Gunakan MimeTex/LaTex untuk menulis simbol dan persamaan matematika.

Welcome to Forum Sains Indonesia. Please login or sign up.

Oktober 07, 2022, 12:44:43 PM

Login with username, password and session length

Topik Baru

Artikel Sains

Anggota
Stats
  • Total Tulisan: 139,637
  • Total Topik: 10,394
  • Online today: 36
  • Online ever: 441
  • (Desember 17, 2011, 09:48:51 AM)
Pengguna Online
Users: 0
Guests: 30
Total: 30

Aku Cinta ForSa

ForSa on FB ForSa on Twitter

Integral Garis

Dimulai oleh Sky, Desember 19, 2009, 02:19:46 PM

« sebelumnya - berikutnya »

0 Anggota dan 1 Pengunjung sedang melihat topik ini.

Sky

Integral Garis

Berhubung, Hoshikawa minta dibikinin trit tentang integral garis. Yuk kita diskusi tentang integral garis di sini.
Yang dimaksud Integral Garis, adalah Integrasi yang dilakukan sepanjang garis tertentu.

Untuk suatu fungsi skalar f, yang diintegralkan sepanjang suatu kurva "mulus" C,
yang memiliki potongan infitesimal kurva sepanjang ds, Integral garis didefinisikan:

\int_Cfds

dimana,
ds=\left|\frac{d\vec r}{dt}\right|dt

dan \vec r(t):[a,b] -> C adalah persamaan parametrisasi kurva C, yang memiliki titik awal di a, dan titik akhir di b.

Nah, kalo a=b (titik awal dan akhir sama), maka integral ini disebut integral kurva tertutup (closed line integral), penulisannya jadi:

\oint_C fds

Jika \vec F adalah fungsi yang berbentuk vektor, maka definisi dimodifikasi sedikit. Integral garis fungsi vektor \vec F pada kurva C, yang dinyatakan oleh parametrisasi kurva \vec r(t) didefinisikan:

\int_C \vec F \bullet d\vec r

Kalo kurva C tertutup, jadi:

\oint_C \vec F \bullet d\vec r

Terdapat beberapa Teorema yang umum digunakan untuk integral garis.
Diantaranya, Teorema Green, Teorema Stokes, dan Teorema Gauss...

Nabih

Tanya, integral garis itu pada semesta real, kompleks, atau keduanya

HyawehHoshikawa

ooh...
gitu...
pantesan pertama kali kenalnya pas belajar magnet yang ada muter-muternya...{udah lupa rumusnya T_T}.
sip, terus kalo maw make integral garis buat ngitung volume benda putar gitu bisa ga???jadi luas sudut1+luas sudut 2+... gitu
terus cara pake-nya gimana??? hehe
Rationality alone isn't enough, the world is Complex.

Mtk Kerajaan Mataram

Kutip dari: Nabih pada Desember 19, 2009, 06:32:57 PM
Tanya, integral garis itu pada semesta real, kompleks, atau keduanya

Yup, integral garis merambah dari real sampai kompleks.

Kutip dari: HyawehHoshikawa pada Desember 20, 2009, 01:31:56 PM
ooh...gitu...pantesan pertama kali kenalnya pas belajar magnet yang ada muter-muternya...{udah lupa rumusnya T_T}.
sip, terus kalo maw make integral garis buat ngitung volume benda putar gitu bisa ga???jadi luas sudut1+luas sudut 2+... gitu
terus cara pake-nya gimana??? hehe
Pada umumnya, integral garis tidak membahas bagaimana menghitung volume jika fungsinya diputar sepanjang sumbunya yang merupakan suatu kurva yang sering berupa berkelok-kelok.
Dalam kasus2 tertentu, mungkin integral luasan bisa menghitung beberapa bangun hasil rotasi pada integral yang biasanya diajarkan di sma.

@Sky

Sekalian yuk dikasih contoh soal.




HyawehHoshikawa

ayo dikasi contoh soal dulu...
sama pembahasan tapi...hehe...
Rationality alone isn't enough, the world is Complex.

