Member baru? Bingung? Perlu bantuan? Silakan baca panduan singkat untuk ikut berdiskusi.

Welcome to Forum Sains Indonesia. Please login or sign up.

Maret 28, 2024, 10:22:40 PM

Login with username, password and session length

Topik Baru

Artikel Sains

Anggota
Stats
  • Total Tulisan: 139,653
  • Total Topik: 10,405
  • Online today: 142
  • Online ever: 1,582
  • (Desember 22, 2022, 06:39:12 AM)
Pengguna Online
Users: 0
Guests: 111
Total: 111

Aku Cinta ForSa

ForSa on FB ForSa on Twitter

Pers DIfferensial Orde 2 non-linear

Dimulai oleh HyawehHoshikawa, September 27, 2009, 04:16:47 PM

« sebelumnya - berikutnya »

0 Anggota dan 1 Pengunjung sedang melihat topik ini.

HyawehHoshikawa

Rationality alone isn't enough, the world is Complex.

Mtk Kerajaan Mataram

Apakah yang ini PD-nya...

Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada September 19, 2009, 02:32:10 PM
\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{GM}{(A-x(t))^2}

Kalau yaa, maka misal kita ambil x(t) - nya salah satu dari yang dituliskan Mas Karno Giyantono, katakanlah x(t)=S_t = S_0 + V_0 \cdot t + \frac{1}{2}a_0 \cdot t^2. Lhoo tapi rumus jarak ini dengan mengambil asumsi percepatannya konstan sedangkan dalam hal ini percepatan gravitasinya berubah...Ah kita ambil sembarangan saja yang membuat percepatan gravitasi meningkat, misalnya x(t)=t+t^3, sehingga persamaan differensial menjadi :

\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{GM}{(A-(t+ t^3))^2}

Lalu

\frac{dx}{dt}=\int \frac{GM}{(A-(t+ t^3))^2}dt+C_1=H(t)+C_1

x=\int (H(t)+C_1)dt+C_2.

Ini hanya sebuah permisalan saja jika x(t)=t+t^3.

Sky

Hmm...
Terus H(t) itu apa?...
Andaikan x yang tadi adalah persamaan yang benar,
maka seharusnya kita bisa mendapatkan H(t).
karena:

x=\int (H(t) +C_1)dt+C_2
t+t^3=\int (H(t) +C_1)dt+C_2       //kemudian kedua ruas diturunkan
1+3t^2=H(t)+C_1

Tapi kita cek juga yang ini... (dengan mengganti H(t) )
\int \frac {GM}{(A-(t+t^3))^2}dt + C_1=1+3t^2    //kemudian kita turunkan kedua ruas
\frac {GM}{(A-(t+t^3))^2}=6t

Karena, ini jelas tidak sama, maka kita simpulkan pemisalan
x=t+t^3
tidak sesuai dengan x yang kita inginkan.

Lalu bagaimana jika pemisalan kita salah?
Kita anggap saja kita tidak tahu dulu.

Sekarang kita harus berpikir licik.
Ini adalah persamaan differensial orde 2, dan sayangnya ini nonlinear.
Kita usahakan dulu mengubahnya menjadi orde 1.
Misalnya dengan cara seperti ini:
\frac {d^2x}{dt^2}=\frac {GM}{(A-x)^2}
Kita tahu bahwa percepatan adalah turunan dari kecepatan (dalam hal ini, kecepatan arah sumbu x), maka:
\frac {dv}{dt}=\frac {GM}{(A-x)^2}
Lha, tapi kan sekarang ada 3 variabel? ada v, x dan t... terus gimana?
Nah, kita hilangkan salah satu variabel, yang jelas kita coba jangan ubah v, karena baru saja kita ganti jadi v.
Sedangkan variabel x tampaknya bentuknya masih terlalu rumit untuk disulih, jadi kita pilih t.
Pilihan yang kita punya adalah mengubah t menjadi v (karena tidak mungkin ke x, soalnya kita tidak tahu fungsinya)
Misalnya seperti ini:
\frac {dv}{dt}=\frac {GM}{(A-x)^2}            //kita gunakan aturan rantai

\frac {dv}{dx}\frac {dx}{dt}=\frac {GM}{(A-x)^2}

v\frac {dv}{dx}=\frac {GM}{(A-x)^2}        //bentuk ini ekivalen dengan:

\int vdv=\int \frac {GM}{(A-x)^2}dx

Nah, akhirnya bentuk ini lebih manusiawi untuk diselesaikan...

Coba dulu deh....

Mtk Kerajaan Mataram

Kutip dari: Sky pada September 30, 2009, 09:56:11 PM
Hmm...
Terus H(t) itu apa?...
Ini hanya pengganti penyelesaian integral dengan konstantanya saya keluarkan.

Kutip dari: Sky pada September 30, 2009, 09:56:11 PM
Andaikan x yang tadi adalah persamaan yang benar, maka seharusnya kita bisa mendapatkan H(t).
karena:
.............
Karena, ini jelas tidak sama, maka kita simpulkan pemisalan
x=t+t^3
tidak sesuai dengan x yang kita inginkan.
Lalu bagaimana jika pemisalan kita salah?Kita anggap saja kita tidak tahu dulu.

Terus terang saya lupa bahwa seharusnya x(t) merupakan penyelesaian bukan sekedar permisalan.

Kutip dari: Sky pada September 30, 2009, 09:56:11 PM
Sekarang kita harus berpikir licik.
Ini adalah persamaan differensial orde 2, dan sayangnya ini nonlinear. Kita usahakan dulu mengubahnya menjadi orde 1.
Misalnya dengan cara seperti ini:

...........

v\frac {dv}{dx}=\frac {GM}{(A-x)^2}        //bentuk ini ekivalen dengan:

\int vdv=\int \frac {GM}{(A-x)^2}dx

Nah, akhirnya bentuk ini lebih manusiawi untuk diselesaikan...

Ini bukan suatu kelicikan, tapi memang salah satu penyelesaian PD tingkat dua dengan menyederhanakan ke PD tingkat satu. Saya salut...pada Sky.

\frac{1}{2}v^2=\frac {GM}{(A-x)}+C
.....

HyawehHoshikawa

lanjut...
saya sudah paham sampai disini...
intinya mirip sama hk. Kekekalan energi kan?tinggal dikali m tu kedua ruas
Rationality alone isn't enough, the world is Complex.

Sky

Kutip dari: HyawehHoshikawa pada Oktober 02, 2009, 10:13:19 PM
lanjut...
saya sudah paham sampai disini...
intinya mirip sama hk. Kekekalan energi kan?tinggal dikali m tu kedua ruas

Yap, ntar jadinya hukum kekekalan energi.

Kalo mau soalnya lebih menantang, coba yang kecepatan awalnya tidak nol....