Gunakan MimeTex/LaTex untuk menulis simbol dan persamaan matematika.

Welcome to Forum Sains Indonesia. Please login or sign up.

April 16, 2024, 01:03:12 AM

Login with username, password and session length

Topik Baru

Artikel Sains

Anggota
Stats
  • Total Tulisan: 139,653
  • Total Topik: 10,405
  • Online today: 37
  • Online ever: 1,582
  • (Desember 22, 2022, 06:39:12 AM)
Pengguna Online
Users: 0
Guests: 15
Total: 15

Aku Cinta ForSa

ForSa on FB ForSa on Twitter

PHI

Dimulai oleh dewa ruci, September 26, 2008, 06:35:32 AM

« sebelumnya - berikutnya »

0 Anggota dan 1 Pengunjung sedang melihat topik ini.

dewa ruci

tahukan anda dengan bilangan PHI???
bukan π dalam matematika,,namun 'PHI' yang nilainya 1,618..

bilangan ini pada umumnya dianggap bilangan tercantik di dunia.
biLangan ini diperolah dari deret Fibonacci yang terkenal bukan hanya karena jumlah dari angka yang berdekatan sama dengan angka setelahnya, tetapi juga karena hasil bagi dari angka-angka yang berdekatan memiliki sifat yang mengagumkan mendekati angka 1,618-PHI.. ;)
read in the name of your Lord who created

utusan langit

waduh... aneh_aneh wae....
kalo itu menurut Gw, cuma seni dalam Matematika....

tau ach....
kalo bilangan yang menurutku cantik ya setengah koma lima,,,,

hehehe ada nggak ya??? ngaco bagt sich....

dewa ruci

ya kLo emang seni matematika,,kNapa kuq bisa sebegitu terkenaLnya??
sampe2 diajarkan dalam pelajaran SMP dLuw..

bTw,,ada yang tau gag keguNaan dEret Fibonacci itu??
read in the name of your Lord who created

Rohedi

#3
Kalau Phi itu dikata bilangan cantik, lalu Rohedi pantasnya dikatain apa?
soalnya di alamat ini

[spam removed]

Rohedi selipkan Phi ke rumus Pi, jadinya bilangan Pi itu makin cantik euy.

Sky

oh, phi itu maksudnya \phi??

Lho kalo ada hubungannya dengan deret fibonacci, kenapa tidak digabung dengan topik ini:
http://www.forumsains.com/matematika/deret-bilangan-ajaib/

Mtk Kerajaan Mataram

Disini Phi (\phi) yang dimaksud adalah hubungannya dengan Golden ratio,
Bagaimana \phi ini diperoleh? diantaranya adalah dengan dikenalkan Golden Rectangle sbb :


Persegi panjang dengan perbandingan sisi \phi : 1, lalu buat potongan persegi berukuran 1x1, maka diperoleh sisanya persegi panjang berukuran 1x(\phi-1). Kemudian jika persegi panjang sisa ini sebangun dengan persegipanjang mula-mula, maka persegi panjang mula-mula disebut Golden Ractangle.
Karena sebangun maka \frac{\phi}{1}=\frac{1}{\phi-1}, lalu dari sini kita peroleh persamaan kuadrat \phi^2-\phi-1=0. Kemudian dengan menggunakan rumus abc pada persamaan kuadrat kita peroleh \phi=\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{5}). Karena panjang tidak mungkin negatif, maka kita ambil yang positif, \phi=\frac{1}{2}(1 + \sqrt{5}).

Bilangan \phi ini juga dapat kita peroleh melalui Golden Triangle sbb :


Diberikan segitiga samakaki dengan sudut puncak 36o, maka perbandingan panjang kaki segitiga ini terhadap alasnya sama dengan \phi. Atau s:a=\phi:1.

Begini kita mulai dari yang sederhana dulu biar tahu jalan ceritanya.


