Cetak Halaman - Bilangan kompleks

Judul: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: superstring39 pada Januari 06, 2009, 08:34:39 AM

Dalam matematika ada yang disebut persamaan kompleks, yakni persamaan yang mengandung bilangan imajener. sudah sedikit dibahas di sutu thread di Fisika tentang bilnagan ini yakni:
$\sqr{-1} = i$
dimana i adalah komponen bilangan imajener. dalam fisika persamaan kompleks digunakan untuk menggambarkan fenomena fisika yang tidak bisa dijelaskan dengan keadaan real.
mungkin bagi yang lebih paham matematika bisa menambahkan soalnya saya sendiri sudah agak lupa ::)

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada Januari 06, 2009, 12:38:53 PM

Secara Aljabar begini, dalam field (yaitu ring komutatif yang setiap anggota tak nolnya punya invers) bilangan real dan operasi binernya penjumlahan dan perkalian, maka R[X] merupakan himpunan semua polinomial (suku banyak) dengan koefisiennya merupakan anggota field R.
Misalkan f adalah polinomial anggota R[X], kita tahu persamaan f(x)=0 tidak selalu akar-akarnya merupakan real atau dengan kata lain tidak selalu akar-akarnya anggota R.
Nah kemudian field R ini diperluas (yang lalu dikenal dengan extension field), yaitu ke himupunan yang diebut komplek, yaitu C. polinomial2 yang tidak reducible (yaitu dapat dituliskan sebagai perkalian polinomial2 irreducible) di R menjadi reduclible di C.

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: superstring39 pada Januari 07, 2009, 09:45:33 AM

Beraat nich...

Truzz maksudnya apa?

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: utusan langit pada Januari 07, 2009, 05:51:47 PM

iyah nich,..... pake bahasa yang lebih mudah gitu,..... hehehehehhe!!!!

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: Sky pada April 11, 2009, 06:48:45 AM

Biar saya tebak...

Maksudnya, bilangan kompleks ada supaya fungsi polinomial f(x) berderajat n memiliki sejumlah n bilangan x yang mungkin agar f(x)=0.

Contohnya, kalo f(x) berderajat 2 ( misal ax² + bx + c), berarti ada 2 nilai x yang dapat membuat f(x)=0..

gitu bukan k?

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada April 12, 2009, 05:28:52 PM

@Sky
Intuisi yang bagus, bahasan ini sebenarnya menjadi bagian dari matematika aljabar abstrak. Bahasan ini sebagai pengawalan untuk masuk ke teori Galois. bilangan real adalah perluasan field dari bilangan rasional, dan bilangan kompleks adalah perluasan field dari bilangan real.

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada April 12, 2009, 08:05:56 PM

kalo' f(x) = ax^x + C
itu bilangan komplex apa bukan?

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada April 13, 2009, 01:15:06 PM

Kutip dari: HyawehHoshikawa pada April 12, 2009, 08:05:56 PM
kalo' f(x) = ax^x + C
itu bilangan komplex apa bukan?

Ini adalah fungsi dalam a,x, dan C kalau semuanya dianggap variabel. Positif thinking saya mengatakan bahwa x-nya yang variabel.
Mungkin yang dimaksud adalah jika f(x)=0, apakah ada akar2 yang imaginer?
Kita lihat sbb :
ax^x + C=0
Dan selanjutnya ini adalah masalah logaritma dan pangkat yang berkisar pada daerah pangkat real positif.

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: nash pada April 25, 2009, 09:54:23 AM

setau gw yg namanya bil. kompleks tuh bil. yg mgandung unsur bil. imajiner (i),
cntoh: 6i + 3, 2i - 3, dll

ada operasi htung yg brlaku jga pada bil. kompleks, spt pnjumlahan, pngurangan, perkalian, dan pmbagian.

trus utk penerapannya, yg paling trkenal adlh bahwa bil. kompleks dgunakan dalam pembuatan fraktal (mgenai teori chaos), jdi bil. kompleks mngimplementasikan koordinat hasil persamaan.

