilangnya cuman bole make angka 1 ama 2...

Sky · September 15, 2009, 11:02:04 PM

Ayolah....
Belum ada yang berusaha merumuskannya, ya?

Mtk Kerajaan Mataram · September 16, 2009, 01:51:26 AM

3=2+1=1+2 ==> $\frac{2!}{1!1!}$ =2 kemungkinan

=1+1+1 ==> 1 kemungkinan

Total = 1+2=3 kemungkinan

4=2+2 ==> 1 kemungkinan

=1+1+2=1+2+1=2+1+1 ==> $\frac{3!}{2!1!}$ =3 kemungkinan

=1+1+1+1 ==> 1 kemungkinan

Total= 1+3+1=5 kemungkinan

5=2+2+1=...=1+2+2 ==> $\frac{3!}{2!1!}$ =3 kemungkinan

=2+1+1+1=...=1+1+1+2 ==> $\frac{4!}{3!1!}$ =4 kemungkinan

=1+1+1+1+1 ==> 1 kemungkinan

Total= 3+4+1=8 kemungkinan

6=2+2+2 ==> 1 kemungkinan

=2+2+1+1=... ==> $\frac{4!}{2!2!}$ =6 kemungkinan

=2+1+1+1+1=... ==> $\frac{5!}{1!4!}$ =5 kemungkinan

=1+1+1+1+1+1 ==> 1 kemungkinan

Total= 1+6+5+1=13 kemungkinan

Jika n genap, katakan n=2k

n=2+2+...+2 ==> 1 kemungkinan

=2+2+...+2+1+1=... ==> $\frac{(k-1+2)!}{(k-1)!2!}$

=2+...+2+1+1+1+1=... ==> $\frac{(k-2+4)!}{(k-2)!4!}$

.......

=2+2+1+1+...+1+1=... ==> $\frac{(2+2(k-2))!}{2!(2(k-2))!}$

=2+1+1+...+1+1=... ==> $\frac{(1+2(k-1))!}{1!(2(k-1))!}$

=1+1+...+1+1 ==> 1 kemungkinan

Jadi, banyaknya kemungkinan susunan penjumlahan 1 atau dua untuk n bilangan genap dengan n=2k adalah M, dengan

M = $1+\frac{(k-1+2)!}{(k-1)!2!}+\frac{(k-2+4)!}{(k-2)!4!}+...+\frac{(2+2(k-2))!}{2!(2(k-2))!}+\frac{(1+2(k-1))!}{1!(2(k-1))!}+1$

= $\frac{(k+2\cdot 0)!}{(k)!0!}+\frac{(k-1+2\cdot 1)!}{(k-1)!2!}+\frac{(k-2+2\cdot 2)!}{(k-2)!4!}+...+\frac{(2+2(k-2))!}{2!(2(k-2))!}+\frac{(1+2(k-1))!}{1!(2(k-1))!}+\frac{(0+2k)!}{0!(2k)!}$

= $\sum_{i=0}^{i=k}\frac{(k-i+2i)!}{(k-i)!(2i)!}$

= $\sum_{i=0}^{i=k}\frac{(k+i)!}{(k-i)!(2i)!}$

Silahkan coba untuk n ganjil...

Sky · September 16, 2009, 11:09:12 AM

Wuish Mas mataram keren....
Ayo dong... yang lain coba yang ganjilnya...
Aku tunggu 24 jam...

nash · September 16, 2009, 11:56:54 AM

~ga ngerti--

Mtk Kerajaan Mataram · September 16, 2009, 01:46:15 PM

Contoh2 penghitungan untuk n yang genap dengan $\sum_{i=0}^{i=k}\frac{(k+i)!}{(k-i)!(2i)!}$ :

1) n = 4, maka k=2, sehingga banyaknya cara untuk membuat penjumlahan 1 atau 2 adalah

$\sum_{i=0}^{i=2}\frac{(2+i)!}{(2-i)!(2i)!}$

= $\frac{(2+0)!}{(2-0)!(2 \cdot 0)!}+\frac{(2+1)!}{(2-1)!(2 \cdot 1)!}+\frac{(2+2)!}{(2-2)!(2 \cdot 2)!}$

= $\frac{(2)!}{(2)!(0)!}+\frac{(3)!}{(1)!(2)!}+\frac{(4)!}{(0)!(4)!}$

= 1 + 3 + 1 =5

2) n = 6, maka k=3, sehingga banyaknya cara untuk membuat penjumlahan 1 atau 2 adalah