Sky

Setelah nyari data di wiki, didapat:

suatu bilangan a dan b akan memenuhi golden ratio, jika dan hanya jika:

\frac {a+b}b = \frac ba
dimana: \phi = \frac ba

Jika \phi ini disulihkan ke definisi awal, maka:
\frac ab + 1 = \frac ba
\frac 1\phi +1 = \phi
\phi^2-\phi-1=0
seperti yang sudah dijelaskan mas Mtk Kerajaan Mataram
solusinya:
\phi=\frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{5})

diambil yang positif, jadi:

\phi=\frac{1}{2}(1 + \sqrt{5})

Mtk Kerajaan Mataram

Bilangan \phi ini juga dapat kita peroleh melalui Golden Triangle sbb :

Diberikan segitiga samakaki dengan sudut puncak 36o, maka perbandingan panjang kaki segitiga ini terhadap alasnya sama dengan \phi. Atau s:a=\phi:1.

Bagaimana kita bisa membuktikan ini?
Pertama, kita menjabarkan \sin 5\alpha sbb :
\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha
\cos 2\alpha=1-2\sin^2 \alpha
\sin 3\alpha=\sin \alpha (3-4\sin^2 \alpha)
\cos 3\alpha=\cos \alpha (4\cos^2 \alpha-3)=\cos \alpha (1-4\sin^2 \alpha)

Sehingga

\sin 5\alpha=\sin 2\alpha \cos 3\alpha +\cos 2\alpha \sin 3\alpha
          =(2\sin \alpha \cos \alpha) \cos \alpha (1-4\sin^2 \alpha) +(1-2\sin^2 \alpha) \sin \alpha (4\sin^2 \alpha -3)
          =2\sin \alpha(1- \sin^2 \alpha )(1-4\sin^2 \alpha) +(1-2\sin^2 \alpha) \sin \alpha (4\sin^2 \alpha -3)
          =2\sin \alpha -10 \sin^3 \alpha +8 \sin^5 \alpha +3\sin \alpha -10 \sin^3 \alpha +8 \sin^5 \alpha
          =5\sin \alpha -20 \sin^3 \alpha +16 \sin^5 \alpha

Taruhlah \alpha = 36^o dan x= \sin\alpha
Sehingga
\sin 5\alpha=\sin 180^o =5x-20x^3+16x^5
Karena \sin 180^o =0, maka
5x-20x^3+16x^5=x(5-20x^2+16x^4)=0 \Rightarrow 5-20x^2+16(x^2)^2=0

Dengan rumus abc kita dapati x^2=\frac{5 \pm \sqrt{5}}{8}, kedua nilai ini positif.
Kita tahu bahwa karena 36o < 45o < 90o, maka
x= \sin 36^o < \frac{1}{2} \sqrt{2}, maka dipilihlah yang bertanda kurang (-).
\sin 36^o=\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}}=\frac{1}{4}\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}

\cos^2 36^o=1- \sin^2 36^o=1-(\frac{1}{4}\sqrt{10 - 2\sqrt{5}})^2=1-\frac{1}{16}(10 - 2\sqrt{5})=\frac{1}{16}(6 + 2\sqrt{5})=\frac{1}{16}(1 + \sqrt{5})^2

Jadi
\cos 36^o=\frac{1}{4}(1 + \sqrt{5})

Kita lihat lagi segitiga diatas, bagaimanakah menentukan sehingga s:a=\phi:1=\frac{1}{2}(1 + \sqrt{5})? haha.

biobio

Rasanya ini juga pernah ditulis Dan Brown di Davinci Code,deh...malah tertulis brbagai keistimewaan lainnya,misalkan panjang tangan dari bahu ke jari dibagi dari bahu ke siku hasilnya bilangan itu,dan masih banyak lagi...entah benar atau tidak...
"The pen is mightier than the sword"

Rohedi

#9
WoW,

Mas biobio silahkan visit ke alamat ini,

[spam removed]

Anda tidak sia-sia nurunin PHI itu. Karena Formula Pi number di alamat itu dinyatakan sebagai fungsi Phi golden ratio.

