Member baru? Bingung? Perlu bantuan? Silakan baca panduan singkat untuk ikut berdiskusi.

Welcome to Forum Sains Indonesia. Please login or sign up.

Maret 29, 2024, 10:36:15 PM

Login with username, password and session length

Topik Baru

Artikel Sains

Anggota
Stats
  • Total Tulisan: 139,653
  • Total Topik: 10,405
  • Online today: 231
  • Online ever: 1,582
  • (Desember 22, 2022, 06:39:12 AM)
Pengguna Online
Users: 0
Guests: 113
Total: 113

Aku Cinta ForSa

ForSa on FB ForSa on Twitter

Teorema Nilai Tengah

Dimulai oleh Mtk Kerajaan Mataram, Desember 11, 2009, 05:36:42 AM

« sebelumnya - berikutnya »

0 Anggota dan 1 Pengunjung sedang melihat topik ini.

Mtk Kerajaan Mataram

Dengan menggunakan Teorema Nilai Tengah (Intermediate Value Theorem) dan Teorema Rolle, tunjukkan bahwa persamaan x^5+2x^3+7x-13=0 tepat mempunyai satu akar real.

Gen-I-uSy

waduh, sayangnya, di pendidikan matematika untirta ga diajarin teorema nilai tengah ataupun teorema rolle....
mata kuliah apaan sih itu? ajarin dong.......
ternyata matematikanya fkip emang kalah ni sama matematikanya mipa

Nabih

Kalo ga salah ini Analisis real

yang saya tahu, turunkan dulu dech

jdi nilai ekstrim dicapai saat 5x^4+6x^2+7=0
5(x^2)^2+6(x^2)+7=0
lalu
(x^2)^2+6/5(x^2)+7/5=0
sepertinya salah, harapan saya ini bisa memajukan diskusi

Mtk Kerajaan Mataram

Teorema tersebut pada Kalkulus I, yaitu
Taruhlah f fungsi yang kontinu pada interval tertutup [a,b]. Misalkan d bilangan real antara f(a) dan f(b), maka ada c pada [a,b] sedemikian hingga f(c)=d.

si anak gajah

saya coba ya om...
fungsinya jelas kontinu karena polinom...
fungsinya juga monoton naik, karena f'(x)>0
ambil selang bilangan [0,2] misalnya...
f(0)=-13
f(2)=49

karena f(x) kontinu dan monoton naik dari [0,2], maka ada tepat satu nilai c elemen [a,b], sehingga f(c)=0 (0 berada di antara selang [-13,49]

gini bisa ga om?
Teorema Rolle isinya apa sih?
[move]Keep Moving Forward!!![/move]

Nabih

saya kurangi selangnya...
fungsinya jelas kontinu karena polinom...
fungsinya juga monoton naik, karena f'(x)>0
ambil selang bilangan [1,akar 2] misalnya...
f(1)= -4
f(akar2)= 19akar2-13

karena f(x) kontinu dan monoton naik dari [1, akar2], maka ada tepat satu nilai c elemen [a,b], sehingga f(c)=0 (0 berada di antara selang [-4, 19akar2-13]

salut buat si anak gajah

HyawehHoshikawa

eh, eh, sori saya tidak paham...
kenapa harus pake ngambil bilangan permisalan itu?
bukannya intinya karena fungsinya monoton, dan kontinu???
Rationality alone isn't enough, the world is Complex.

Mtk Kerajaan Mataram

Kutip dari: si anak gajah pada Desember 12, 2009, 12:06:45 PM
saya coba ya om...
fungsinya jelas kontinu karena polinom...
fungsinya juga monoton naik, karena f'(x)>0
x^5+2x^3+7x-13=0
Kontinu untuk -\infty <x<\infty, okay karena polinom
f'(x)=5x^4+6x^2+7 selalu positif karena pangkat x-nya genap semua...okay selalu naik.

Kutip dari: si anak gajah pada Desember 12, 2009, 12:06:45 PM
ambil selang bilangan [0,2] misalnya...
f(0)=-13
f(2)=49
karena f(x) kontinu dan monoton naik dari [0,2], maka ada tepat satu nilai c elemen [a,b], sehingga f(c)=0 (0 berada di antara selang [-13,49]
gini bisa ga om?
Teorema Rolle isinya apa sih?
So, akar itu terletak antara 0 dan 2, okay, benar sekali.
Teorema Rolle adalah kejadian khusus dari Teorema Nilai Tengah dimana jika a \neq b dan f(a)=f(b), maka ada c di [a,b] sehingga f(c)=0.

