Gunakan MimeTex/LaTex untuk menulis simbol dan persamaan matematika.

Selamat datang, Pengunjung. Silahkan masuk atau mendaftar. Apakah anda lupa aktivasi email?

Juli 29, 2021, 01:25:38 AM

Masuk dengan nama pengguna, kata sandi dan lama sesi

Topik Baru

Artikel Sains

Anggota
Stats
  • Total Tulisan: 139657
  • Total Topik: 10399
  • Online Today: 50
  • Online Ever: 441
  • (Desember 18, 2011, 12:48:51 AM)
Pengguna Online
Users: 0
Guests: 46
Total: 46

Ikuti ForSa

ForSa on FB ForSa on Twitter

Penulis Topik: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan  (Dibaca 10421 kali)

0 Anggota dan 1 Pengunjung sedang melihat topik ini.

Offline Sky

  • Dosen
  • ****
  • Tulisan: 473
  • IQ: 36
  • Gender: Pria
Hai teman-teman....
Maaf baru muncul nih...
Semoga topik ini belum ada yang mempost...

Aku dapat satu soal menarik dari temenku...

"Jika diberikan suatu bilangan bulat n positif, ada berapa cara menyatakan bilangan itu sebagai penjumlahan angka
1 atau 2, dengan memperhatikan urutan penjumlahannya?"

Contoh:
1. Saya punya bilangan n=3, maka cara untuk menyatakannya sebagai penjumlahan angka 1 atau 2:
    3=1+1+1
    3=1+2
    3=2+1
    Jadi, ada 3 cara....
2. Saya punya n=1
    1=1
    Jadi ada 1 cara...
3. Saya punya n=2
    2=1+1
    2=2
    Jadi ada 2 cara....


Tadinya saya mau post ini di forum Olah-Otak, tapi karena jawaban yang didapat nanti "cukup
mengejutkan", saya juga ingin kita bahas bareng2....

Ayo....Selamat menikmati.....

Offline raisuien

  • Profesor
  • *****
  • Tulisan: 6.359
  • IQ: 334
  • Gender: Pria
Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
« Jawab #1 pada: September 15, 2009, 03:00:07 PM »
klo n = 4
4 = 1+1+1+1
4 = 2+2
4 = 1+2+1
4 = 2+1+1
4 = 1+1+2

maksudnya begini?

Offline Sky

  • Dosen
  • ****
  • Tulisan: 473
  • IQ: 36
  • Gender: Pria
Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
« Jawab #2 pada: September 15, 2009, 03:51:38 PM »
Yap, untuk n=4 ada 5 cara.

Sekarang jika saya ingin n adalah suatu bilangan bulat sembarang, ada berapa cara untuk menuliskannya?
(tentunya yang dalam bentuk hitungan, bukan enumerasi kayak tadi...)

Mtk Kerajaan Mataram

  • Pengunjung
Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
« Jawab #3 pada: September 15, 2009, 05:16:33 PM »
Yoo diotak-atik...

2=1+1  (1 kemungkinan)
4=2+2
  =2+1+1=1+2+1=1+1+2
  =1+1+1+1    (5 kemungkinan)
8=2+2+2+2  sebanyak 1 kemungkinan
  =1+1+2+2+2=...=2+2+2+1+1  sebanyak 5!/2!3!= 10 kemungkinan
  =1+1+1+1+2+2=...= 2+2+1+1+1+1 sebanyak 6!/4!2!= 15 kemungkinan
  =1+1+1+1+1+1+2=...=2+1+1+1+1+1+1  sebanyak 7!/6!1!= 7 kemungkinan
  =1+1+1+1+1+1+1+1 sebanyak 1 kemungkinan
  Untuk 8 ada 34 (=1+10+15+7+1) kemungkinan.

