Forum Sains Indonesia

Ilmu Alam => Matematika => Topik dimulai oleh: Sky pada September 15, 2009, 02:41:33 PM

Judul: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
Ditulis oleh: Sky pada September 15, 2009, 02:41:33 PM: Hai teman-teman....
Maaf baru muncul nih...
Semoga topik ini belum ada yang mempost...

Aku dapat satu soal menarik dari temenku...

"Jika diberikan suatu bilangan bulat n positif, ada berapa cara menyatakan bilangan itu sebagai penjumlahan angka
1 atau 2, dengan memperhatikan urutan penjumlahannya?"

Contoh:
1. Saya punya bilangan n=3, maka cara untuk menyatakannya sebagai penjumlahan angka 1 atau 2:
3=1+1+1
3=1+2
3=2+1
Jadi, ada 3 cara....
2. Saya punya n=1
1=1
Jadi ada 1 cara...
3. Saya punya n=2
2=1+1
2=2
Jadi ada 2 cara....

Tadinya saya mau post ini di forum Olah-Otak, tapi karena jawaban yang didapat nanti "cukup
mengejutkan", saya juga ingin kita bahas bareng2....

Ayo....Selamat menikmati.....
Judul: Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
Ditulis oleh: raisuien pada September 15, 2009, 03:00:07 PM: klo n = 4
4 = 1+1+1+1
4 = 2+2
4 = 1+2+1
4 = 2+1+1
4 = 1+1+2

maksudnya begini?
Judul: Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
Ditulis oleh: Sky pada September 15, 2009, 03:51:38 PM: Yap, untuk n=4 ada 5 cara.

Sekarang jika saya ingin n adalah suatu bilangan bulat sembarang, ada berapa cara untuk menuliskannya?
(tentunya yang dalam bentuk hitungan, bukan enumerasi kayak tadi...)
Judul: Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada September 15, 2009, 05:16:33 PM: Yoo diotak-atik...

2=1+1 (1 kemungkinan)
4=2+2
=2+1+1=1+2+1=1+1+2
=1+1+1+1 (5 kemungkinan)
8=2+2+2+2 sebanyak 1 kemungkinan
=1+1+2+2+2=...=2+2+2+1+1 sebanyak 5!/2!3!= 10 kemungkinan
=1+1+1+1+2+2=...= 2+2+1+1+1+1 sebanyak 6!/4!2!= 15 kemungkinan
=1+1+1+1+1+1+2=...=2+1+1+1+1+1+1 sebanyak 7!/6!1!= 7 kemungkinan
=1+1+1+1+1+1+1+1 sebanyak 1 kemungkinan
Untuk 8 ada 34 (=1+10+15+7+1) kemungkinan.

Silahkan diraba bentuk umumnya....
Judul: Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
Ditulis oleh: Sky pada September 15, 2009, 08:18:38 PM: Koreksi buat Om mataram, harusnya untuk n=2, ada 2 kemungkinan

Ayo, yang lain silakan ikut mencoba....
Judul: Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
Ditulis oleh: Nabih pada September 16, 2009, 06:28:40 AM: klo n = 4
4 = 1+1+1+1
4 = 2+2
4 = 1+2+1
4 = 2+1+1
4 = 1+1+2
4 = 1+3
4 = 3+1
kok jadi 7 cara, salahkah aku?
Judul: Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada September 16, 2009, 07:45:51 AM: baca soalnya dulu bung...
diatas kan dibilangnya cuman bole make angka 1 ama 2...
Judul: Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
Ditulis oleh: Sky pada September 16, 2009, 02:02:04 PM: Ayolah....
Belum ada yang berusaha merumuskannya, ya?
Judul: Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada September 16, 2009, 04:51:26 PM: 3=2+1=1+2 ==> $\frac{2!}{1!1!}$ =2 kemungkinan

=1+1+1 ==> 1 kemungkinan

Total = 1+2=3 kemungkinan

4=2+2 ==> 1 kemungkinan

=1+1+2=1+2+1=2+1+1 ==> $\frac{3!}{2!1!}$ =3 kemungkinan

=1+1+1+1 ==> 1 kemungkinan

Total= 1+3+1=5 kemungkinan

5=2+2+1=...=1+2+2 ==> $\frac{3!}{2!1!}$ =3 kemungkinan

=2+1+1+1=...=1+1+1+2 ==> $\frac{4!}{3!1!}$ =4 kemungkinan

=1+1+1+1+1 ==> 1 kemungkinan

Total= 3+4+1=8 kemungkinan

6=2+2+2 ==> 1 kemungkinan

=2+2+1+1=... ==> $\frac{4!}{2!2!}$ =6 kemungkinan

=2+1+1+1+1=... ==> $\frac{5!}{1!4!}$ =5 kemungkinan

=1+1+1+1+1+1 ==> 1 kemungkinan

Total= 1+6+5+1=13 kemungkinan

Jika n genap, katakan n=2k

n=2+2+...+2 ==> 1 kemungkinan

=2+2+...+2+1+1=... ==> $\frac{(k-1+2)!}{(k-1)!2!}$

=2+...+2+1+1+1+1=... ==> $\frac{(k-2+4)!}{(k-2)!4!}$

.......

