Selamat datang di ForSa! Forum diskusi seputar sains, teknologi dan pendidikan Indonesia.

Selamat datang, Pengunjung. Silahkan masuk atau mendaftar. Apakah anda lupa aktivasi email?

Desember 07, 2021, 09:45:49 AM

Masuk dengan nama pengguna, kata sandi dan lama sesi

Topik Baru

Artikel Sains

Anggota
Stats
  • Total Tulisan: 139668
  • Total Topik: 10408
  • Online Today: 54
  • Online Ever: 441
  • (Desember 18, 2011, 12:48:51 AM)
Pengguna Online
Users: 0
Guests: 13
Total: 13

Ikuti ForSa

ForSa on FB ForSa on Twitter

Penulis Topik: Teorema Nilai Tengah  (Dibaca 10334 kali)

0 Anggota dan 1 Pengunjung sedang melihat topik ini.

Mtk Kerajaan Mataram

  • Pengunjung
Teorema Nilai Tengah
« pada: Desember 11, 2009, 08:36:42 PM »
Dengan menggunakan Teorema Nilai Tengah (Intermediate Value Theorem) dan Teorema Rolle, tunjukkan bahwa persamaan x^5+2x^3+7x-13=0 tepat mempunyai satu akar real.

Offline Gen-I-uSy

  • Asisten Dosen
  • ***
  • Tulisan: 64
  • IQ: 25
Re: Teorema Nilai Tengah
« Jawab #1 pada: Desember 12, 2009, 04:27:03 AM »
waduh, sayangnya, di pendidikan matematika untirta ga diajarin teorema nilai tengah ataupun teorema rolle....
mata kuliah apaan sih itu? ajarin dong.......
ternyata matematikanya fkip emang kalah ni sama matematikanya mipa

Offline Nabih

  • Profesor
  • *****
  • Tulisan: 934
  • IQ: 141
  • Gender: Pria
  • Bosen avatar kosong mulu
    • Pecinta Olimpiade Matematika Mahasiswa
Re: Teorema Nilai Tengah
« Jawab #2 pada: Desember 12, 2009, 05:49:10 AM »
Kalo ga salah ini Analisis real

yang saya tahu, turunkan dulu dech

jdi nilai ekstrim dicapai saat 5x^4+6x^2+7=0
5(x^2)^2+6(x^2)+7=0
lalu
(x^2)^2+6/5(x^2)+7/5=0
sepertinya salah, harapan saya ini bisa memajukan diskusi
Website Matematika Terapan => http://nabihbawazir.com

Mtk Kerajaan Mataram

  • Pengunjung
Re: Teorema Nilai Tengah
« Jawab #3 pada: Desember 12, 2009, 01:19:14 PM »
Teorema tersebut pada Kalkulus I, yaitu
Taruhlah f fungsi yang kontinu pada interval tertutup [a,b]. Misalkan d bilangan real antara f(a) dan f(b), maka ada c pada [a,b] sedemikian hingga f(c)=d.

Offline si anak gajah

  • Dosen
  • ****
  • Tulisan: 232
  • IQ: 9
  • Gender: Pria
Re: Teorema Nilai Tengah
« Jawab #4 pada: Desember 13, 2009, 03:06:45 AM »
saya coba ya om...
fungsinya jelas kontinu karena polinom...
fungsinya juga monoton naik, karena f'(x)>0
ambil selang bilangan [0,2] misalnya...
f(0)=-13
f(2)=49

karena f(x) kontinu dan monoton naik dari [0,2], maka ada tepat satu nilai c elemen [a,b], sehingga f(c)=0 (0 berada di antara selang [-13,49]

gini bisa ga om?
Teorema Rolle isinya apa sih?
Keep Moving Forward!!!

