Forum Sains Indonesia

gak puas nih kalau cuma diapal. guru gw gak ngejelasin :(

jadi
misal:
A = matriks a
dan
A' = invers matriks a
maka
A * A' = I
dimana
I = matriks Identitas



kalo cuman 2 x 2 yah



sehingga dari situ munculah nilai det...gw lupa det itu determinan bukan yah?

maksudnya formula invers matriks yang ini bukan,

katanya sih dari Cramer's Rule yang kemudian menjadi

tapi kenapa begitu juga ga tau :D

sebetulnya kan ada banyak cara untuk mencari invers matriks, yg di atas hanya salah satunya
pokoknya bagaimanapun asalkan memenuhi

misal metode Gauss-Jordan elimination

yang menggunakan tiga sifat operasi baris dasar
Row switching
A row within the matrix can be switched with another row.


Row multiplication
Each element in a row can be multiplied by a non-zero constant.


Row addition
A row can be replaced by the sum of that row and a multiple of another row.


juga metode LU decomposition.

Bahkan secara komputasi, metode Cramer di atas kurang efektif karena terlalu banyak perhitungan.

eh, numpang lwat, untuk matriks yang ordo nya 2 x 3 tu ga ada inversnya yah berarti?

Kutip dari: HyawehHoshikawa pada Juli 22, 2009, 07:51:13 AM
eh, numpang lwat, untuk matriks yang ordo nya 2 x 3 tu ga ada inversnya yah berarti?

Ada, tapi bukan dengan metode crammer, 4x4 juga bukan pake metode crammer(setahu saya)

Kutip dari: sith lord pada Juli 18, 2009, 11:07:50 AM
gak puas nih kalau cuma diapal. guru gw gak ngejelasin :(

Saya kira yang menjadi inti pertanyaan adalah mengapa bisa diperoleh rumus seperti itu, untuk sederhananya bisa ditelusur  matrik 2x2.
A = a    b
      c   d

A^-1 = e    f
        g   h

Dengan menurunkan AA^-1=I, nyatakan e, f,g,h dalam a,b,c,d. Cobalah juga untuk matrik 3 x 3. Lalu selidiki untuk keteraturannya. Agak bersusah payah, tapi akan memuaskan pengertian.

metode Gauss-Jordan elimination  = OBE/TBE (memang panjang carax), tapi kalau pakai mathlab, bisa ketahuan tuh, aku lupa fungsi di mathlab spy bisa ngerjain soal pake OBE.

dan perlu diingat untuk mencari invers (nilai determinan harus <> 0)

Kalo Pake Lapplace?

Kutip dari: Nabih pada Juli 25, 2009, 11:58:38 AM

Kutip dari: HyawehHoshikawa pada Juli 22, 2009, 07:51:13 AM
eh, numpang lwat, untuk matriks yang ordo nya 2 x 3 tu ga ada inversnya yah berarti?

Ada, tapi bukan dengan metode crammer, 4x4 juga bukan pake metode crammer(setahu saya)

numpang nanya..bukannya salah satu syarat matrix punya invers itu matrixnya harus bujur sangkar bukan??

ato memang ada yg cara mencari invers buat matrix yg bukan bujur sangkar??namanya apa??makasih

Kata dosen saya, ada invers untuk mariks persegi panjang, tapi ga dibahas di Aljabar Linier untuk S1,

Tentu saja syaratnya jika kedua matrik dikalikan akan menghasilkan matrik persegi. Jadi jika matrik pertama berorder mxn, maka matrik kedua harus berorder nxm, sehingga hasil perkaliannya berupa matrik mxm.
Kita lihat secara simbolis :

Kalau aku sih emang orangnya susah ngapalin (aku suka matematika karena nggak hafalannya jauh lebih sedikit dibanding mata pelajaran lainnya), jadi tiap ada soal buat nentukan invers dari matriks persegi dengan dimensi 2, aku kerjain pake' SPLDV aja dah beres kok...  ;D

Kutip dari: HyawehHoshikawa pada Juli 22, 2009, 07:51:13 AM
eh, numpang lwat, untuk matriks yang ordo nya 2 x 3 tu ga ada inversnya yah berarti?

