Selamat datang di ForSa! Forum diskusi seputar sains, teknologi dan pendidikan Indonesia.

Welcome to Forum Sains Indonesia. Please login or sign up.

Agustus 14, 2022, 08:04:28 PM

Login with username, password and session length

Topik Baru

Artikel Sains

Anggota
Stats
  • Total Tulisan: 139,633
  • Total Topik: 10,390
  • Online today: 39
  • Online ever: 441
  • (Desember 17, 2011, 09:48:51 AM)
Pengguna Online
Users: 0
Guests: 37
Total: 37

Aku Cinta ForSa

ForSa on FB ForSa on Twitter

Cermin Parabola

Dimulai oleh Mtk Kerajaan Mataram, Maret 18, 2009, 10:50:53 PM

« sebelumnya - berikutnya »

0 Anggota dan 1 Pengunjung sedang melihat topik ini.

Mtk Kerajaan Mataram

Pada waktu SMP dan SMA kita memandang cermin sebagai busur sebuah lingkaran sehingga harus dibuat cermin dengan jari-jari pusat yang cukup besar supaya kita bisa mengabaikan akustik.
Sekarang misal kita mempunyai cermin cekung parabola dengan persamaan y^2=4fx.
Kita asumsikan p > 0, sehingga parabola membuka kekanan dengan sumbu simetrinya sumbu X.
Bagaimana kita merumuskan hubungan :
s  = absis titik benda dari puncak cermin parabola [ absis benda berada pada titik (s,0) ]
s' = absis titik bayangan dari puncak cermin parabola.
f = jarak fokus parabola dari puncak cermin parabola.
 

Mtk Kerajaan Mataram

Yang sejauh ini kudapatkan adalah :
Suatu titik (s,h) dengan h tidak nol di sebelah kanan cermin cekung parabola dengan persamaan y^2=4fx akan mempunyai bayangan (s',h') dimana
s' = \frac{2f(s-f)}{h^2}[s-f-\sqrt{(s-f)^2+h^2}]+f
h' = \frac{2f}{h}[s-f-\sqrt{(s-f)^2+h^2}]

HyawehHoshikawa

itu persamaan dari fisika ato dari matematika yah? ;D
ada yang bisa nentuin matriks buat transformasinya.???

Rationality alone isn't enough, the world is Complex.

Mtk Kerajaan Mataram



Kuralat yang untuk s', ternyata adalah
s' = \frac{h^2-4f}{2h^2}[s-f-\sqrt{(s-f)^2+h^2}]+f

h' = \frac{2f}{h}[s-f-\sqrt{(s-f)^2+h^2}]

Kutip dari: HyawehHoshikawa pada Maret 22, 2009, 08:39:59 PM
itu persamaan dari fisika ato dari matematika yah? ;D
ada yang bisa nentuin matriks buat transformasinya.???

Saya tidak tahu apakah itu mau dimasukkan fisika atau matematika saja, tapi fisika itu juga berkecimpung dalam matematika.
Yang jelas itu hasil dari saya itung2, boleh jadi ada yang sudah pernah mencoba-coba. Setelah itu membuat suatu kesimpulan begitu....

HyawehHoshikawa

eh, sori bung masi belum paham,
itu "f" pada y2 = 4fx tu artinya fungsi ato konstanta yah?
f(x) ini kan fungsi,, ato kayak "a" pada ax2 + bx + C, ato "f"nya itu menyatakan titik fokus??
sejak kapan fungsi kuadrat punya titik fokus???ato punya ya?

kalo' menurut gambar itu pencerminan titik A(s,h) ke titik B(..., h) itu dipantulkannya sesuai dengan gradien cermin kah?

Rationality alone isn't enough, the world is Complex.

Mtk Kerajaan Mataram

Kutip dari: HyawehHoshikawa pada Maret 23, 2009, 11:48:24 PM
eh, sori bung masi belum paham, itu "f" pada y2 = 4fx tu artinya fungsi ato konstanta yah?

f disini adalah konstanta, biasanya dalam pelajaran matematika dilampangkan dengan p, yang lalu y^2=4px.
Titik F(f,0) memang disebut titil fokus dari parabola.

Kutip dari: HyawehHoshikawa pada Maret 23, 2009, 11:48:24 PM
f(x) ini kan fungsi,, ato kayak "a" pada ax2 + bx + C, ato "f"nya itu menyatakan titik fokus?? sejak kapan fungsi kuadrat punya titik fokus???ato punya ya?