Silahkan diraba bentuk umumnya....
« Edit Terakhir: September 15, 2009, 05:46:35 PM oleh Mtk Kerajaan Mataram »

Offline Sky

  • Dosen
  • ****
  • Tulisan: 473
  • IQ: 36
  • Gender: Pria
Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
« Jawab #4 pada: September 15, 2009, 08:18:38 PM »
Koreksi buat Om mataram, harusnya untuk n=2, ada 2 kemungkinan

Ayo, yang lain silakan ikut mencoba....

Offline Nabih

  • Profesor
  • *****
  • Tulisan: 934
  • IQ: 141
  • Gender: Pria
  • Bosen avatar kosong mulu
    • Pecinta Olimpiade Matematika Mahasiswa
Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
« Jawab #5 pada: September 16, 2009, 06:28:40 AM »
klo n = 4
4 = 1+1+1+1
4 = 2+2
4 = 1+2+1
4 = 2+1+1
4 = 1+1+2
4 = 1+3
4 = 3+1
kok jadi 7 cara, salahkah aku?


Website Matematika Terapan => http://nabihbawazir.com

Offline HyawehHoshikawa

  • Dosen
  • ****
  • Tulisan: 499
  • IQ: 22
  • Gender: Pria
  • ehm...gua itu cowo' yah...
Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
« Jawab #6 pada: September 16, 2009, 07:45:51 AM »
baca soalnya dulu bung...
diatas kan dibilangnya cuman bole make angka 1 ama 2...
Rationality alone isn't enough, the world is Complex.

Offline Sky

  • Dosen
  • ****
  • Tulisan: 473
  • IQ: 36
  • Gender: Pria
Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
« Jawab #7 pada: September 16, 2009, 02:02:04 PM »
Ayolah....
Belum ada yang berusaha merumuskannya, ya?

Mtk Kerajaan Mataram

  • Pengunjung
Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
« Jawab #8 pada: September 16, 2009, 04:51:26 PM »

3=2+1=1+2                    ==> \frac{2!}{1!1!} =2 kemungkinan

 =1+1+1                        ==> 1 kemungkinan

  Total = 1+2=3 kemungkinan

4=2+2                            ==> 1 kemungkinan

 =1+1+2=1+2+1=2+1+1     ==> \frac{3!}{2!1!} =3 kemungkinan

 =1+1+1+1                      ==> 1 kemungkinan

  Total= 1+3+1=5 kemungkinan

5=2+2+1=...=1+2+2           ==> \frac{3!}{2!1!} =3 kemungkinan

 =2+1+1+1=...=1+1+1+2     ==> \frac{4!}{3!1!} =4 kemungkinan

 =1+1+1+1+1                    ==> 1 kemungkinan

  Total= 3+4+1=8 kemungkinan

6=2+2+2                           ==> 1 kemungkinan

 =2+2+1+1=...                    ==> \frac{4!}{2!2!} =6 kemungkinan

 =2+1+1+1+1=...                 ==> \frac{5!}{1!4!} =5 kemungkinan

 =1+1+1+1+1+1                   ==> 1 kemungkinan

  Total= 1+6+5+1=13 kemungkinan

Jika n genap, katakan n=2k

n=2+2+...+2                         ==> 1 kemungkinan

 =2+2+...+2+1+1=...              ==> \frac{(k-1+2)!}{(k-1)!2!}

 =2+...+2+1+1+1+1=...           ==> \frac{(k-2+4)!}{(k-2)!4!}

 .......

 =2+2+1+1+...+1+1=...           ==> \frac{(2+2(k-2))!}{2!(2(k-2))!}

 =2+1+1+...+1+1=...               ==> \frac{(1+2(k-1))!}{1!(2(k-1))!}

 =1+1+...+1+1                         ==> 1 kemungkinan 


Jadi, banyaknya kemungkinan susunan penjumlahan 1 atau dua untuk n bilangan genap dengan n=2k adalah M, dengan

M = 1+\frac{(k-1+2)!}{(k-1)!2!}+\frac{(k-2+4)!}{(k-2)!4!}+...+\frac{(2+2(k-2))!}{2!(2(k-2))!}+\frac{(1+2(k-1))!}{1!(2(k-1))!}+1