Ada generalisasi dari invers matriks yang disebut pseudoinvers Moore-Penrose. Di sini matriks yang dicari inversnya tidak perlu bujur sangkar. Dalam mata kuliah S1 bisa ditemukan topik ini pada analisis numerik. Buku referensi lain berbahasa Indonesia yang membahas topik ini bisa dilihat pada Aljabar Linear karangan Leon terbitan Erlangga (kalo ngak salah warna sampulnya biru).

Pseudoinvers berarti bukan invers sebenarnya dong? Kalau dipikir-pikir, kalau terpaksanya mau dicari "invers"nya pun berarti matriks dengan ordo 2 x 3 itu inversnya mempunyai ordo 3 x 2 ya?

Kutip dari: Monox D. I-Fly pada Agustus 12, 2014, 06:14:22 PM
Pseudoinvers berarti bukan invers sebenarnya dong? Kalau dipikir-pikir, kalau terpaksanya mau dicari "invers"nya pun berarti matriks dengan ordo 2 x 3 itu inversnya mempunyai ordo 3 x 2 ya?

Ya sepertinya begitu bung. Jadi matriks berordo 2x3 inversnya berordo 3x2. Kalau keduanya dikalikan akan ketemu matriks identitas 2x2.

Mau nyobain dulu ah, invers dari matriks A = .

Semisal invers dari matriks A = A^-1 =
AA^-1 = I
=
=

3a + 2c + 4e = 1
3a + 6c + 4e = 0
Eliminasi, didapat -4c = 1. c = -1/4.

c = -1/4 disubstitusi ke kedua persamaan tersebut.
3a - 1/2 + 4e = 1
3a - 3/2 + 4e = 0
Kalikan kedua persamaan dengan 2
6a - 1 + 4e = 2, maka 6a + 4e = 2 + 1, sehingga 6a + 4e = 3.
6a - 3 + 4e = 0, maka 6a + 4e = 3.

Nah lo, malah jadi muter-muter. Ini gimana nerusinnya?  :-\

Boleh juga eksperimennya bung. Menurut saya persamaan yang terakhir memperlihatkan bahwa jawaban invers matriksnya tidak tunggal. Misalkan kita pilih a=1, maka 6(1)+4e=3 sehingga kita peroleh e = -3/4. Mungkin penjelasannya kenapa solusinya tidak tunggal ialah karena matriks yang dicari inversnya berordo 2x3. Kalo matriks tersebut kita anggap sebagai matriks koefisien dari suatu sistem persamaan linear, maka kita akan memperoleh suatu sistem persamaan linear dengan jumlah variabel (3) yang lebih banyak dari pada jumlah persamaannya (2). Jadi solusinya tidak tunggal.

Meski jawaban tunggal tidak diperoleh namun solusi yang "optimal" bisa diperoleh. Invers umum terkait dengan solusi yang optimal tersebut.

Untuk mendalami topik ini barangkali bisa dipelajari literatur yang saya telah sebut sebelumnya. Oh ya sedikit ralat, mata kuliah yang terkait dengan topik ini adalah aljabar II dalam topik dekomposisi nilai singular.

Aku dulu kuliah di jurusan Pendidikan Matematika tapi belum pernah denger tentang pseudoinvers matriks sama sekali. Materi S2 kah itu?

Di S1 juga dibahas sedikit. Saya ambil referensi dari buku modul Universitas Terbuka (UT), Aljabar II karangan Prof. Wono Setya Budhi & Irawati (ITB).

Wah, saya belum pernah nemuin yang begitu waktu kuliah S1 dulu. Bisa kasih link yang berhubungan?