=2+2+1+1+...+1+1=... ==> $\frac{(2+2(k-2))!}{2!(2(k-2))!}$

=2+1+1+...+1+1=... ==> $\frac{(1+2(k-1))!}{1!(2(k-1))!}$

=1+1+...+1+1 ==> 1 kemungkinan

Jadi, banyaknya kemungkinan susunan penjumlahan 1 atau dua untuk n bilangan genap dengan n=2k adalah M, dengan

M = $1+\frac{(k-1+2)!}{(k-1)!2!}+\frac{(k-2+4)!}{(k-2)!4!}+...+\frac{(2+2(k-2))!}{2!(2(k-2))!}+\frac{(1+2(k-1))!}{1!(2(k-1))!}+1$

= $\frac{(k+2\cdot 0)!}{(k)!0!}+\frac{(k-1+2\cdot 1)!}{(k-1)!2!}+\frac{(k-2+2\cdot 2)!}{(k-2)!4!}+...+\frac{(2+2(k-2))!}{2!(2(k-2))!}+\frac{(1+2(k-1))!}{1!(2(k-1))!}+\frac{(0+2k)!}{0!(2k)!}$

= $\sum_{i=0}^{i=k}\frac{(k-i+2i)!}{(k-i)!(2i)!}$

= $\sum_{i=0}^{i=k}\frac{(k+i)!}{(k-i)!(2i)!}$

Silahkan coba untuk n ganjil...
Judul: Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
Ditulis oleh: Sky pada September 17, 2009, 02:09:12 AM: Wuish Mas mataram keren....
Ayo dong... yang lain coba yang ganjilnya...
Aku tunggu 24 jam...
Judul: Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
Ditulis oleh: nash pada September 17, 2009, 02:56:54 AM: ~ga ngerti--
Judul: Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada September 17, 2009, 04:46:15 AM: Contoh2 penghitungan untuk n yang genap dengan $\sum_{i=0}^{i=k}\frac{(k+i)!}{(k-i)!(2i)!}$ :

1) n = 4, maka k=2, sehingga banyaknya cara untuk membuat penjumlahan 1 atau 2 adalah

$\sum_{i=0}^{i=2}\frac{(2+i)!}{(2-i)!(2i)!}$

= $\frac{(2+0)!}{(2-0)!(2 \cdot 0)!}+\frac{(2+1)!}{(2-1)!(2 \cdot 1)!}+\frac{(2+2)!}{(2-2)!(2 \cdot 2)!}$

= $\frac{(2)!}{(2)!(0)!}+\frac{(3)!}{(1)!(2)!}+\frac{(4)!}{(0)!(4)!}$

= 1 + 3 + 1 =5

2) n = 6, maka k=3, sehingga banyaknya cara untuk membuat penjumlahan 1 atau 2 adalah

$\sum_{i=0}^{i=3}\frac{(3+i)!}{(3-i)!(2i)!}$

= $\frac{(3+0)!}{(3-0)!(2 \cdot 0)!}+\frac{(3+1)!}{(3-1)!(2 \cdot 1)!}+\frac{(3+2)!}{(3-2)!(2 \cdot 2)!}+\frac{(3+3)!}{(3-3)!(2 \cdot 3)!}$

= $\frac{(3)!}{(3)!(0)!}+\frac{(4)!}{(2)!(2)!}+\frac{(5)!}{(1)!(4)!}+\frac{(6)!}{(0)!(6)!}$

= 1 + 6 + 5 + 1 = 13

3) n = 8, maka k=4, sehingga banyaknya cara untuk membuat penjumlahan 1 atau 2 adalah

$\sum_{i=0}^{i=4}\frac{(4+i)!}{(4-i)!(2i)!}$

= $\frac{(4+0)!}{(4-0)!(2 \cdot 0)!}+\frac{(4+1)!}{(4-1)!(2 \cdot 1)!}+\frac{(4+2)!}{(4-2)!(2 \cdot 2)!}+\frac{(4+3)!}{(4-3)!(2 \cdot 3)!}+\frac{(4+4)!}{(4-4)!(2 \cdot 4)!}$