   = \frac{(k+2\cdot 0)!}{(k)!0!}+\frac{(k-1+2\cdot 1)!}{(k-1)!2!}+\frac{(k-2+2\cdot 2)!}{(k-2)!4!}+...+\frac{(2+2(k-2))!}{2!(2(k-2))!}+\frac{(1+2(k-1))!}{1!(2(k-1))!}+\frac{(0+2k)!}{0!(2k)!}

   = \sum_{i=0}^{i=k}\frac{(k-i+2i)!}{(k-i)!(2i)!}

   = \sum_{i=0}^{i=k}\frac{(k+i)!}{(k-i)!(2i)!}


Silahkan coba untuk n ganjil...

Offline Sky

  • Dosen
  • ****
  • Tulisan: 473
  • IQ: 36
  • Gender: Pria
Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
« Jawab #9 pada: September 17, 2009, 02:09:12 AM »
Wuish Mas mataram keren....
Ayo dong... yang lain coba yang ganjilnya...
Aku tunggu 24 jam...

Offline nash

  • Profesor
  • *****
  • Tulisan: 728
  • IQ: 52
  • Gender: Pria
  • i-will-always-love-math-!
Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
« Jawab #10 pada: September 17, 2009, 02:56:54 AM »
~ga ngerti--
"Perhaps it is good to have a beautiful mind, but an even greater gift is to discover a beautiful heart"

(John Nash, "A Beautiful Mind")

Mtk Kerajaan Mataram

  • Pengunjung
Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
« Jawab #11 pada: September 17, 2009, 04:46:15 AM »
Contoh2 penghitungan untuk n yang genap dengan \sum_{i=0}^{i=k}\frac{(k+i)!}{(k-i)!(2i)!}  :

1)  n = 4, maka k=2, sehingga banyaknya cara untuk membuat penjumlahan 1 atau 2 adalah
   
      \sum_{i=0}^{i=2}\frac{(2+i)!}{(2-i)!(2i)!}
     
    = \frac{(2+0)!}{(2-0)!(2 \cdot 0)!}+\frac{(2+1)!}{(2-1)!(2 \cdot 1)!}+\frac{(2+2)!}{(2-2)!(2 \cdot 2)!}

    = \frac{(2)!}{(2)!(0)!}+\frac{(3)!}{(1)!(2)!}+\frac{(4)!}{(0)!(4)!}

    = 1 + 3 + 1 =5

2)  n = 6, maka k=3, sehingga banyaknya cara untuk membuat penjumlahan 1 atau 2 adalah
   
      \sum_{i=0}^{i=3}\frac{(3+i)!}{(3-i)!(2i)!}
     
    = \frac{(3+0)!}{(3-0)!(2 \cdot 0)!}+\frac{(3+1)!}{(3-1)!(2 \cdot 1)!}+\frac{(3+2)!}{(3-2)!(2 \cdot 2)!}+\frac{(3+3)!}{(3-3)!(2 \cdot 3)!}

    = \frac{(3)!}{(3)!(0)!}+\frac{(4)!}{(2)!(2)!}+\frac{(5)!}{(1)!(4)!}+\frac{(6)!}{(0)!(6)!}

    = 1 + 6 + 5 + 1 = 13

3)  n = 8, maka k=4, sehingga banyaknya cara untuk membuat penjumlahan 1 atau 2 adalah
   
      \sum_{i=0}^{i=4}\frac{(4+i)!}{(4-i)!(2i)!}
     
    = \frac{(4+0)!}{(4-0)!(2 \cdot 0)!}+\frac{(4+1)!}{(4-1)!(2 \cdot 1)!}+\frac{(4+2)!}{(4-2)!(2 \cdot 2)!}+\frac{(4+3)!}{(4-3)!(2 \cdot 3)!}+\frac{(4+4)!}{(4-4)!(2 \cdot 4)!}

