Member baru? Bingung? Perlu bantuan? Silakan baca panduan singkat untuk ikut berdiskusi.

Selamat datang, Pengunjung. Silahkan masuk atau mendaftar. Apakah anda lupa aktivasi email?

Mei 28, 2022, 02:07:43 PM

Masuk dengan nama pengguna, kata sandi dan lama sesi

Topik Baru

Artikel Sains

Anggota
Stats
  • Total Tulisan: 139630
  • Total Topik: 10387
  • Online Today: 64
  • Online Ever: 441
  • (Desember 18, 2011, 12:48:51 AM)
Pengguna Online
Users: 0
Guests: 33
Total: 33

Ikuti ForSa

ForSa on FB ForSa on Twitter

Penulis Topik: Soal Teori Bilangan untuk Pemula  (Dibaca 25762 kali)

0 Anggota dan 1 Pengunjung sedang melihat topik ini.

Mtk Kerajaan Mataram

  • Pengunjung
Soal Teori Bilangan untuk Pemula
« pada: Juni 14, 2009, 09:13:02 PM »
1. Buktikan ! (1 poin)
   (i) Jika k adalah bilangan asli ganjil, maka jumlah k bilangan bulat yang berturutan habis
       dibagi oleh k. (contoh : k=5 maka -3+(-2)+(-1)+0+1 habis dibagi 5, juga
       23+24+25+26+27 habis dibagi 5).
   (ii) Jika a,b, dan c bilangan asli, dan GCD(a,b)=1 serta c|b ("b habis dibagi c"),
        maka GCD(a,c)=1. (Ket : Ingat GCD(p,q)=1 <==> ada m,n bulat sehingga mp+nq=1)


2. Selesaikan sistem kongruensi ! (1 poin)
   (i) x \equiv 2(mod 9) dan x \equiv 4(mod 10)
   (ii) 5x \equiv 14(mod 17) dan 3x \equiv 2(mod 13)

3. Jika GCD(a,n) =1, maka bilangan asli terkecil, katakanlah k yang memenuhi
    a^k \equiv 1(mod n) disebut dengan 'order perkalian (multiplicative order)'
    dari [a] dalam group Z_n^{\times}. (Contoh : GCD(3,5)=1 dan
    3^4 =81 \equiv 1(mod 5) maka order perkalian [3] dalam group Z_5^{\times} adalah 4.
    Sekarang tentukan order perkalian dari  (1 poin)
    (i)  [5] dan [11] dalam group Z_{17}^{\times}
    (ii) tiap elemen dari group Z_8^{\times} (yakni [1],[2],...,[7])


Offline Nabih

  • Profesor
  • *****
  • Tulisan: 934
  • IQ: 141
  • Gender: Pria
  • Bosen avatar kosong mulu
    • Pecinta Olimpiade Matematika Mahasiswa
Re: Soal Teori Bilangan untuk Pemula
« Jawab #1 pada: Juni 16, 2009, 01:22:12 AM »
2. Selesaikan sistem kongruensi ! (1 poin)
   (i) x \equiv 2(mod 9) dan x \equiv 4(mod 10)
x \equiv 2(mod 9)\equiv 74(mod 90)
x \equiv 4(mod 10)\equiv 74(mod 90)
jawabanya74(mod 90)
   (ii) 5x \equiv 14(mod 17) dan 3x \equiv 2(mod 13)
5x \equiv 14(mod 17) \equiv 65(mod 17)
x \equiv 13(mod 17)
3x \equiv 2(mod 13) \equiv 15(mod 13)
x \equiv 5(mod 17)
x \equiv 13(mod 17) \equiv 200(mod 221)
x \equiv 5(mod 13) \equiv 200(mod 221)
jawabanya x \equiv 200(mod 221)

Bener ga ???
Website Matematika Terapan => http://nabihbawazir.com

Mtk Kerajaan Mataram

  • Pengunjung
Re: Soal Teori Bilangan untuk Pemula
« Jawab #2 pada: Juni 16, 2009, 02:40:01 AM »
@Nabih
(i) Bisakah anda menjelaskan lagi bagaimana cara memperoleh 74 dan 90, jawaban sudah benar.