Selanjutnya adalah mengapa ada 1 akar saja, dimana jaminan bahwa tidak ada akar2 yang lain?

si anak gajah

Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada Desember 13, 2009, 04:31:03 PM
Selanjutnya adalah mengapa ada 1 akar saja, dimana jaminan bahwa tidak ada akar2 yang lain?
bukannya jelas om?
fungsinya monoton murni (karena f' pangkatnya genap semua dan koefisiennya positif)...
pastinya fungsinya hanya akan memotong sumbu x di 1 titik untuk x anggota himpunan bilangan Real...

Sorry but you are not allowed to view spoiler contents.
[move]Keep Moving Forward!!![/move]

Sky

Kutip dari: si anak gajah pada Desember 14, 2009, 01:36:09 PM
Kutip dari: Mtk Kerajaan Mataram pada Desember 13, 2009, 04:31:03 PM
Selanjutnya adalah mengapa ada 1 akar saja, dimana jaminan bahwa tidak ada akar2 yang lain?
bukannya jelas om?
fungsinya monoton murni (karena f' pangkatnya genap semua dan koefisiennya positif)...
pastinya fungsinya hanya akan memotong sumbu x di 1 titik untuk x anggota himpunan bilangan Real...

Sorry but you are not allowed to view spoiler contents.


Maksud mas Mataram, walaupun pasti memotong sumbu x, tapi itu tidak menjamin sumbu x hanya dipotong 1 kali.
Sebut saja karena derajatnya 4, maka maksimal sumbu x bisa dipotong 4 kali.
Dengan tambahan informasi dari Teorema Nilai Tengah, maka maksimal sumbu x diantara selang tersebut bisa dipotong 3 kali.
Memang jika dilihat dari fungsinya yang monoton, sudah jelas sumbu x hanya dipotong 1 kali. Tapi tantangannya adalah bagaimana caranya membuktikan bahwa sumbu x dipotong 1 kali, menggunakan Teorema Rolle.
He... Karena ada banyak jalan menuju jawaban  yang sama...

BTW, Mas Mataram, bukannya implikasi Teorema Rolle itu gini:
Kutip
"Teorema Rolle adalah kejadian khusus dari Teorema Nilai Tengah dimana jika a \neq b dan f(a)=f(b) dan f(x) differensiabel di [a,b], maka ada c di (a,b) sehingga f'(c)=0."
Jadi, turunan di c yang nol, bukan nilai f di c yang nol.

Oya, Untuk menjamin, hanya ada 1 nilai diantara a dan b yang menghasilkan f=0,
kita bisa pakai kontraposisi dari Teorema Rolle..
Silahkan dicoba...

si anak gajah

kira-kira artinya jika a \neq b dan f(a) = f(b) akan ada c di antara (a,b) yang menjadi titik belok ya? ekstrem gitu?

oke, saya coba pakai kontraposisi teorema Rollenya...
kita bisa buat kontraposisinya kira-kira seperti ini: Jika tidak ada suatu bilangan real c yang terletak pada selang interval (a,b) sehingga f'(c) = 0, maka tidak ada nilai f(a) = f(b) dimana  a \neq b (Koreksi ya kalau salah, saya bingung bahasanya gimana)
atau dengan kata lain (dalam bahasa yang lebih sederhana, jika tidak ada c yang menghasilkan f'(c)=0, maka fungsi tidak akan berbalik (mempunyai nilai yang sama 2 kali untuk a dan b berbeda)

jadi kita buktikan tidak ada nilai c dimana f'(c) = 0...
f(x) = x^5 + 2x^3 + 7x -13\\ f'(x) = 5x^4 + 6x^2 + 7\\ f'(x) = \frac{1}{5} (x^4 + \frac{6}{5} x^2 + \frac{7}{5})\\<br />f'(x) = \frac{1}{5} ((x^2 + \frac{3}{5})^2 - \frac{9}{25} + \frac{7}{5} )\\<br />f'(x) = \frac{1}{5} ((x^2 + \frac{3}{5})^2 + \frac{26}{25})

f'(x) jelas akan selalu bernilai lebih besar dari 0. jadi tidak ada nilai c pada selang bilangan real (-\infty,\infty) yang mengakibatkan f'(c)=0.
maka jelas tidak ada nilai f(a) = f(b), untuk  a \neq b
f(x) hanya akan memotong sumbu x sekali saja (akar-akar real dari f(x)=0 hanya 1 bilangan)

kira-kira gimana om?
[move]Keep Moving Forward!!![/move]

Mtk Kerajaan Mataram

Bagus @si bledug, karena f(x) naik untuk seluruh x real, maka hanya memotong sumbu X sekali.
Kontraposisi teorema Rolle :
Jika setiap c \in [a,b] , f(c) \neq 0 , maka a \neq b atau f(a)=f(b) .

si anak gajah

jadi kontraposisi saya masih salah ya? ;D ;D ;D
memang susah buat saya untuk membuat ingkaran dari suatu premis, masih sering salah...
[move]Keep Moving Forward!!![/move]