$\sum_{i=0}^{i=3}\frac{(3+i)!}{(3-i)!(2i)!}$

= $\frac{(3+0)!}{(3-0)!(2 \cdot 0)!}+\frac{(3+1)!}{(3-1)!(2 \cdot 1)!}+\frac{(3+2)!}{(3-2)!(2 \cdot 2)!}+\frac{(3+3)!}{(3-3)!(2 \cdot 3)!}$

= $\frac{(3)!}{(3)!(0)!}+\frac{(4)!}{(2)!(2)!}+\frac{(5)!}{(1)!(4)!}+\frac{(6)!}{(0)!(6)!}$

= 1 + 6 + 5 + 1 = 13

3) n = 8, maka k=4, sehingga banyaknya cara untuk membuat penjumlahan 1 atau 2 adalah

$\sum_{i=0}^{i=4}\frac{(4+i)!}{(4-i)!(2i)!}$

= $\frac{(4+0)!}{(4-0)!(2 \cdot 0)!}+\frac{(4+1)!}{(4-1)!(2 \cdot 1)!}+\frac{(4+2)!}{(4-2)!(2 \cdot 2)!}+\frac{(4+3)!}{(4-3)!(2 \cdot 3)!}+\frac{(4+4)!}{(4-4)!(2 \cdot 4)!}$

= $\frac{(4)!}{(4)!(0)!}+\frac{(5)!}{(3)!(2)!}+\frac{(6)!}{(2)!(4)!}+\frac{(7)!}{(1)!(6)!}+\frac{(8)!}{(0)!(8)!}$

= 1 + 10 + 15 + 7 + 1 = 34

4) n = 10, maka k=5, sehingga banyaknya cara untuk membuat penjumlahan 1 atau 2 adalah

$\sum_{i=0}^{i=5}\frac{(5+i)!}{(5-i)!(2i)!}$

= $\frac{(5+0)!}{(5-0)!(2 \cdot 0)!}+\frac{(5+1)!}{(5-1)!(2 \cdot 1)!}+\frac{(5+2)!}{(5-2)!(2 \cdot 2)!}+\frac{(5+3)!}{(5-3)!(2 \cdot 3)!}+\frac{(5+4)!}{(5-4)!(2 \cdot 4)!}+\frac{(5+5)!}{(5-5)!(2 \cdot 5)!}$

= $\frac{(5)!}{(5)!(0)!}+\frac{(6)!}{(4)!(2)!}+\frac{(7)!}{(3)!(4)!}+\frac{(8)!}{(2)!(6)!}+\frac{(9)!}{(1)!(8)!}+\frac{(10)!}{(0)!(10)!}$

= 1 + 15 + 35 + 28 + 9 + 1 = 89

Sky · September 17, 2009, 11:20:31 AM

Hmm...
Sbenarnya topik ini akan sangat menarik klo kita tau cra merumuskanny.
Coba analisis menggunakan konsep kombinatorika.
Hint:
ini tentang banyaknya cara yg dapat kita lakukan utk menyusun angka 1 dn 2.
Ayo...mumpung liburan...

Mtk Kerajaan Mataram · September 21, 2009, 03:41:36 PM

Sekarang dilanjut dengan penjumlahan 1,2,...,n-1 untuk menjadi n, dengan n mulai dari 2.
Kalau sebelumnya seperti 1+2 dan 2+1 dianggap berlainan sehingga dihitung 2 kali sekarang dianggap 1 kali.

contoh :
2=1+1, (1 cara)
3=1+2, 1+1+1 (2 cara)
4=1+3, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1 (4 cara)
5=1+4, 2+3, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+3, 1+1+1+1+1 (6 cara)
6=1+5, 1+2+4,1+2+3,1+1+2+2,1+1+1+1+2,1+1+1+3,1+1+1+1+1+1, 2+4, 2+2+2, 3+3(10 cara)
dst...

Tentukan bentuk rumus umumnya !

Sky · September 30, 2009, 11:14:41 PM

Wah... sekarang masalahnya diperluas...

Aku ga ada ide nih...
Ada hint nya ga ya?

User

Cari

Check This Out

Topik Baru

Artikel Sains

Stats

Anggota

Stats

Pengguna Online

Aku Cinta ForSa

Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan

Sky

raisuien

Sky

Mtk Kerajaan Mataram

Sky

Nabih

HyawehHoshikawa

Sky

Mtk Kerajaan Mataram

Sky

nash

Mtk Kerajaan Mataram

Sky

Mtk Kerajaan Mataram

Sky