(ii)
5x \equiv 14(mod 17) \equiv 65(mod 17)
x \equiv 13(mod 17)
3x \equiv 2(mod 13) \equiv 15(mod 13)
x \equiv 5(mod 13)

Bagaimana diperoleh 65 dan 15 di atas?
Ternyata jawabannya juga betul, padahal langkah2nya kurang menjelaskan untuk dipahami.
Terima kasih, monggo dilanjut penjelasannya lagi.

Offline Nabih

  • Profesor
  • *****
  • Tulisan: 934
  • IQ: 141
  • Gender: Pria
  • Bosen avatar kosong mulu
    • Pecinta Olimpiade Matematika Mahasiswa
Re: Soal Teori Bilangan untuk Pemula
« Jawab #3 pada: Juni 16, 2009, 02:57:21 AM »
@Nabih
(i) Bisakah anda menjelaskan lagi bagaimana cara memperoleh 74 dan 90, jawaban sudah benar.

(ii)
5x \equiv 14(mod 17) \equiv 65(mod 17)
x \equiv 13(mod 17)
3x \equiv 2(mod 13) \equiv 15(mod 13)
x \equiv 5(mod 13)

Bagaimana diperoleh 65 dan 15 di atas?
Ternyata jawabannya juga betul, padahal langkah2nya kurang menjelaskan untuk dipahami.
Terima kasih, monggo dilanjut penjelasannya lagi.

kalau 90 ma 221 itu KPK
90 KPK dari 9 dan 10
221 KPK dari 13 dan 17

untuk asal 74, caranya dibuat deret bantu
2 11 20 ... 74
4 14 24 ... 74
(memang kurang efektif, bis bisanya baru itu)

kalo 15 dan 65, sama dengan deret bantu sampai bisa dibagi modulonya
14 31 ... 65
2  15

saja jawab ini agar om mtk bisa njelasin yang lebih mudah

sudah cukup syarat unuk IQ +1 belum?

Mtk Kerajaan Mataram

  • Pengunjung
Re: Soal Teori Bilangan untuk Pemula
« Jawab #4 pada: Juni 16, 2009, 12:00:18 PM »
untuk asal 74, caranya dibuat deret bantu
2 11 20 ... 74
4 14 24 ... 74
(memang kurang efektif, bis bisanya baru itu)
kalo 15 dan 65, sama dengan deret bantu sampai bisa dibagi modulonya
14 31 ... 65
2  15

2,11,20,...,74,... = 9m+2 
4,14,24,...,74,... = 10n+4

Dari kedua barisan di atas cari suku yang nilainya sama kalau mungkin (disini ternyata diperoleh untuk m=8 dan n=7).

Cari bilangan2 lain yang seperti 74 (yang sekaligus berbentuk 9m+2 dan 10n+4), yaitu ada dua cara :

- Berdasarkan barisan pertama buat suatu barisan dengan suku pertamanya = m = 8 dan bedanya = n = 10 sehingga kita peroleh 10p+8, lalu nilai2 pada barisan ini merupakan nilai2 m yang baru atau katakanlah m=10p+8, lalu substitusikan ke x = 9m+2 sehingga x=9(10p+8)+2 = 90p+74 dan diperoleh penyelesaian x=74(mod 90).
- Berdasarkan barisan kedua....silahkan anda buat sendiri.......(*)

Anda bisa melihat kesalahan pada apa yang anda tuliskan berikut tidak ?
x \equiv 2(mod 9)\equiv 74(mod 90)
x \equiv 4(mod 10)\equiv 74(mod 90)
dan
x \equiv 13(mod 17) \equiv 200(mod 221)
x \equiv 5(mod 13) \equiv 200(mod 221)
........................(**)

saja jawab ini agar om mtk bisa njelasin yang lebih mudah
sudah cukup syarat unuk IQ +1 belum?
Semoga yang di atas cukup menjelaskan. Dan tolong yaa jelaskan dahulu yang dua pertanyaan di atas..sepertinya anda masih mengalami kegamangan. Saya bukan menyulit-nyulitkan lho...tapi supaya semakin tajam dan tajam pengertiannya....Good Luck.