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: nash pada April 25, 2009, 10:03:10 AM

operasi hitung bil.kompleks:

pnjumlahan
(3i + 4) + (5i + 6)
= 3i + 5i + 4 + 6
= 8i + 10

pengurangan
(4i + 3) - (2i + 1)
= 4i + 3 -2i -1
= 2i + 2

prkalian
(2i + 1).(3i + 4)
= 2i.3i + 4.2i + 1.3i + 4.1
= 6(-1) + 8i + 3i + 4
= 11i -2

knapa i x i = -1?
karena i = akar dari -1, maka kalo dua i dkalikan hasilny -1

trus utk pmbagian, aku ga ngerti ;-)

mav ya kalo salah, sisanya bisa diliat d wikipedia.

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada April 25, 2009, 11:38:43 AM

Misalkan (2i + 1) / (3i + 4) =xi+y, maka (xi+y)(3i + 4) = (2i + 1), kemudian
(xi+y)(3i + 4) = -3x +(4x+3y)i +4y = (4x+3y)i + (-3x+4y) = (2i + 1), sehingga diperoleh sistem persamaan :
4x+3y = 2
-3x+4y = 1
Dengan mudah kita peroleh x=1/5 , y=2/5, sehingga (2i + 1) / (3i + 4) =(1/5)i + (2/5).

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: nash pada April 25, 2009, 12:30:19 PM

@mtk kerajaan mataram

pnjelasanny dahsyat!
brilian!
kren bgtz

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: Sky pada April 25, 2009, 04:53:08 PM

dikali faktor sekawan juga bisa:

$\frac {(2i+1)}{3i+4} = xi+y$
$\frac {(2i+1)}{(3i+4)} \times \frac {3i-4}{3i-4} = xi+y$
$\frac {-6-4+3i-8i}{-9-16}=xi+y$
$\frac {5i+10}{25} = xi+y$
$\frac 15i + \frac 25 = xi+y$
$x=\frac 15 ; y= \frac 25$

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: Nabih pada Juni 22, 2009, 02:56:47 PM

Kutip dari: Sky pada April 25, 2009, 04:53:08 PM
dikali faktor sekawan juga bisa:

$\frac {(2i+1)}{3i+4} = xi+y$
$\frac {(2i+1)}{(3i+4)} \times \frac {3i-4}{3i-4} = xi+y$
$\frac {-6-4+3i-8i}{-9-16}=xi+y$
$\frac {5i+10}{25} = xi+y$
$\frac 15i + \frac 25 = xi+y$
$x=\frac 15 ; y= \frac 25$

Apakah ada pemangkatan untuk bilangan imajiner, bilangan imajiner sebagai pangkat

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: nash pada Juni 22, 2009, 03:04:37 PM

menjadikan i sbg pangkat?
lha kan ada di
$e^{i\pi} + 1 = 0$

ntar dlu dh aku cari referensinya dulu

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: Sky pada Juni 23, 2009, 01:27:16 AM

Ada, malah penyajian bilangan kompleks memiliki 3 cara:
Jika z adalah suatu bilangan kompleks:

*Rectangular:(koordinat kartesian, sumbu real-imajiner)
$z=a+bi=(a,b)$
(a di sumbu real, b di sumu imajiner)

*Polar:(koordinat polar)
z dinyatakan dalam r dan $\theta$ , hubungannya dengan Rectangular:
$\theta=Arctan\left(\frac ba\right)$
$r=a^2+b^2$

*Exponensial
z dinyatakan dalam r dan $\theta$ , hubungannya dengan Polar:
$z=re^{\theta i}$

Bentuk2 ini sangat membantu perhitungan, contohnya jika menggunakan penjumlahan dan pengurangan, akan lebih mudah menggunakan bentuk rectangular, sedangkan untuk perkalian dan pembagian lebih mudah menggunakan bentuk eksponensial.

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: Nabih pada Juni 26, 2009, 12:54:56 PM

@Sky IQ+1 untuk dirimu dech

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada Juni 26, 2009, 03:05:42 PM

@sky,
minta penjelasan lebih lanjut dong...
misal ada gambar grafiknya gitu ga'?
apa x jadi sumbu real terus y nya sumbu imaginer ato gimana?

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: Sky pada Juni 28, 2009, 12:30:53 AM

Yoi... benar,,,

Jadi, r bisa didapat menggunakan teorema Phytaghoras

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: Nabih pada Juni 28, 2009, 07:19:06 PM

Bilangan imajiner didapat dari mana?

lalu, manfaatnya buat apa?