Kalau link berbahasa Indonesia saya juga masih nyari. Tapi kalau dicari dengan google search dengan entry kata kunci "moore-penrose pseudoinverse" banyak makalah / modul tutorial dalam bahasa Inggris, meskipun pemaparannya rada formal, musti pelan-pelan bacanya.

pseudo invers matriks biasanya juga disebut dengan invers matriks tunggal tergeneralisasi.

A^-1 disebut pseudo invers dari matriks A, jika dan hanya jika A bukan matriks bujur sangkar.

jika A adalah matriks berukuran mxn, maka terdapat pseudo invers dari A yaitu A^-1 berukuran nxm.

jika A^-1 adalah sebuah pseudo invers, maka akan memenuhi sifat2 berikut:
1. A^-1.A.A^-1 = A^-1
2. A.A^-1.A = A
3. (A^-1.A)^H = A^-1.A
4. (A.A^-1)^H = A.A^-1


nah, silahkan dilanjut....

Kutip dari: Bahalan pada Agustus 14, 2014, 10:12:16 AM
Kalau link berbahasa Indonesia saya juga masih nyari. Tapi kalau dicari dengan google search dengan entry kata kunci "moore-penrose pseudoinverse" banyak makalah / modul tutorial dalam bahasa Inggris, meskipun pemaparannya rada formal, musti pelan-pelan bacanya.

It's okay even though the only links available are in all English. I have alreaddy gotten used to it. :)
Malah dulu waktu skripsi, yang lain pada ribet cari referensi yang berbahasa Indonesia karena nggak ngerti bahasa Inggris, aku langsung cari referensi yang bahasa Inggrisnya karena udah ngerti. :D

Kutip dari: Sandy_dkk pada Agustus 14, 2014, 12:41:22 PM
pseudo invers matriks biasanya juga disebut dengan invers matriks tunggal tergeneralisasi.

A^-1 disebut pseudo invers dari matriks A, jika dan hanya jika A bukan matriks bujur sangkar.

jika A adalah matriks berukuran mxn, maka terdapat pseudo invers dari A yaitu A^-1 berukuran nxm.

jika A^-1 adalah sebuah pseudo invers, maka akan memenuhi sifat2 berikut:
1. A^-1.A.A^-1 = A^-1
2. A.A^-1.A = A
3. (A^-1.A)^H = A^-1.A
4. (A.A^-1)^H = A.A^-1


nah, silahkan dilanjut....

Udah aku baca di sini:
[pranala luar disembunyikan, sila masuk atau daftar.]

Kok nggak ada AA^-1 = I ya?

ya, A.A^-1 = I hanya berlaku pada matriks bujur sangkar. itulah kenapa invers matriks yang bukan bujur sangkar juga disebut invers palsu atau pseudo-invers.

dalam pseudo-invers, A.A^-1 menghasilkan matriks hermitian karena identik dengan konjuget-transposnya.
dan I yang merupakan hasil dari A.A^-1 pada matriks bujur sangkar sebenarnya juga merupakan sebuah matriks hermitian, karena matriks I juga identik dengan konjuget-transposnya.

yah, kok kalimat terakhir ada boldnya???

Kutip dari: Sandy_dkk pada Agustus 15, 2014, 12:04:03 PM
ya, A.A^-1 = I hanya berlaku pada matriks bujur sangkar. itulah kenapa invers matriks yang bukan bujur sangkar juga disebut invers palsu atau pseudo-invers.

dalam pseudo-invers, A.A^-1 menghasilkan matriks hermitian karena identik dengan konjuget-transposnya.
dan I yang merupakan hasil dari A.A^-1 pada matriks bujur sangkar sebenarnya juga merupakan sebuah matriks hermitian, karena matriks I juga identik dengan konjuget-transposnya.

Well, saya hanya menyimpulkan dari postingannya Bung Bahalan:

Kutip dari: Bahalan pada Agustus 12, 2014, 06:23:35 PM
Ya sepertinya begitu bung. Jadi matriks berordo 2x3 inversnya berordo 3x2. Kalau keduanya dikalikan akan ketemu matriks identitas 2x2.

Tapi ada kata "sepertinya" sih...  ;D