Selamat datang di ForSa! Forum diskusi seputar sains, teknologi dan pendidikan Indonesia.

Selamat datang, Pengunjung. Silahkan masuk atau mendaftar. Apakah anda lupa aktivasi email?

Mei 28, 2022, 07:26:19 PM

Masuk dengan nama pengguna, kata sandi dan lama sesi

Topik Baru

Artikel Sains

Anggota
Stats
  • Total Tulisan: 139630
  • Total Topik: 10387
  • Online Today: 64
  • Online Ever: 441
  • (Desember 18, 2011, 12:48:51 AM)
Pengguna Online
Users: 0
Guests: 41
Total: 41

Ikuti ForSa

ForSa on FB ForSa on Twitter

Penulis Topik: [Seri Ensiklopedi Matematika] Postulat Kesejajaran (postulat kelima Euclides)  (Dibaca 1574 kali)

0 Anggota dan 1 Pengunjung sedang melihat topik ini.

Offline Monox D. I-Fly

  • Profesor
  • *****
  • Tulisan: 2.000
  • IQ: 32
  • Gender: Pria
  • 私は理科を大好き
   Dalam karyanya yang terkenal The Elements, ahli geometri Euclides (300 S.M.) mengajukan lima postulat dasar yang mendeskripsikan prinsip-prinsip geometri pada bidang datar. Postulatnya yang kelima menyatakan bahwa:
Kutip
Jika dua buah garis L dan M yang memanjang dari sebuah ruas garis mempunyai besar sudut dalam yang jumlahnya kurang dari 180o maka kedua garis itu jika dipanjangkan akan membentuk sebuah segitiga.
Dari sini dapat kita simpulkan bahwa jika jumlah kedua sudut tersebut lebih dari 180o maka kedua garis tersebut jika dipanjangkan ke arah berlawanan akan membentuk segitiga pada sisi tersebut. (Jumlah sudut pelurusnya akan kurang dari 180o). Lebih jauh lagi, jika kedua garis tidak pernah bertemu, yaitu, jika kedua garis itu sejajar maka jumlah besar sudut x dan y yang diperlihatkan tidak dapat kurang ataupun lebih dari 180o sehingga pasti sama dengan 180o. Kita dapat:
Kutip
Untuk sepasang garis sejajar dengan garis potong, sebagaimana ditunjukkan pada diagram di bawah nanti, sudut yang dilambangkan dengan x dan y pasti berjumlah 180o.
   Akibatnya, sudut dalam berseberangan pada garis potong itu sama besar. Hal ini sering dianggap sebagai pernyataan dari postulat kelima Euclides. Karena alasan ini, hal ini sering disebut dengan postulat kesejajaran.
   Karena postulat kesejajaran berhubungan erat dengan formasi segitiga, tidaklah mengejutkan bahwa kita bisa menggunakannya untuk membuktikan:
Kutip
Jumlah besar sudut dalam segitiga selalu 180o.
Sebagaimana kami tunjukkan di bawah, dimungkinkan untuk secara bergantian menggunakan pernyataan di atas sebagai postulat dasar dan menggunakannya dalam membuktikan postulat kesejajaran. (Dengan demikian, postulat kesejajaran dan pernyataan tentang segitiga ini sama-sama asumsi permulaan yang logis.)