Offline Nabih

  • Profesor
  • *****
  • Tulisan: 934
  • IQ: 141
  • Gender: Pria
  • Bosen avatar kosong mulu
    • Pecinta Olimpiade Matematika Mahasiswa
Re: Soal Teori Bilangan untuk Pemula
« Jawab #5 pada: Juni 17, 2009, 08:19:35 AM »
- Berdasarkan barisan pertama buat suatu barisan dengan suku pertamanya = m = 7 dan bedanya = n = 9 sehingga kita peroleh 9q+7, lalu nilai2 pada barisan ini merupakan nilai2 m yang baru atau katakanlah m=9q+7, lalu substitusikan ke x = 9m+7 sehingga x=10(9q+7)+4 = 90q+74 dan diperoleh penyelesaian x=74(mod 90)
*) udah bener belom ???

 
5x \equiv 14(mod 17) \equiv (17-14)17+14(mod 17)
x \equiv 13(mod 17)
3x \equiv 2(mod 13) \equiv 13 + 2(mod 13)
x \equiv 5(mod 13)
**) wah, tetep ga dapet polanya

Mtk Kerajaan Mataram

  • Pengunjung
Re: Soal Teori Bilangan untuk Pemula
« Jawab #6 pada: Juni 17, 2009, 11:41:05 AM »
Jawaban (*) tepat sekali, untuk (**) bukan itu yang dimaksud, tapi soal yang pertama, silahkan perhatikan lagi mana yang salah tulis. Satu poin untuk anda untuk hal ini.
Untuk 5x=14(mod 17) cukup cari 17h+14 yang habis dibagi 5 :
5 | (17h+14) ==> 5 | (2h+4) <karena 10 dan 15 habis dibagi 5, bisa dicancel>
                  ==> diperoleh yang pertama adalah 5 | (2.3+4), yaitu h=3.
                  ==> 17.3+14=65
                  ==> 5x=65(mod 17) ==> x=13(mod 17)
Selamat !     

Offline Nabih

  • Profesor
  • *****
  • Tulisan: 934
  • IQ: 141
  • Gender: Pria
  • Bosen avatar kosong mulu
    • Pecinta Olimpiade Matematika Mahasiswa
Re: Soal Teori Bilangan untuk Pemula
« Jawab #7 pada: Juni 17, 2009, 12:07:07 PM »
5 | (17h+14) ==> 5 | (2h+4) <karena 10 dan 15 habis dibagi 5, bisa dicancel>
                  ==> diperoleh yang pertama adalah 5 | (2.3+4), yaitu h=3
                dari mana???


1. Buktikan ! (1 poin)
   (i) Jika k adalah bilangan asli ganjil, maka jumlah k bilangan bulat yang berturutan habis
       dibagi oleh k. (contoh : k=5 maka -3+(-2)+(-1)+0+1 habis dibagi 5, juga
       23+24+25+26+27 habis dibagi 5).
   (ii) Jika a,b, dan c bilangan asli, dan GCD(a,b)=1 serta c|b ("b habis dibagi c"),
        maka GCD(a,c)=1. (Ket : Ingat GCD(p,q)=1 <==> ada m,n bulat sehingga mp+nq=1)
setahu saya yang namanya bilangan ganjil pasti asli, emangnya bilangan negatif ada ganjil genap

thanks buat om Mtk atas kesabaranya 1 poin buat om Mtk

Mtk Kerajaan Mataram

  • Pengunjung
Re: Soal Teori Bilangan untuk Pemula
« Jawab #8 pada: Juni 17, 2009, 08:23:45 PM »
2h+4 untuk h=0,1,2,3,... yang pertama kali habis dibagi 5 adalah 2.3+4 (untuk h=3).
Bilangan -1,-3,-5,... juga sering disebut bil ganjil.