Mtk Kerajaan Mataram

Kutip dari: Sky pada Desember 19, 2009, 02:19:46 PM
Integral Garis
Berhubung, Hoshikawa minta dibikinin trit tentang integral garis. Yuk kita diskusi tentang integral garis di sini.
Yang dimaksud Integral Garis, adalah Integrasi yang dilakukan sepanjang garis tertentu.
Untuk suatu fungsi skalar f, yang diintegralkan sepanjang suatu kurva "mulus" C,
yang memiliki potongan infitesimal kurva sepanjang ds, Integral garis didefinisikan:
\int_Cfds
dimana,
ds=\left|\frac{d\vec r}{dt}\right|dt
dan \vec r(t):[a,b] -> C adalah persamaan parametrisasi kurva C, yang memiliki titik awal di a, dan titik akhir di b.

Diberikan kurva C(t)=(x(t),y(t)) , dengan a \leq t \leq b, dan pasangan fungsi P(x,y), Q(x,y), maka integral garis

\int_C Pdx+Qdy

didefinisikan dengan

\int_C Pdx+Qdy=\int_{a}^{b} \[ P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)\]dt

Contoh :
Hitung \int_C xdy pada kurva C yang berupa segitiga dari (0,0), (p,0), (0,q), kembali ke (0,0).
Penyelesaian :
Bagi menjadi C1,C2,C3
C1 : (0,0) ke (p,0) ==> x=t, dengan o \leq t \leq p, y=0 ==>dy=0
\int_{C_1} xdy=0
C2 : (p,0) ke (0,q) ==> x=t, dengan p \leq t \leq 0,y= -\frac{q}{p}t+q ==>dy=-\frac{q}{p}dt
\int_{C_2} xdy=\int_{p}^{q}t(-\frac{q}{p}dt)=-\frac{q}{2p}t^2\]_{p}^{q}=\frac{q}{2p}(p^2-q^2)
C3 : (0,0) ke (p,0) ==> x=0
\int_{C_3} xdy=0

Jadi \int_C xdy=\frac{q}{2p}(p^2-q^2) .

Latihan :
Sekarang jika C mengikuti grafik y=x2 dari (0,0) ke (1,1) tentukan \int_C xdy.

Mungkin saudara Sky atau yang lain bisa memberikan soal2 lain.

HyawehHoshikawa

#6
haah...kok conto soalnya ngga balik ke titik 0,0 lagi? apa harus dibikin mbalik? terus kurvanya yang mbuat baliknya apa??
terus sori nih om, kok gw nangkepnya malah jadi kayak nginvers yah, integralnya?
\int^1_0 \sqrt y dy
(\frac{2y}3)^{\frac32}]^1_0
= 2/3
Rationality alone isn't enough, the world is Complex.

Mtk Kerajaan Mataram

@HyawehHoshikawa
misalnya dikasih mbaliknya, lalu lewat kurva x=y2 dari (1,1) ke (0,0).

Kutip dari: Sky pada Desember 19, 2009, 02:19:46 PM
Integral Garis
Jika \vec F adalah fungsi yang berbentuk vektor, maka definisi dimodifikasi sedikit. Integral garis fungsi vektor \vec F pada kurva C, yang dinyatakan oleh parametrisasi kurva \vec r(t) didefinisikan:

\int_C \vec F \bullet d\vec r


Misalkan \vec{F}=(3x-4y) \vec{i}+(4x+2y) \vec{j}, sedangkan C adalah melalui kurva ellips \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1 berlawanan arah jarum jam.
Maka
\int_C \vec F \bullet d\vec r=....

Sky

Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram link=topic=5547.msg65699#msg65699
Misalkan \vec{F}=(3x-4y) \vec{i}+(4x+2y) \vec{j}, sedangkan C adalah melalui kurva ellips \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1 berlawanan arah jarum jam.
Maka
\int_C \vec F \bullet d\vec r=....
Ikutan boleh kan..
Karena om Mataram belum kasih kurvanya, misalkan kurva C berasal dari titik (0,3) sampai ke titik (0,-3) berlawanan arah jarum jam....

Mtk Kerajaan Mataram

Parameter :
x= 2cos(t), y= 3sin(t), 0=< t =< 2pi

@Sky
Kalau dari (0,3) s.d. (0,-3) berarti cuma separo ellip dong..

Sky

@mataram
Oh, sori, karena integralnya ga ada buletannya, kupikir bukan kurva tertutup..
He.... maaf...