   Dalam naskahnya terbitan tahun 1975 berjudul Elements of Geometri, matematikawan Skotlandia John Playfair menawarkan versi ketiga yang setara secara logis dengan postulat kesejajaran:
Kutip
Jika terdapat suatu garis L di suatu bidang dan titik P yang tidak terletak pada garis tersebut maka hanya terdapat tepat satu garis melalui P yang sejajar dengan L.
Versi alternatif dari postulat tersebut kini disebut dengan aksioma Playfair. Pada tahun 1829 hal ini memberi matematikawan Rusia Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792 - 1856) inspirasi untuk memikirkan dan merumuskan teori konsisten dari geometri non-Euclides.
   Kita sekarang punya 3 pernyataan:
1. Postulat kesejajaran Euclides
2. Jumlah besar sudut dalam segitiga adalah 180o
3. Aksioma Playfair
Ketiga pernyataan tersebut ekuivalen secara logis, artinya salah satu menyatakan dua yang lainnya. Untuk memahaminya, cukup diperlihatkan bahwa (3) menyatakan (2), (2) menyatakan (1), dan (1) menyatakan (3). Kita akan perlu menggunakan lawan dari postulat kesejajaran Euclides:
Kutip
Jika sebuah garis potong melewati dua garis mempunyai sudut dalam berseberangan yang sama besar maka kedua garis tersebut sejajar.
Sebagaimana ditunjukkan oleh teorema sudut luar, pernyataan ini dapat dibuktikan tanpa menggunakan satu pun dari ketiga pernyataan di atas.
   Sekarang pikirkan ketiga implikasinya:
(1) mengimplikasikan (2)
   Diberikan segitiga dengan sudut a, b, dan c seperti pada gambar kedua, gambar dua garis di puncaknya dengan besar sudut sama dengan a dan b. Karena keduanya mempunyai sudut dalam berseberangan yang sama besar terhadap suatu garis potong, kedua garis tersebut sejajar terhadap alas segitiga. Berdasarkan aksioma Playfair hanya terdapat satu garis semacam itu. Dengan demikian, sudut a, b, dan c berada pada satu garis lurus sehingga jumlah besar sudutnya 180o.

(2) mengimplikasikan (1)
   Di diagram tengah pada gambar kedua, anggaplah garis L dan M sejajar sehingga tak pernah bertemu. Mungkinkah jumlah besar sudut x dan y kurang dari 180o? Gambar titik P pada garis M, dan geser agak jauh sepanjang M sehingga besar sudut P pada segitiga APB kurang dari 180 - x - y = 180o. Jelas bahwa besar sudut a pada segitiga ini kurang dari x. Sekarang kita punya segitiga yang besar sudutnya kurang dari x + (180 - x - y) + y = 180o. Ini tidak mungkin berdasarkan asumsi bahwa (2) benar. Artinya, L dan M tidak mungkin sejajar.
(1) mengimplikasikan (3):
   Diskusi tentang teorema sudut luar menunjukkan bahwa ada setidaknya satu garis melalui titik P yang sejajar dengan garis L. Misalkan terdapat dua garis seperti itu yang disebut M dan M' sebagaimana diperlihatkan pada diagram di atas. Gambar garis sembarang dari P ke L. Karena berdasarkan (1), kita berasumsi bahwa sudut dalam berseberangan sama besar pada garis sejajar, baik sudut a dan b yang diperlihatkan sama besar dengan x. Dengan demikian, M dan M' pasti merupakan garis yang sama.

(Sumber: Tanton, James. 2005. Encyclopedia of Mathematics. New York: Facts on File.)
Gambar di avatar saya adalah salah satu contoh dari kartu Mathematicards, Trading Card Game buatan saya waktu skripsi.

 

Related Topics

  Subyek / Dimulai oleh Jawaban Tulisan terakhir
0 Jawaban
2705 Dilihat
Tulisan terakhir Agustus 14, 2015, 03:38:15 PM
oleh Monox D. I-Fly
0 Jawaban
1517 Dilihat
Tulisan terakhir Agustus 15, 2015, 01:45:52 AM
oleh Monox D. I-Fly
0 Jawaban
1405 Dilihat
Tulisan terakhir Agustus 16, 2015, 01:17:58 AM
oleh Monox D. I-Fly
0 Jawaban
2249 Dilihat
Tulisan terakhir Agustus 19, 2015, 01:58:59 AM
oleh Monox D. I-Fly
0 Jawaban
1480 Dilihat
Tulisan terakhir Agustus 19, 2015, 02:26:42 AM
oleh Monox D. I-Fly