Offline Nabih

  • Profesor
  • *****
  • Tulisan: 934
  • IQ: 141
  • Gender: Pria
  • Bosen avatar kosong mulu
    • Pecinta Olimpiade Matematika Mahasiswa
Re: Soal Teori Bilangan untuk Pemula
« Jawab #9 pada: Juni 18, 2009, 05:30:59 AM »
2h+4 untuk h=0,1,2,3,... yang pertama kali habis dibagi 5 adalah 2.3+4 (untuk h=3).
Bilangan -1,-3,-5,... juga sering disebut bil ganjil.

berarti cara awal saya benar, buktinya om Mtk menggunakan cara yang sama

Mtk Kerajaan Mataram

  • Pengunjung
Re: Soal Teori Bilangan untuk Pemula
« Jawab #10 pada: Juni 18, 2009, 12:14:59 PM »
Hiya yaa...makanya kukasih 1 poin. Selamat.

Offline Nabih

  • Profesor
  • *****
  • Tulisan: 934
  • IQ: 141
  • Gender: Pria
  • Bosen avatar kosong mulu
    • Pecinta Olimpiade Matematika Mahasiswa
Re: Soal Teori Bilangan untuk Pemula
« Jawab #11 pada: Juni 18, 2009, 12:24:48 PM »
1. Buktikan ! (1 poin)
   (i) Jika k adalah bilangan asli ganjil, maka jumlah k bilangan bulat yang berturutan habis
       dibagi oleh k. (contoh : k=5 maka -3+(-2)+(-1)+0+1 habis dibagi 5, juga
       23+24+25+26+27 habis dibagi 5).
   (ii) Jika a,b, dan c bilangan asli, dan GCD(a,b)=1 serta c|b ("b habis dibagi c"),
        maka GCD(a,c)=1. (Ket : Ingat GCD(p,q)=1 <==> ada m,n bulat sehingga mp+nq=1)

mau jawab yang (ii) ah

GCD(a,b)=1  <==>  ap + bq=1
b=xc           <==>  ap + xcq=1
                           ap + cr=1 maka GCD(a,c)=1

yang (i)
k=2n+1
maka jumlahan k bilangan berurutan (misal suku tengah x)

(x-n) + (x-n+1) + ... + x + (x+1) + ... + (x+n) = (2n+1)x = kx

misal n=0, jumlah deret=x
n=1, jumlah deret=2x

asumsikan benar untuk n=m
(x-m) + (x-m+1) + ... + x + (x+1) + ... + (x+m) = (2m+1)x = kx

lalu sunstitusikan n=m+1
(x-m+1) + (x-m+2) + ... + x+1 + (x+2) + ... + (x+m+1) = k(x+1)
= (x-m) + (x-m+1) + ... + x + (x+1) + ... + (x+m) + 2m+1
= kx + k
= k(x+1)
Terbukti

demikian juga dengan perubahan x (juag pake induksi)
Tebukti juga dech

Gimana?

untuk no 3, saya harus belajar lagi

« Edit Terakhir: Juni 18, 2009, 12:36:34 PM oleh Nabih »

Mtk Kerajaan Mataram

  • Pengunjung
Re: Soal Teori Bilangan untuk Pemula
« Jawab #12 pada: Juni 18, 2009, 12:59:38 PM »
Untuk yang nomor (ii) sempurna.