= $\frac{(4)!}{(4)!(0)!}+\frac{(5)!}{(3)!(2)!}+\frac{(6)!}{(2)!(4)!}+\frac{(7)!}{(1)!(6)!}+\frac{(8)!}{(0)!(8)!}$

= 1 + 10 + 15 + 7 + 1 = 34

4) n = 10, maka k=5, sehingga banyaknya cara untuk membuat penjumlahan 1 atau 2 adalah

$\sum_{i=0}^{i=5}\frac{(5+i)!}{(5-i)!(2i)!}$

= $\frac{(5+0)!}{(5-0)!(2 \cdot 0)!}+\frac{(5+1)!}{(5-1)!(2 \cdot 1)!}+\frac{(5+2)!}{(5-2)!(2 \cdot 2)!}+\frac{(5+3)!}{(5-3)!(2 \cdot 3)!}+\frac{(5+4)!}{(5-4)!(2 \cdot 4)!}+\frac{(5+5)!}{(5-5)!(2 \cdot 5)!}$

= $\frac{(5)!}{(5)!(0)!}+\frac{(6)!}{(4)!(2)!}+\frac{(7)!}{(3)!(4)!}+\frac{(8)!}{(2)!(6)!}+\frac{(9)!}{(1)!(8)!}+\frac{(10)!}{(0)!(10)!}$

= 1 + 15 + 35 + 28 + 9 + 1 = 89
Judul: Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
Ditulis oleh: Sky pada September 18, 2009, 02:20:31 AM: Hmm...
Sbenarnya topik ini akan sangat menarik klo kita tau cra merumuskanny.
Coba analisis menggunakan konsep kombinatorika.
Hint:
ini tentang banyaknya cara yg dapat kita lakukan utk menyusun angka 1 dn 2.
Ayo...mumpung liburan...
Judul: Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada September 22, 2009, 06:41:36 AM: Sekarang dilanjut dengan penjumlahan 1,2,...,n-1 untuk menjadi n, dengan n mulai dari 2.
Kalau sebelumnya seperti 1+2 dan 2+1 dianggap berlainan sehingga dihitung 2 kali sekarang dianggap 1 kali.

contoh :
2=1+1, (1 cara)
3=1+2, 1+1+1 (2 cara)
4=1+3, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1 (4 cara)
5=1+4, 2+3, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+3, 1+1+1+1+1 (6 cara)
6=1+5, 1+2+4,1+2+3,1+1+2+2,1+1+1+1+2,1+1+1+3,1+1+1+1+1+1, 2+4, 2+2+2, 3+3(10 cara)
dst...

Tentukan bentuk rumus umumnya !
Judul: Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
Ditulis oleh: Sky pada Oktober 01, 2009, 02:14:41 PM: Wah... sekarang masalahnya diperluas...

Aku ga ada ide nih...
Ada hint nya ga ya?
Judul: Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada Oktober 02, 2009, 11:57:07 PM: Hint : Tentukan masing2 bentuk penjumlahan yang terdiri dari 2 angka, terdiri dari 3 angka,....., terdiri dari n angka.

Kalau n=6 misalnya
yang terdiri dari 2 angka ==> 1+5,2+4,3+3
yang terdiri dari 3 angka ==> 1+2+3,1+1+4,2+2+2
yang terdiri dari 4 angka ==> 1+1+2+2,1+1+1+3
yang terdiri dari 5 angka ==> 1+1+1+1+2
yang terdiri dari 6 angka ==> 1+1+1+1+1+1
tentukan cari merumuskan masing2, lalu gabungkan.
Judul: Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
Ditulis oleh: Sky pada Desember 20, 2009, 03:51:55 AM: Hmm!
Ini sangat menarik, sebenarnya saya berusaha mengangkat problem ini untuk mengungkapkan suatu hipotesis. Tapi ternyata untuk problem yang diajukan mas mataram, hipotesisnya masih sama...

Oya, mas, aku udah nyari-nyari selama berbulan-bulan ini tapi masih belum ketemu cara merumuskannya...
Jadi, solusinya gimana?
Judul: Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada Desember 21, 2009, 02:36:10 PM: @Sky
Saudara, sudah melihat hubungannya dengan segitiga pascal...luar biasa.

Solusinya...?? Dapat dikatakan solusinya cukup mendebarkan...haha
Perlu ketenangan untuk berpikir. Pokoknya coba terus, kalo sudah ketemu jangan tergesa2 ditulis di forsa...haha