Offline Nabih

  • Profesor
  • *****
  • Tulisan: 934
  • IQ: 141
  • Gender: Pria
  • Bosen avatar kosong mulu
    • Pecinta Olimpiade Matematika Mahasiswa
Re: Teorema Nilai Tengah
« Jawab #5 pada: Desember 13, 2009, 09:46:04 AM »
saya kurangi selangnya...
fungsinya jelas kontinu karena polinom...
fungsinya juga monoton naik, karena f'(x)>0
ambil selang bilangan [1,akar 2] misalnya...
f(1)= -4
f(akar2)= 19akar2-13

karena f(x) kontinu dan monoton naik dari [1, akar2], maka ada tepat satu nilai c elemen [a,b], sehingga f(c)=0 (0 berada di antara selang [-4, 19akar2-13]

salut buat si anak gajah

Offline HyawehHoshikawa

  • Dosen
  • ****
  • Tulisan: 499
  • IQ: 22
  • Gender: Pria
  • ehm...gua itu cowo' yah...
Re: Teorema Nilai Tengah
« Jawab #6 pada: Desember 13, 2009, 11:54:41 AM »
eh, eh, sori saya tidak paham...
kenapa harus pake ngambil bilangan permisalan itu?
bukannya intinya karena fungsinya monoton, dan kontinu???
Rationality alone isn't enough, the world is Complex.

Mtk Kerajaan Mataram

  • Pengunjung
Re: Teorema Nilai Tengah
« Jawab #7 pada: Desember 14, 2009, 07:31:03 AM »
saya coba ya om...
fungsinya jelas kontinu karena polinom...
fungsinya juga monoton naik, karena f'(x)>0
x^5+2x^3+7x-13=0
Kontinu untuk -\infty <x<\infty, okay karena polinom
f'(x)=5x^4+6x^2+7 selalu positif karena pangkat x-nya genap semua...okay selalu naik.

ambil selang bilangan [0,2] misalnya...
f(0)=-13
f(2)=49
karena f(x) kontinu dan monoton naik dari [0,2], maka ada tepat satu nilai c elemen [a,b], sehingga f(c)=0 (0 berada di antara selang [-13,49]
gini bisa ga om?
Teorema Rolle isinya apa sih?
So, akar itu terletak antara 0 dan 2, okay, benar sekali.
Teorema Rolle adalah kejadian khusus dari Teorema Nilai Tengah dimana jika a \neq b dan f(a)=f(b), maka ada c di [a,b] sehingga f(c)=0.

Selanjutnya adalah mengapa ada 1 akar saja, dimana jaminan bahwa tidak ada akar2 yang lain?

Offline si anak gajah

  • Dosen
  • ****
  • Tulisan: 232
  • IQ: 9
  • Gender: Pria
Re: Teorema Nilai Tengah
« Jawab #8 pada: Desember 15, 2009, 04:36:09 AM »
Selanjutnya adalah mengapa ada 1 akar saja, dimana jaminan bahwa tidak ada akar2 yang lain?
bukannya jelas om?
fungsinya monoton murni (karena f' pangkatnya genap semua dan koefisiennya positif)...
pastinya fungsinya hanya akan memotong sumbu x di 1 titik untuk x anggota himpunan bilangan Real...

Sorry but you are not allowed to view spoiler contents.

Offline Sky

  • Dosen
  • ****
  • Tulisan: 473
  • IQ: 36
  • Gender: Pria
Re: Teorema Nilai Tengah
« Jawab #9 pada: Desember 15, 2009, 06:43:32 PM »
Selanjutnya adalah mengapa ada 1 akar saja, dimana jaminan bahwa tidak ada akar2 yang lain?
bukannya jelas om?
fungsinya monoton murni (karena f' pangkatnya genap semua dan koefisiennya positif)...
pastinya fungsinya hanya akan memotong sumbu x di 1 titik untuk x anggota himpunan bilangan Real...

Sorry but you are not allowed to view spoiler contents.


Maksud mas Mataram, walaupun pasti memotong sumbu x, tapi itu tidak menjamin sumbu x hanya dipotong 1 kali.
Sebut saja karena derajatnya 4, maka maksimal sumbu x bisa dipotong 4 kali.
Dengan tambahan informasi dari Teorema Nilai Tengah, maka maksimal sumbu x diantara selang tersebut bisa dipotong 3 kali.
Memang jika dilihat dari fungsinya yang monoton, sudah jelas sumbu x hanya dipotong 1 kali. Tapi tantangannya adalah bagaimana caranya membuktikan bahwa sumbu x dipotong 1 kali, menggunakan Teorema Rolle.
He... Karena ada banyak jalan menuju jawaban  yang sama...

BTW, Mas Mataram, bukannya implikasi Teorema Rolle itu gini:
Kutip
"Teorema Rolle adalah kejadian khusus dari Teorema Nilai Tengah dimana jika a \neq b dan f(a)=f(b) dan f(x) differensiabel di [a,b], maka ada c di (a,b) sehingga f'(c)=0."
Jadi, turunan di c yang nol, bukan nilai f di c yang nol.

