Selamat datang di ForSa! Forum diskusi seputar sains, teknologi dan pendidikan Indonesia.

Welcome to Forum Sains Indonesia. Please login or sign up.

Maret 29, 2024, 05:13:50 AM

Login with username, password and session length

Topik Baru

Artikel Sains

Anggota
Stats
  • Total Tulisan: 139,653
  • Total Topik: 10,405
  • Online today: 134
  • Online ever: 1,582
  • (Desember 22, 2022, 06:39:12 AM)
Pengguna Online
Users: 0
Guests: 142
Total: 142

Aku Cinta ForSa

ForSa on FB ForSa on Twitter

rumus jumlah deret

Dimulai oleh Gen-I-uSy, Februari 16, 2010, 03:32:52 PM

« sebelumnya - berikutnya »

0 Anggota dan 1 Pengunjung sedang melihat topik ini.

Gen-I-uSy

1.  1 + 3 + 6 + 10 + ... + \frac12n(n+1) = ...
2.  buktikan 1 + 4 + 9 + ... + n2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} secara langsung, bukan memakai induksi matematika
maksudnya, darimana sih dapetnya tulisan \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} itu?

Haryanto

#1
no 2 nya aja ya..
saya pake trik integral..
kita mencari sum n^2 dari 1 s/d n ...
integral sebenarnya adalah penjumlahan juga. misalkan dalam koordinat y(x) dan x, maka kita mencari luas wilayah yg disapu y(x) ke x dalam wlayah batas integral kita..
dalam sum diskrit n^2, kita juga dapat mencari luas diskrit fungsi y(x)=x^2, tapi dx nya adalah satu, bukan limit menuju nol spt integrasi biasa..
triknya begini, kita cari <br />\int\limits_0^n {x^2 dx} <br /> yang tentunya adalah \frac{{n^3 }}{3}..
tapi tentu <br />\int\limits_0^n {x^2 dx}< \sum\limits_{k = 1}^n {k^2 } <br /> untuk k bil bulat positif > 0.
Kekurangannya adalah : bayangkan kurva y(x)=x^2 misalkan dari 0 ke 1 dan dari 1 ke 2.. integral kita hanya menyapu luas garis dari kurva x = 0 s/d y(x) kita yg lengkung.. sementara kita butuhkan luas bidang persegi, misakan dari 0 ke 1, yaitu persegi dengan tinggi 1 (total luasnya adalah 1), lalau dari 1 ke 2 yaitu persegi dengan tinggi 4 (luasnya 4) dst, sehingga sum x^2 terwakilkan..
Mencari sisa ini ternyata tidak susah.. kita ingat teori integrasi, <br />\int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} <br />
adalah luas daerah yang dibatasi fungsi f dan g dalam rentang a ke b.. maka luas daerah sisa untuk rentang 0 ke 1 adalah: <br />\int\limits_0^1 {\left( {1 - x^2 } \right)dx} <br />,
lalu untuk rentang 1 ke 2:
<br />\int\limits_1^2 {\left( {2^2-x^2 } \right)dx} <br />,
rentang 2 ke 3:
<br />\int\limits_2^3 {\left( {3^2-x^2 } \right)dx} <br />,
dst nya, saya yakin anda telah melihat polanya..
secara umum, tiap batas dengan rentang dx = 1 ini, kita bisa tuliskan hasil integralnya sbg: <br />\left[ {n^2- \frac{{x^3 }}{3}} \right]_{n - 1}^n <br />
yang kalau kita selesaikan menjadi sederhana: n-1/3, yg merupakan rumus "a_n" untuk sisa integral kita..
Jumlah S_n untuk sisa ini adalah: <br />S_n= \frac{n}{2}\left( {2.\frac{2}{3} + \left( {n - 1} \right).1} \right) = \frac{{2n}}{3} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}<br />
Dengan menjumlahkan sisa ini dengan integrasi awal kita:
<br />\frac{{2n}}{3} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} + \frac{{n^3 }}{3}<br />,
maka yg anda tanyakan dapat terjawab.. :)
We must know — we will know!
-David Hilbert -

Haryanto

Untuk yg no 1, tinggal generalisir saja, partisi penjumlahannya \frac{1}{2}n(n+1) menjadi penjumlahan \frac{1}{2}n^2 dan \frac{1}{2}n.. kerjakan masing-masing, lalu jumlahkan lagi.. bisalah ya..

btw ini bukan PR kamu khan??
We must know — we will know!
-David Hilbert -

Gen-I-uSy

apa ga da bukti lain selain pake integral?
anak sma jadi pada bingung ni

Haryanto

Hah.., udah SMU ga tau integral?? smu di mana sih? blajar ndiri knapa? khan ga susah..
kamu sering masuk forum matematik, tapi ngaku ga tau integral.. saya pikir ini urang sinkron..
We must know — we will know!
-David Hilbert -

HyawehHoshikawa

@Haryanto...
IMHO maksud kalimatnya Gen-I-Usy itu justru dia maw ngajarin rumus deret itu ke anak SMA deh...
bukan dianya yang anak SMA lol

CMIIW
Rationality alone isn't enough, the world is Complex.

Haryanto

Ooo.. ga nglakson sih.. Sori.. Tapi memang dulu SMA saya udah tahu integral..
We must know — we will know!
-David Hilbert -

Gen-I-uSy

yoi,,
aku wat ngajarin nak SMA
makasih deh....

HyawehHoshikawa pengertian jg

HyawehHoshikawa

@Gen-I-uSy
Lol...
Ya iyalah... di beberapa thread lain anda jauh lebih dewa daripada saya...
kalo anda masi SMA, berarti saya yang idiot..
Rationality alone isn't enough, the world is Complex.

Monox D. I-Fly

Kutip dari: Haryanto pada Februari 21, 2010, 06:42:04 AM
Hah.., udah SMU ga tau integral?? smu di mana sih? blajar ndiri knapa? khan ga susah..
kamu sering masuk forum matematik, tapi ngaku ga tau integral.. saya pikir ini urang sinkron..

Kalau zaman saya SMA dulu malah parah, fisika kelas 10 udah pakai integral tapi di matematika diajarinnya baru pas kelas 12.
Gambar di avatar saya adalah salah satu contoh dari kartu Mathematicards, Trading Card Game buatan saya waktu skripsi.