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada Juni 28, 2009, 10:23:53 PM

1.dari persamaan kuadrat kan?

2. at the very least:
Kalo di persamaan kuadrat akar2 nya imajiner berarti ga memotong garis.
gitu kali' yah?...

ada yang maw nambahin???

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: nash pada Juni 29, 2009, 07:13:14 AM

bilangan imajiner digunakan untuk memetakan titik-titik dalam pembuatan pola fraktal (teori chaos)

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: Sky pada Juli 01, 2009, 07:53:13 PM

...metode yang digunakan untuk menganalisis rangkaian listrik, dan juga menganalisis persamaan differensial...
Bilangan ini digunakan untuk memperluas konsep teori bilangan...

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada Juli 25, 2009, 11:42:38 AM

Kutip dari: Sky pada Juni 23, 2009, 01:27:16 AM
*Polar:(koordinat polar)
z dinyatakan dalam r dan $\theta$ , hubungannya dengan Rectangular:
$\theta=Arctan\left(\frac ba\right)$
$r=a^2+b^2$

*Exponensial
z dinyatakan dalam r dan $\theta$ , hubungannya dengan Polar:
$z=re^{\theta i}$

yang rectangular tu i-nya mana?apa karena i² = real?
terus untuk polar tu apa r=jari2, $\theta$ = sudutnya?

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada Agustus 05, 2009, 11:25:09 PM

baru dapet ide.... ;D
bilangan komplex bisa dipake' buat nentuin fungsi trigonometri kaga'?
misalnya ada soal:
R = 5
$x^2 + y^2 = 25$
terus dikasi
$\theta = \arcsin(2)$
$\sin(\theta) = \frac{y}{r}$
berarti y = 10
$x^2 + y^2 = 25$
$x^2 = -75$
$x = 5i\sqrt{3}$
$\tan(\theta) = \frac{10}{5i\sqrt{3}}$
$\cos(\theta) = i\sqrt{3}$
bla bla bla...
bisa ga nilai $\theta$ dinyatakan dalam bilangan kompleks?

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: Sky pada Agustus 07, 2009, 07:21:13 AM

Kutip dari: HyawehHoshikawa pada Agustus 05, 2009, 11:25:09 PM
baru dapet ide.... ;D
bilangan komplex bisa dipake' buat nentuin fungsi trigonometri kaga'?
misalnya ada soal:
R = 5
$x^2 + y^2 = 25$
terus dikasi
$\theta = \arcsin(2)$
$\sin(\theta) = \frac{y}{r}$
berarti y = 10
$x^2 + y^2 = 25$
$x^2 = -75$
$x = 5i\sqrt{3}$
$\tan(\theta) = \frac{10}{5i\sqrt{3}}$
$\cos(\theta) = i\sqrt{3}$
bla bla bla...
bisa ga nilai $\theta$ dinyatakan dalam bilangan kompleks?

hm...
$sin\theta=2$ ga ada lho...

Tapi idenya memang bagus, bilangan kompleks punya hubungan erat dengan fungsi trigonometri.

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada Agustus 19, 2009, 01:26:10 PM

hehe...
tertarik ni ama bilangan kompleks walopun ga dong apa-apa soal bilangan kompleks...
$e^{ix} =cos(x) + i\sin(x)$
nah...itu kan fungsi trigonometri tuh,
terus
$(-1)^n = -\cos(n)$ (dengan n=bil.bulat)
ini cuman kebetulan ato entah bagaimana persamaan kedua itu adalah persamaan yang diturunkan dari persamaan pertama?
@sky
hmm...persamaan kompleks bisa ga dinyatakan dalam bentuk logaritma?baik pada basisnya yang kompleks atopun "targetnya" (gw ga tau namanya =P); kalo' bisa kereeeeeen tuh!