Oya, Untuk menjamin, hanya ada 1 nilai diantara a dan b yang menghasilkan f=0,
kita bisa pakai kontraposisi dari Teorema Rolle..
Silahkan dicoba...

Offline si anak gajah

  • Dosen
  • ****
  • Tulisan: 232
  • IQ: 9
  • Gender: Pria
Re: Teorema Nilai Tengah
« Jawab #10 pada: Desember 16, 2009, 08:18:48 AM »
kira-kira artinya jika a \neq b dan f(a) = f(b) akan ada c di antara (a,b) yang menjadi titik belok ya? ekstrem gitu?

oke, saya coba pakai kontraposisi teorema Rollenya...
kita bisa buat kontraposisinya kira-kira seperti ini: Jika tidak ada suatu bilangan real c yang terletak pada selang interval (a,b) sehingga f'(c) = 0, maka tidak ada nilai f(a) = f(b) dimana  a \neq b (Koreksi ya kalau salah, saya bingung bahasanya gimana)
atau dengan kata lain (dalam bahasa yang lebih sederhana, jika tidak ada c yang menghasilkan f'(c)=0, maka fungsi tidak akan berbalik (mempunyai nilai yang sama 2 kali untuk a dan b berbeda)

jadi kita buktikan tidak ada nilai c dimana f'(c) = 0...
f'(x) = \frac{1}{5} ((x^2 + \frac{3}{5})^2 - \frac{9}{25} + \frac{7}{5} )\\
f'(x) = \frac{1}{5} ((x^2 + \frac{3}{5})^2 + \frac{26}{25}) " alt="f(x) = x^5 + 2x^3 + 7x -13\\ f'(x) = 5x^4 + 6x^2 + 7\\ f'(x) = \frac{1}{5} (x^4 + \frac{6}{5} x^2 + \frac{7}{5})\\
f'(x) = \frac{1}{5} ((x^2 + \frac{3}{5})^2 - \frac{9}{25} + \frac{7}{5} )\\
f'(x) = \frac{1}{5} ((x^2 + \frac{3}{5})^2 + \frac{26}{25}) " border="0" align="absmiddle" />

f'(x) jelas akan selalu bernilai lebih besar dari 0. jadi tidak ada nilai c pada selang bilangan real (-\infty,\infty) yang mengakibatkan f'(c)=0.
maka jelas tidak ada nilai f(a) = f(b), untuk  a \neq b
f(x) hanya akan memotong sumbu x sekali saja (akar-akar real dari f(x)=0 hanya 1 bilangan)

kira-kira gimana om?

Mtk Kerajaan Mataram

  • Pengunjung
Re: Teorema Nilai Tengah
« Jawab #11 pada: Desember 16, 2009, 11:32:01 AM »
Bagus @si bledug, karena f(x) naik untuk seluruh x real, maka hanya memotong sumbu X sekali.
Kontraposisi teorema Rolle :
Jika setiap c \in [a,b] , f(c) \neq 0 , maka a \neq b atau f(a)=f(b) .

Offline si anak gajah

  • Dosen
  • ****
  • Tulisan: 232
  • IQ: 9
  • Gender: Pria
Re: Teorema Nilai Tengah
« Jawab #12 pada: Desember 17, 2009, 03:31:50 AM »
jadi kontraposisi saya masih salah ya? ;D ;D ;D
memang susah buat saya untuk membuat ingkaran dari suatu premis, masih sering salah...

 

Related Topics

  Subyek / Dimulai oleh Jawaban Tulisan terakhir
0 Jawaban
4174 Dilihat
Tulisan terakhir Desember 04, 2010, 08:36:51 PM
oleh wira13
Teorema Bell

Dimulai oleh gema Fisika

2 Jawaban
5088 Dilihat
Tulisan terakhir April 25, 2011, 10:14:16 PM
oleh The Houw Liong
11 Jawaban
6397 Dilihat
Tulisan terakhir Desember 22, 2011, 06:52:54 AM
oleh Balya
8 Jawaban
12707 Dilihat
Tulisan terakhir Mei 31, 2016, 11:27:45 PM
oleh Monox D. I-Fly
2 Jawaban
1257 Dilihat
Tulisan terakhir Agustus 30, 2017, 05:37:31 AM
oleh TukangKayu