Forum Sains Indonesia

Ilmu Alam => Matematika => Topik dimulai oleh: nash pada September 15, 2009, 06:56:13 AM

Judul: Tanya-tanya Bilangan Rasional
Ditulis oleh: nash pada September 15, 2009, 06:56:13 AM: ada beberapa pertanyaan yg bikin aku bingung:

#1
apakah 0,99999... sama dengan 1?
yg dulu pernah diajarkan, utk mengubah pecahan desimal kayak gini menjadi pecahan biasa kan caranya:
ambil x = 0,99999...
maka 10x = 9,99999...
eliminasi keduanya menjadi:
9x = 9
x = 1

LHO??

mohon penjelasannya
Judul: Re: Tanya-tanya Bilangan Rasional
Ditulis oleh: Mtk Kerajaan Mataram pada September 15, 2009, 04:58:20 PM: Hahaha...
Inilah kelemahan bilangan desimal, tidak bisa mewakili secara tepat seluruh bilangan rasional.

0,9999...=1 ?
untuk sejumlah digit 9 berhingga berapa pun banyaknya, pernyataan tersebut jadi salah, tapi jika banyaknya digit 9 tak berhingga, maka pernyataan jadi benar.

Kalau misalnya bekerja pada bilangan dengan basis delapan {0,1,2,3,4,5,6,7}, sehingga bilangan desimalnya berdasar 8=10 disini, maka 0,7777...=1.
Judul: Re: Tanya-tanya Bilangan Rasional
Ditulis oleh: nash pada September 15, 2009, 06:50:29 PM: jadinya 0,9999... itu bilangan rasional atau bukan? koq rasanya aneh ya kalo 0,9999... = 1 padahal seharusnya selisih kedua bilangan tersebut masih ada sekitar 0,0000...1

thx
Judul: Re: Tanya-tanya Bilangan Rasional
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada September 16, 2009, 04:54:06 AM: wah...
om mataram, bisa ga' yah bantu mengoperasikan bilangan(bukan dalam dec) misalnya dalam bentuk biner.
kmaren dah nemu sampe perkalian ama pembagian.
yang kurang tinggal log,pangkat,ama akar...

@nash:
bilangan rasional itu kan bilangan yang bisa dinyatakan dalam bentuk
$\frac a b$ dimana
ato kalo' didesimalkan selalu berulang...
nah menurut ente 0.9999...itu berulang ngga?ato bisa ngga dinyatakan dalam a/b?
terus itu yang bilang 0.9999.... = 1 itu siapa?
Judul: Re: Tanya-tanya Bilangan Rasional
Ditulis oleh: nash pada September 16, 2009, 05:14:09 AM: Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada September 15, 2009, 04:58:20 PM
tapi jika banyaknya digit 9 tak berhingga, maka pernyataan jadi benar.

saya lebih suka menyebut 0,999... sbg bilangan irasional krn tidak ada pecahan $\frac ab$ yg memenuhi 0,999...

sejauh pemikiran sy sih gtu, makanya sy buka topik bwt nanya. maklum ilmu sy masih rendah

CMIIW
Judul: Re: Tanya-tanya Bilangan Rasional
Ditulis oleh: Nabih pada September 16, 2009, 06:26:04 AM: 0,9999... tergantung asalnya, karena (nya tak berhingga maka bisa disederhanakan jadi 1
Judul: Re: Tanya-tanya Bilangan Rasional
Ditulis oleh: nash pada September 16, 2009, 08:12:04 AM: Kutip dari: Nabih pada September 16, 2009, 06:26:04 AM
0,9999... tergantung asalnya, karena (nya tak berhingga maka bisa disederhanakan jadi 1

jadinya 0,999... itu = 1 apa bukan sih? atau "cuma" dianalogikan sama dgn 1?

CMIIW
Judul: Re: Tanya-tanya Bilangan Rasional
Ditulis oleh: Sky pada September 19, 2009, 02:50:02 PM: Kutip dari: HyawehHoshikawa pada September 16, 2009, 04:54:06 AM
wah...
om mataram, bisa ga' yah bantu mengoperasikan bilangan(bukan dalam dec) misalnya dalam bentuk biner.
kmaren dah nemu sampe perkalian ama pembagian.
yang kurang tinggal log,pangkat,ama akar...