Untuk yang nomor (i) : ada beberapa yang perlu saya tanyakan, sbb:

yang (i)
k=2n+1
maka jumlahan k bilangan berurutan (misal suku tengah x)
(x-n) + (x-n+1) + ... + x + (x+1) + ... + (x+n) = (2n+1)x = kx
misal n=0, jumlah deret=x
n=1, jumlah deret=2x

kalau n=0, banyak bil =k=1 ==> x
kalau n=1 banyak bil =k=3  ==> bukankah x-1 + x + x+1 = 3x ?

asumsikan benar untuk n=m
(x-m) + (x-m+1) + ... + x + (x+1) + ... + (x+m) = (2m+1)x = kx

lalu sunstitusikan n=m+1
(x-m+1) + (x-m+2) + ... + x+1 + (x+2) + ... + (x+m+1) = k(x+1)

= (x-m) + (x-m+1) + ... + x + (x+1) + ... + (x+m) + 2m+1
= kx + k
= k(x+1)
Terbukti

Mengapa kok menjadi
= (x-m) + (x-m+1) + ... + x + (x+1) + ... + (x+m) + 2m+1 ?

Offline Nabih

  • Profesor
  • *****
  • Tulisan: 934
  • IQ: 141
  • Gender: Pria
  • Bosen avatar kosong mulu
    • Pecinta Olimpiade Matematika Mahasiswa
Re: Soal Teori Bilangan untuk Pemula
« Jawab #13 pada: Juni 18, 2009, 01:23:13 PM »
kalau n=1 banyak bil =k=3  ==> bukankah x-1 + x + x+1 = 3x ?
yang ini kurang ketik



rumus suku tengah

Mengapa kok menjadi
= (x-m) + (x-m+1) + ... + x + (x+1) + ... + (x+m) ?

kan tadinya
(x-m+1) + (x-m+2) + ... + x+1 + (x+2) + ... + (x+m+1) =
saya rubah menjadi
(x-m)+1 + (x-m+1)+1 + ... + (x)+1 + (x+1) +1 + ... + (x+m) +1
karena 1 ada k, kan di soal k bilangan berurutan
jadi saya rubah
(x-m) + (x-m+1) + ... + x + (x+1) + ... + (x+m)


cukup runtut kah?

kalo ini lembar jawab OSN, dari 7 saya dapet berapa?

(saya jadi tahu, kenapa saya ga dapet medali waktu OSN)

Mtk Kerajaan Mataram

  • Pengunjung
Re: Soal Teori Bilangan untuk Pemula
« Jawab #14 pada: Juni 18, 2009, 01:52:32 PM »
(x-m+1) + (x-m+2) + ...+(x-1)+ (x) + (x+1) + (x+2) + ... +(x+m)+ (x+m+1) =

[(x-m)+1] + [(x-m+1)+1] + ... + [(x-2)+1] + [(x-1)+1] + [(x)+1] +[(x+1)+1] + ... +[(x+m-1)+1]+ [(x+m) +1] =

{(x-m) + (x-m+1) + ... + x + (x+1) + ... + (x+m)} + k dengan k=2m+1
= kx + k <berdasar asumsi>
=k(x+1)

Okay, bagus sudah benar, 1 poin buat anda. Saya bukan panitia OSN, sehingga tidak tahu bagaimana penilaiannya.

 

Related Topics

  Subyek / Dimulai oleh Jawaban Tulisan terakhir
6 Jawaban
17465 Dilihat
Tulisan terakhir November 09, 2015, 01:45:53 PM
oleh Monox D. I-Fly
Biologi Untuk Pemula

Dimulai oleh reborn « 1 2 3 » Biologi

36 Jawaban
52095 Dilihat
Tulisan terakhir April 29, 2018, 02:30:55 AM
oleh zalfaoriana
17 Jawaban
239038 Dilihat
Tulisan terakhir Agustus 06, 2015, 09:59:25 AM
oleh Monox D. I-Fly
Buktikan soal teori bilangan

Dimulai oleh Mtk Kerajaan Mataram Matematika

3 Jawaban
4456 Dilihat
Tulisan terakhir Juli 02, 2010, 09:17:53 PM
oleh Takagi Fujimaru
11 Jawaban
8314 Dilihat
Tulisan terakhir Oktober 05, 2011, 02:03:57 AM
oleh tiger-tua