Bukan kayaknya, tapi memang iya. Bukankah ini di pelajaran matematika 3 SMA tentang irisan kerucut. Tidak hanya parabola, tapi hiperbola dan elip juga punya fokus.

Kutip dari: HyawehHoshikawa pada Maret 23, 2009, 11:48:24 PM
kalo' menurut gambar itu pencerminan titik A(s,h) ke titik B(..., h) itu dipantulkannya sesuai dengan gradien cermin kah?

Yaa.. ini sesuai dengan hukum pemantulan Snellius. Sinar dari A ke B, lalu garis normalnya tegak lurus dengan garis singgung parabola di B. Dan lalu dengan menggunakan sudut datang = sudut pantul, maka kita peroleh sinar sejajar sumbu X akan dipantulkan lewat titik fokus. Saya sudah membuktikan, nanti lain waktu kalau sempat saya tuliskan.

superstring39

Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada Maret 24, 2009, 03:37:27 AM
Bukan kayaknya, tapi memang iya. Bukankah ini di pelajaran matematika 3 SMA tentang irisan kerucut. Tidak hanya parabola, tapi hiperbola dan elip juga punya fokus.
di kurikulum matematika SMA sekarang sudah tidak belajar lagi tentang irisan kerucut (elips, parabola, hiperbola) yang ada tinggal lingkaran doankz... jadi kalo ngomong sama anak SMA jaman sekarang tentang irisan kerucut jadi mungkin agak kurang nyambung gitu apalagi pencerminan terhadap fungsi parabola.

Mtk Kerajaan Mataram

Oo hiya yaa, aku sudah tidak mengikuti perkembangan kurikulum nih. Tapi berarti cocoklah di bagian sini. Kalau yang berminat bisa kita diskusikan sampai ke cermin paraboloid dalam ruang dimensi 3...haha

Mtk Kerajaan Mataram

Bukti sifat cermin parabola :

Garis g adalah garis singgung parabola di titik B, gradiennya dapat kita tentukan dengan nilai derivatif fungsi parabola di titik itu :

y^2=4fx \rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{2f}{y} \rightarrow m_g = \frac{2f}{h}

Garis l adalah garis normal untuk sinar datang AB di titik B, sehingga garis l tegak lurus terhadap g dan gradiennya adalah :

m_l = - \frac{1}{m_g} =-\frac{h}{2f}=\tan\theta

Persamaan garis l dimana melalui titik B adalah :

l \equiv y-h =-\frac{h}{2f}(x-\frac{h^2}{4f})

Sudut \angle BDC dapat kita hitung dengan :

\angle BDC=\pi-(\pi-\theta+\pi-\theta)=\pi-(2\pi-2\theta)=2\theta-\pi

Sehingga gradien garis k :

m_k=\tan(2\theta-\pi)=-\tan(\pi-2\theta)=-(-\tan2\theta)=\tan2\theta
\tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}=\frac{2\cdot(-\frac{h}{2f})}{1-\frac{h^2}{4f^2}}=\frac{\frac{h}{f}}{\frac{h^2}{4f^2}-1}=\frac{h}{f}\cdot\frac{4f^2}{h^2-4f^2}=\frac{4hf}{h^2-4f^2}
m_k=\frac{4hf}{h^2-4f^2}

k \equiv y-h =\frac{4hf}{h^2-4f^2}(x-\frac{h}{4f})

Garis k melalui D(x,0) sehingga :

y=0 \Rightarrow -h =\frac{4hf}{h^2-4f^2}(x-\frac{h^2}{4f}) \Rightarrow 4f^2-h^2=4f(x-\frac{h^2}{4f}) \Rightarrow x-\frac{h^2}{4f}=\frac{4f^2-h^2}{4f} \Rightarrow x=\frac{4f^2-h^2}{4f}+\frac{h^2}{4f}=f
Karena x=f maka terbukti sinar AB yang sejajar sumbu parabola dipantulkan melalui fokus.

trfrm

Aku ada ide . . . . .   Gimana kalau bentuknya cerminnya diperumum menjadi sebarang / suatu permukaan lengkung S(f)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3~|~f(x,y,z)=0\} . . . . .  Nanti diketahui ada titik (x_0,y_0,z_0)\in\mathbb{R}^3, terus dicari bayangannya terhadap cermin lengkung itu tadi . . . . .  Kira-kira nanti formulanya seperti apa . . . . ?  Aku belum kepikiran sampai ke situ . . . . .   Maaf, kalau ada salah kata . . . . .

trfrm

\mathbf{R} melambangkan himpunan bilangan nyata (riil) . . . . .  f menyatakan fungsi nyata (riil) . . . . .