@nash:
bilangan rasional itu kan bilangan yang bisa dinyatakan dalam bentuk
$\frac a b$ dimana
ato kalo' didesimalkan selalu berulang...
nah menurut ente 0.9999...itu berulang ngga?ato bisa ngga dinyatakan dalam a/b?
terus itu yang bilang 0.9999.... = 1 itu siapa?

Hehe.... Kayaknya itu saya deh yang bilang...
Nih, di trit ini http://www.forumsains.com/matematika/variasi-matek/15/

Maaf ye, kalo ane jadi bikin aliran sesat....

Oya, @nash, jangan goyah iman ya...
0,999...=1
Adalah pernyataan yang benar, hanya saja penulisannya bisa berbeda seperti itu.
(Karena keterbatasan penulisan format desimal, seperti yang mas Mataram bilang)

Berikut saya kutip pernyataannya mas KBH:
Kutip dari: ksatriabajuhitam pada Juni 04, 2009, 12:10:19 PM
Kutip dari: Sky pada Juni 04, 2009, 11:47:41 AM
bener kok...

0,999999.... didapat dari
3/9 x 3 = 0,33333333......... x 3
9/9 = 0,99999999.........
1 = 0,99999999........

Bukan sulap bukan sihir, ini emang nyata.
Hahaha

yups,,, emang nyata,

misal = 0.99999...
dan tentu saja 10-=9

10=9.99999...
jadi, 10-=9.99999...-0.99999...= 9.00000... =9,
menghasilkan =9.00000.../9 = 1

hahay, masih inget pelajaran kalkulus semester satu... :kribo:

Oya, biar ga penasaran lagi, 0,9999... bisa juga dinyatakan dalam bentuk rasional yaitu:
9/9 atau 1/1
Ya kan?
Judul: Re: Tanya-tanya Bilangan Rasional
Ditulis oleh: nash pada September 19, 2009, 07:20:31 PM: ^
oke, yg diatas sy dah bisa mngerti...
trus apakah keterbatasan desimal juga kah yang membuat bnyk orang menyebutkan bahwa 0,3478 = 0,34779999... ?
Judul: Re: Tanya-tanya Bilangan Rasional
Ditulis oleh: Sky pada September 20, 2009, 04:49:31 AM: Untuk membuktikan kesamaan tadi, karena format desimal terbatas, coba di ubah dulu jadi bentuk rasionalnya....

contoh:

0,6999... apakah sama dengan 0,7 ?
misal:

a=0,6999...
10a=6,999...
10a-a=6,3
a=7/10

jadi : 0,6999... = 0,7

Asalkan angka 9 di 0,6999... selalu berulang sampai tak hingga...
Judul: Re: Tanya-tanya Bilangan Rasional
Ditulis oleh: nash pada September 20, 2009, 06:01:26 AM: oiya,
manakah penulisan yang benar:
atau

jujur saja sy mrasa "baru" thdp konsep ini, jd masih agak bingung (dan bnyk nanya tentunya :P)
Judul: Re: Tanya-tanya Bilangan Rasional
Ditulis oleh: Sky pada September 20, 2009, 08:26:20 AM: Kalo 0,6399...9 jelas ada batas desimalnya (entah keberapa)
Tapi, sejujurnya, saya belum pernah liat notasi seperti itu di Matematika.

Kalo untuk desimal berulang, notasinya seperti ini:
$\frac 13=0,\bar 3$
$\frac 16=0,1\bar 6$
$\frac {14}{99}=0,\bar{14}$

Jadi,
$1=0,\bar 9$
Judul: Re: Tanya-tanya Bilangan Rasional
Ditulis oleh: nash pada Oktober 07, 2009, 02:40:40 PM: mungkin agak di luar topik.

mau tanya dunk. barusan nemu.

$\sqr{x-1}=1-\sqr{x+4}$ memiliki penyelesain utk
tp saat nilai x tsb aku substitusikan kembali k dalam persamaan, trjadi keanehan.

