Forum Sains Indonesia
Ilmu Alam => Matematika => Topik dimulai oleh: Sky pada September 15, 2009, 02:41:33 PM
-
Hai teman-teman....
Maaf baru muncul nih...
Semoga topik ini belum ada yang mempost...
Aku dapat satu soal menarik dari temenku...
"Jika diberikan suatu bilangan bulat n positif, ada berapa cara menyatakan bilangan itu sebagai penjumlahan angka
1 atau 2, dengan memperhatikan urutan penjumlahannya?"
Contoh:
1. Saya punya bilangan n=3, maka cara untuk menyatakannya sebagai penjumlahan angka 1 atau 2:
3=1+1+1
3=1+2
3=2+1
Jadi, ada 3 cara....
2. Saya punya n=1
1=1
Jadi ada 1 cara...
3. Saya punya n=2
2=1+1
2=2
Jadi ada 2 cara....
Tadinya saya mau post ini di forum Olah-Otak, tapi karena jawaban yang didapat nanti "cukup
mengejutkan", saya juga ingin kita bahas bareng2....
Ayo....Selamat menikmati.....
-
klo n = 4
4 = 1+1+1+1
4 = 2+2
4 = 1+2+1
4 = 2+1+1
4 = 1+1+2
maksudnya begini?
-
Yap, untuk n=4 ada 5 cara.
Sekarang jika saya ingin n adalah suatu bilangan bulat sembarang, ada berapa cara untuk menuliskannya?
(tentunya yang dalam bentuk hitungan, bukan enumerasi kayak tadi...)
-
Yoo diotak-atik...
2=1+1 (1 kemungkinan)
4=2+2
=2+1+1=1+2+1=1+1+2
=1+1+1+1 (5 kemungkinan)
8=2+2+2+2 sebanyak 1 kemungkinan
=1+1+2+2+2=...=2+2+2+1+1 sebanyak 5!/2!3!= 10 kemungkinan
=1+1+1+1+2+2=...= 2+2+1+1+1+1 sebanyak 6!/4!2!= 15 kemungkinan
=1+1+1+1+1+1+2=...=2+1+1+1+1+1+1 sebanyak 7!/6!1!= 7 kemungkinan
=1+1+1+1+1+1+1+1 sebanyak 1 kemungkinan
Untuk 8 ada 34 (=1+10+15+7+1) kemungkinan.
Silahkan diraba bentuk umumnya....
-
Koreksi buat Om mataram, harusnya untuk n=2, ada 2 kemungkinan
Ayo, yang lain silakan ikut mencoba....
-
klo n = 4
4 = 1+1+1+1
4 = 2+2
4 = 1+2+1
4 = 2+1+1
4 = 1+1+2
4 = 1+3
4 = 3+1
kok jadi 7 cara, salahkah aku?
-
baca soalnya dulu bung...
diatas kan dibilangnya cuman bole make angka 1 ama 2...
-
Ayolah....
Belum ada yang berusaha merumuskannya, ya?
-
3=2+1=1+2 ==>
=2 kemungkinan
=1+1+1 ==> 1 kemungkinan
Total = 1+2=3 kemungkinan
4=2+2 ==> 1 kemungkinan
=1+1+2=1+2+1=2+1+1 ==>
=3 kemungkinan
=1+1+1+1 ==> 1 kemungkinan
Total= 1+3+1=5 kemungkinan
5=2+2+1=...=1+2+2 ==>
=3 kemungkinan
=2+1+1+1=...=1+1+1+2 ==>
=4 kemungkinan
=1+1+1+1+1 ==> 1 kemungkinan
Total= 3+4+1=8 kemungkinan
6=2+2+2 ==> 1 kemungkinan
=2+2+1+1=... ==>
=6 kemungkinan
=2+1+1+1+1=... ==>
=5 kemungkinan
=1+1+1+1+1+1 ==> 1 kemungkinan
Total= 1+6+5+1=13 kemungkinan
Jika n genap, katakan n=2k
n=2+2+...+2 ==> 1 kemungkinan
=2+2+...+2+1+1=... ==> 
=2+...+2+1+1+1+1=... ==> 
.......
=2+2+1+1+...+1+1=... ==> 
=2+1+1+...+1+1=... ==> 
=1+1+...+1+1 ==> 1 kemungkinan
Jadi, banyaknya kemungkinan susunan penjumlahan 1 atau dua untuk n bilangan genap dengan n=2k adalah M, dengan
M = 
= 
= 
= 
Silahkan coba untuk n ganjil...
-
Wuish Mas mataram keren....
Ayo dong... yang lain coba yang ganjilnya...
Aku tunggu 24 jam...
-
~ga ngerti--
-
Contoh2 penghitungan untuk n yang genap dengan
:
1) n = 4, maka k=2, sehingga banyaknya cara untuk membuat penjumlahan 1 atau 2 adalah