    = \frac{(4)!}{(4)!(0)!}+\frac{(5)!}{(3)!(2)!}+\frac{(6)!}{(2)!(4)!}+\frac{(7)!}{(1)!(6)!}+\frac{(8)!}{(0)!(8)!}

    = 1 + 10 + 15 + 7 + 1 = 34

4)  n = 10, maka k=5, sehingga banyaknya cara untuk membuat penjumlahan 1 atau 2 adalah
   
      \sum_{i=0}^{i=5}\frac{(5+i)!}{(5-i)!(2i)!}
     
    = \frac{(5+0)!}{(5-0)!(2 \cdot 0)!}+\frac{(5+1)!}{(5-1)!(2 \cdot 1)!}+\frac{(5+2)!}{(5-2)!(2 \cdot 2)!}+\frac{(5+3)!}{(5-3)!(2 \cdot 3)!}+\frac{(5+4)!}{(5-4)!(2 \cdot 4)!}+\frac{(5+5)!}{(5-5)!(2 \cdot 5)!}

    = \frac{(5)!}{(5)!(0)!}+\frac{(6)!}{(4)!(2)!}+\frac{(7)!}{(3)!(4)!}+\frac{(8)!}{(2)!(6)!}+\frac{(9)!}{(1)!(8)!}+\frac{(10)!}{(0)!(10)!}

    = 1 + 15 + 35 + 28 + 9 + 1 = 89

Offline Sky

  • Dosen
  • ****
  • Tulisan: 473
  • IQ: 36
  • Gender: Pria
Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
« Jawab #12 pada: September 18, 2009, 02:20:31 AM »
Hmm...
Sbenarnya topik ini akan sangat menarik klo kita tau cra merumuskanny.
Coba analisis menggunakan konsep kombinatorika.
Hint:
ini tentang banyaknya cara yg dapat kita lakukan utk menyusun angka 1 dn 2.
Ayo...mumpung liburan...

Mtk Kerajaan Mataram

  • Pengunjung
Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
« Jawab #13 pada: September 22, 2009, 06:41:36 AM »
Sekarang dilanjut dengan penjumlahan 1,2,...,n-1 untuk menjadi n, dengan n mulai dari 2.
Kalau sebelumnya seperti 1+2 dan 2+1 dianggap berlainan sehingga dihitung 2 kali sekarang dianggap 1 kali.

contoh :
2=1+1,                                              (1 cara)
3=1+2, 1+1+1                                      (2 cara)
4=1+3, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1                    (4 cara)
5=1+4, 2+3, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+3, 1+1+1+1+1      (6 cara)
6=1+5, 1+2+4,1+2+3,1+1+2+2,1+1+1+1+2,1+1+1+3,1+1+1+1+1+1, 2+4, 2+2+2, 3+3(10 cara)
dst...

Tentukan bentuk rumus umumnya !

Offline Sky

  • Dosen
  • ****
  • Tulisan: 473
  • IQ: 36
  • Gender: Pria
Re: Banyaknya cara untuk menyatakan bilangan bulat sebagai suatu penjumlahan
« Jawab #14 pada: Oktober 01, 2009, 02:14:41 PM »
Wah... sekarang masalahnya diperluas...

Aku ga ada ide nih...
Ada hint nya ga ya?

 

Related Topics

  Subyek / Dimulai oleh Jawaban Tulisan terakhir
1 Jawaban
5879 Dilihat
Tulisan terakhir Mei 22, 2007, 07:56:16 AM
oleh mozzpunkz
1 Jawaban
8102 Dilihat
Tulisan terakhir April 03, 2010, 01:04:16 PM
oleh MonDay
6 Jawaban
4624 Dilihat
Tulisan terakhir Januari 09, 2012, 02:35:18 PM
oleh halloween
1 Jawaban
3310 Dilihat
Tulisan terakhir Desember 19, 2011, 11:00:08 AM
oleh mhyworld
0 Jawaban
158296 Dilihat
Tulisan terakhir Oktober 24, 2013, 12:03:43 AM
oleh mamette