NAH LHO?
ada yg bisa jelasin ga?
Judul: Re: Tanya-tanya Bilangan Rasional
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada Oktober 07, 2009, 07:54:35 PM: kamu nyeleseinnya dikuadratin yah?
yang perlu diingat adalah bahwa
$sqrt{x-1}^2=|x-1|$
Judul: Re: Tanya-tanya Bilangan Rasional
Ditulis oleh: nash pada Oktober 07, 2009, 11:25:38 PM: ^
jadi seharusnya gmana dong hoshikawa?
Judul: Re: Tanya-tanya Bilangan Rasional
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada Oktober 08, 2009, 01:27:03 AM: sebentar

$Df(x)=[1,\inft)$
$Rf(x)=[0,\inft)$

$Df(x)=[-4,\inft)$
$Rf(x)=[1,-\inft)$

skarang diliat

$Df(x)=[1,\inft)$
$Rf(x)=[1-sqrt{5},\inft)$

nah lo mereka berdua kan ga berpotongan...maw digimanain coba?
Judul: Re: Tanya-tanya Bilangan Rasional
Ditulis oleh: Sky pada Oktober 09, 2009, 10:27:41 AM: Waw!
Pendekatan analisis Hoshikawa bagus bgt!...
Sebenarnya tahap penentuan daerah asal dan daerah hasil persamaan itu sangat penting..
Langkah seperti ini sebaiknya jangan sampai terlewat..
Namun, dalam kasus ini sebenarnya yang kita cari adalah daerah asalnya saja (domain).
Karena daerah hasil adalah semua x yang memenjadi hasil suatu fungsi.
Sedangkan, ini adalah sistem persamaan, bukan fungsi.
Tapi cara Hoshikawa sangat kreatif, dengan menganggap masing-masing ruas persamaan adalah suatu fungsi,
kemudian memeriksa irisan himpunan hasil fungsi tersebut, karena irisan R masing-masing fungsi kosong, maka
kedua fungsi tersebut sudah jelas tidak sama, sehingga kita tidak punya solusi untuk x..

cara lain membuktikannya,
Dari persamaan tadi:
$\sqrt{x-1}=1+\sqrt{x+4}$
seperti yang Hoshikawa bilang, x yang mungkin dimasukkan ke persamaan ini (tapi belum tentu jadi jawabannya), adalah :
$Df=x=[1,\inft)$
Selanjutnya kita kuadratkan kedua ruas:
$|x-1|=1+|x+4|+2\sqrt{x+4}$
Nah, karena:
$x=[1,\inft)$ , maka suku dan pasti positif...
Jadi, penulisannya bisa kita sederhanakan menjadi:
$x-1=1+x+4+2\sqrt{x+4}$

$-3=\sqrt{x+4}$

Kita berhenti dulu di sini.
Karena tidak mungkin ada hasil akar yang negatif, maka kita katakan persamaan ini tidak memiliki penyelesaian..
yang ini adalah salah satu cara menggunakan pendekatan aljabar.
Judul: Re: Tanya-tanya Bilangan Rasional
Ditulis oleh: nash pada Oktober 09, 2009, 11:07:33 AM: ^
both of you are really great.

jadi sbelum mulai menyelesaikan suatu persamaan, ada baiknya qta ngecek domain kedua ruas dulu. benar kan?
Judul: Re: Tanya-tanya Bilangan Rasional
Ditulis oleh: Sky pada Oktober 09, 2009, 11:15:52 AM: Yap, apalagi kalo udah mengintegralkan atau menurunkan suatu fungsi atau persamaan.
Jangan sampai salah domain, karena jawabannya bisa sangat jauh.
Terutama saat menggunakan integral subtitusi.
Judul: Re: Tanya-tanya Bilangan Rasional
Ditulis oleh: HyawehHoshikawa pada Oktober 12, 2009, 08:46:26 AM: sial, penyelesaiannya Sky selalu setingkat lebih tinggi daripada saya...{haha penghinaan, dibilang cuman setingkat}
udah tau bahwa
Kutip dari: HyawehHoshikawa pada Oktober 07, 2009, 07:54:35 PM
$sqrt{x-1}^2=|x-1|$
tapi keburu putus asa waktu ngliat rangenya ga ada yang berpapasan...
ga keinget tentang bilangan imajiner saya...