Okay, lam kenal ya...
[spam removed]

Sky

#10
Kutip dari: Rohedi pada April 23, 2009, 03:24:31 PM
[spam removed]
yee...
ko double post sih...

Tapi, bukannya \pi = 2 (tan^{-1}(x) + tan^{-1}{(\frac 1x})) emang udah dari sananya?
Jadi, kita ganti x dengan apa aja juga bisa, kan?

oya, phi itu selain di biologi ama matematik, ada juga di fisika ga?

Mtk Kerajaan Mataram

Kutip dari: biobio pada April 23, 2009, 02:43:30 PM
Rasanya ini juga pernah ditulis Dan Brown di Davinci Code,deh...malah tertulis brbagai keistimewaan lainnya,misalkan panjang tangan dari bahu ke jari dibagi dari bahu ke siku hasilnya bilangan itu,dan masih banyak lagi...entah benar atau tidak...

Saya kira ini hanya berlebih-lebihan saja. Lagipula Da Vinci itu kan hanya film saja.

Mtk Kerajaan Mataram

Di thread lain http://www.forumsains.com/matematika/bantuin-dumzz/, kita pernah membahas pertanyaan tentang kekonverganan sebagai berikut :

Kutip dari: violin pada Juli 28, 2008, 10:11:25 AM
Tolong dong bantuin selesain ni soal.... ;)
Udah buntu ni... ???
Diberikan barisan (xn) dengan 0 < x1 = a < x2 = b
Dan xn+2 = xn+1 + xn       n = 1,2,3,....
Tinjau barisan rn dengan
   rn = (xn+1) / xn      n = 1,2,3,...
a.   Tunjukkan bahwa 1 < rn < 2 untuk n = 2,3,4,...
b.   Selidiki kekonvergenan (rn)


Nah ini, kita telah membuktikan bahwa <xn> konvergen.
Dan ini, konvergennya itu mengarah pada \phi=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})

Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada Agustus 08, 2008, 07:25:48 AM
Salam
<Un>=1/1-1,2/1-1,3/2-1,5/3-1,8/5-1,13/8-1,21/13-1....
Penyebut dan pembilang adalah suku-suku barisan fibbonaci berturutan.
<Un>=0,1,1/2,2/3,3/5,5/8,8/13,...
dimana
3/5<8/13<21/34<..........<13/21<5/8
Kalau hipotesa betul, maka
|rN-rN+1|>|rN+2-rN+3|>|rN+4-rN+5|>......dst
Oke gitu rojer ganti...

Karena waktu itu saya buat <Un>=<rn>-1, sehingga
<rn>=<Un>+1
Dan 1+3/5 < 1+8/13 < 1+21/34 <.....< \phi=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5}) <.....< 1+13/21 < 1+5/8

Rohedi

#13
Trim @Sky,

Benernya Rohedi mau nginfokan The new Pi exact formula yang dipost di alamat ini (Full paper sudah disubmit ke Jurnal Math top di USA):

[spam removed]

ya barangkali buat ngemudahin matematikiawan ngitung the number pi itu. Masyak siy sejak 4000 th lalu kala Nabi Ibrahim A.S tawaf bareng sang Putra tercinta Nabi Ismail general form of pi exact formula itu belum beres, dan lalu pi itu dikeramatin sebagai bilangan misterius, diulangtahunin lagi Ampei-ampei Om Albert Einstein the person 20st century itu ikutan ngerayin Pi Day.

Oh ya, tentu seabrek donk pemakaian Phi golden ratio di physics, apalagi untuk teknologi nano mau-tidak mau kudu ngelibatin Phi dan
Pi(Phi) kalau performansi produknya mau yahut, disamping harus gunakan the general exact solution of Ricatti Differential equation dy/dt=p(t)y^2+q(t)y+r(t) produk Rohedi LAboratory.

@Kerajaan mataram
Luar biasa, excelent explanation for the Phi, thank brother. Happy with you.

Nabih

Aku Penasaran, Mtk Kerajaan mataram itu siapa sich???