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: Sky pada Agustus 23, 2009, 01:52:08 PM

Kutip dari: HyawehHoshikawa pada Agustus 19, 2009, 01:26:10 PM
hehe...
tertarik ni ama bilangan kompleks walopun ga dong apa-apa soal bilangan kompleks...
$e^{ix} =cos(x) + i\sin(x)$
nah...itu kan fungsi trigonometri tuh,
terus
$(-1)^n = -\cos(n)$ (dengan n=bil.bulat)
ini cuman kebetulan ato entah bagaimana persamaan kedua itu adalah persamaan yang diturunkan dari persamaan pertama?
@sky
hmm...persamaan kompleks bisa ga dinyatakan dalam bentuk logaritma?baik pada basisnya yang kompleks atopun "targetnya" (gw ga tau namanya =P); kalo' bisa kereeeeeen tuh!

Hmm... persamaan yang ditebalkan itu dapat darimana?
Kalo dicoba n suatu bilangan bulat, jelas tidak memenuhi.

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada Agustus 23, 2009, 07:37:14 PM

ralat:
$(-1)^n = -cos(n* /pi)<br />iya sih, emang...<br />tapi maksudnya kan di persamaannya euler<br />kan:<br />[tex]e^{in} = cos(n) + i sin(n)$
nah...disitu kan ada penambahan bil.Imajiner, jadinya mungkin entah bagaimana kalo' "n" bukan bil.bulat maka nilainya jadi ada bil.Imajinernya...

Judul: Re: Bilangan kompleks
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada Februari 18, 2010, 11:20:32 PM

dari $e^{i\pi n} = cos(\pi n)+i sin(\pi n)$
mungkin $sin(x)$ juga bisa pake $sin(x) = i sinh(ix)$ terus $sinh(ix) = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}2$
tur terus mboh...
=p

Judul: Re:Bilangan kompleks
Ditulis oleh: akunden pada Juli 01, 2014, 04:37:30 PM

ada yang bisa menjabarkan

sinh (a+jb)=
cosh (a+jb)=
tanh (a+jb)=

Judul: Re:Bilangan kompleks
Ditulis oleh: zoldik pada Agustus 28, 2014, 11:28:40 PM

sebenarnya bilangan imajiner tidak bisa dibayangkan dengan hanya menerjemahkan namanya, bilangan ini pertama kali datang dari persamaan kuadarat akar -1, akar -2, akar -3, akar -4 dan seterusnya.

untuk mempermudah para pakar teori menamakan akar -1 dengan i, jadi akar -4 jadi 2 x akar -1 atau 2i. dan seterusnya.

karena kita hanya mengetahui bilangan real seperti 0, phi, 1;2;akar2; dll maka tentulah para pakar mtk harus meletakan i dalam dimensi yg berbeda.

buatlah sebuah garis horizantal yg berisi bilangan real kemudian buat lagi garis fertikal yg berisi bilangan imajiner (i). begitulah cara pakar menempatkan bilangan ini, semuanya hanya teori bukan imajiner spt kita sedang membayangkan sesuatu. sama seperti garis x dan y, grafik jarak dan waktu, massa dan grafitasi, semua itu jga teoritis. kalau kita mau buat jarak di garis horizontal dan waktu di garis vertikal atau sebaliknya. kita tdk dapat membayangkan jarak pada garis horizontal yg sesungguhnya.

demikian pula fungsinya, ini hanya masalah kesamaan pola, apakah data percobaan memang mengikuti pola yg digunakan. spt itu pula bil kompleks, tidak bisa dibayangkan untuk menggunakan bil kompleks kita haus memplotkannya pada partikel imajiner atau anti partikel misalnya.

setahu saya bil komplek digunakan pada bidang kajian teknik elektro, dan geometri fraktal pada mandelbort set, coba tonton video singkat berikut u lebih jlasnya :
https://www.youtube.com/watch?v=NGMRB4O922I

Judul: Re:Bilangan kompleks
Ditulis oleh: Sandy_dkk pada Agustus 30, 2014, 06:44:45 PM

Kutip dari: akunden pada Juli 01, 2014, 04:37:30 PM
ada yang bisa menjabarkan

sinh (a+jb)=
cosh (a+jb)=
tanh (a+jb)=

sinh (a+jb) = sin a cos b - j cosh a sin b

cosh (a+jb) = cosh a cos b + j sinh a sin b

tanh (a+jb) = sinh (a+jb) / cosh (a+jb)

Forum Sains Indonesia

Ilmu Alam => Matematika => Topik dimulai oleh: superstring39 pada Januari 06, 2009, 08:34:39 AM