= 
= 
= 1 + 3 + 1 =5
2) n = 6, maka k=3, sehingga banyaknya cara untuk membuat penjumlahan 1 atau 2 adalah

= 
= 
= 1 + 6 + 5 + 1 = 13
3) n = 8, maka k=4, sehingga banyaknya cara untuk membuat penjumlahan 1 atau 2 adalah

= 
= 
= 1 + 10 + 15 + 7 + 1 = 34
4) n = 10, maka k=5, sehingga banyaknya cara untuk membuat penjumlahan 1 atau 2 adalah

= 
= 
= 1 + 15 + 35 + 28 + 9 + 1 = 89
-
Hmm...
Sbenarnya topik ini akan sangat menarik klo kita tau cra merumuskanny.
Coba analisis menggunakan konsep kombinatorika.
Hint:
ini tentang banyaknya cara yg dapat kita lakukan utk menyusun angka 1 dn 2.
Ayo...mumpung liburan...
-
Sekarang dilanjut dengan penjumlahan 1,2,...,n-1 untuk menjadi n, dengan n mulai dari 2.
Kalau sebelumnya seperti 1+2 dan 2+1 dianggap berlainan sehingga dihitung 2 kali sekarang dianggap 1 kali.
contoh :
2=1+1, (1 cara)
3=1+2, 1+1+1 (2 cara)
4=1+3, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1 (4 cara)
5=1+4, 2+3, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+3, 1+1+1+1+1 (6 cara)
6=1+5, 1+2+4,1+2+3,1+1+2+2,1+1+1+1+2,1+1+1+3,1+1+1+1+1+1, 2+4, 2+2+2, 3+3(10 cara)
dst...
Tentukan bentuk rumus umumnya !
-
Wah... sekarang masalahnya diperluas...
Aku ga ada ide nih...
Ada hint nya ga ya?
-
Hint : Tentukan masing2 bentuk penjumlahan yang terdiri dari 2 angka, terdiri dari 3 angka,....., terdiri dari n angka.
Kalau n=6 misalnya
yang terdiri dari 2 angka ==> 1+5,2+4,3+3
yang terdiri dari 3 angka ==> 1+2+3,1+1+4,2+2+2
yang terdiri dari 4 angka ==> 1+1+2+2,1+1+1+3
yang terdiri dari 5 angka ==> 1+1+1+1+2
yang terdiri dari 6 angka ==> 1+1+1+1+1+1
tentukan cari merumuskan masing2, lalu gabungkan.
-
Hmm!
Ini sangat menarik, sebenarnya saya berusaha mengangkat problem ini untuk mengungkapkan suatu hipotesis. Tapi ternyata untuk problem yang diajukan mas mataram, hipotesisnya masih sama...
Oya, mas, aku udah nyari-nyari selama berbulan-bulan ini tapi masih belum ketemu cara merumuskannya...
Jadi, solusinya gimana?
-
@Sky
Saudara, sudah melihat hubungannya dengan segitiga pascal...luar biasa.
Solusinya...?? Dapat dikatakan solusinya cukup mendebarkan...haha
Perlu ketenangan untuk berpikir. Pokoknya coba terus, kalo sudah ketemu jangan tergesa2 ditulis di forsa...haha