Saya membaca kalau volume hypercube (ngomong ngomong, apa padananya dalam bahasa indonesia?) adalah , dengan r adalah panjang rusuk hypercube, dan n adalah jumlah dimensinya.
jadi untuk :

sedangkan kalau

Katakan panjang rusuk kubus itu 1 meter. Kalau kita pilih satuannya cm, maka panjang rusuk itu 100 cm, lebih besar dari satu. Maka semakin besar n, volume hypercube itu pun membesar.
Tapi kalau kita pilih satuannya km maka panjang rusuk itu 0.001 km, lebih kecil dari satu, dan limit volumenya menuju nol.
Bagaimana bisa arah limit volume itu berbeda, satu menuju tak hingga, satu lagi menuju nol, hanya karena kita mengubah satuan pengukuran?

Saya kira karena kontraksi volume sangat besar akibat penambahan dimensi untuk r < 1 bila dibandingkan dengan volume unit r = 1. Untuk r = 1 pada dimensi berapapun volume unitnya tetap satu. Sementara untuk r < 1 terdapat selisih 1 - r^n terhadap volume unit 1. Selisih itu akan semakin besar bila n semakin besar.
Sedangkan pada r > 1 terdapat penambahan volume yang semakin besar sejalan dengan penambahan dimensi. Sekali lagi pembandingnya adalah volume unit r = 1. Pada r > 1 maka penambahan volumenya adalah (1 + a) - 1 = a + a^2 + a^3 + ... + a^n, a > 0. Dilatasi ukuran volume ini akan semakin besar bila a > 1.
Jadi kontraksi ruang untuk r < 1 dan dilatasi ruang untuk r > 1 akan semakin terasa kekuatannya saat kita bandingkan dengan volume unit r = 1.

Kutip dari: Bahalan pada Maret 20, 2017, 09:17:13 AM
Saya kira karena kontraksi volume sangat besar akibat penambahan dimensi untuk r < 1 bila dibandingkan dengan volume unit r = 1. Untuk r = 1 pada dimensi berapapun volume unitnya tetap satu. Sementara untuk r < 1 terdapat selisih 1 - r^n terhadap volume unit 1. Selisih itu akan semakin besar bila n semakin besar.
Sedangkan pada r > 1 terdapat penambahan volume yang semakin besar sejalan dengan penambahan dimensi. Sekali lagi pembandingnya adalah volume unit r = 1. Pada r > 1 maka penambahan volumenya adalah (1 + a) - 1 = a + a^2 + a^3 + ... + a^n, a > 0. Dilatasi ukuran volume ini akan semakin besar bila a > 1.
Jadi kontraksi ruang untuk r < 1 dan dilatasi ruang untuk r > 1 akan semakin terasa kekuatannya saat kita bandingkan dengan volume unit r = 1.

Maaf sedikit koreksi. Untuk r > 1 penambahan volumenya seharusnya (1 + a)^n - 1 = a + a^2 + ... + a^n.

Sebenarnya fokus saya di pemilihan satuannya itu. Bagaimana bisa pemilihan satuan yg berbeda menghasilkan kesimpulan yg berbeda. Nol dan tak hingga itu sangat jauh berbeda.

Kalo di kasus limit yg lain. Katakanlah kecepatan terminal benda yg jatuh di bawah pengaruh gesekan udara. Entah kita pakai satuan atau , kg atau miligram, hasil perhitungan menuju kesimpulan yg sama, tidak bergantung pada pemilihan satuan.

Kutip dari: Bahalan pada Maret 20, 2017, 09:30:14 AM
Maaf sedikit koreksi. Untuk r > 1 penambahan volumenya seharusnya (1 + a)^n - 1 = a + a^2 + ... + a^n.

Terima kasih bung atas koreksiannya.

untuk volume kubur n-dimensional satuannya juga mesti berderajat n.
misal untuk 0<r<1 dengan satuan meter, kita ambil r=0,5.
v(n) = 0,5^n m^n
konversi satuan r menjadi centimeter sehingga r>1.
v(n) = 50^n cm^n = 50^n (m/100)^n = 0,5^n m^n
hasilnya sama aja.
perbedaan yang sangat jauh antara 0 dan tak hingga akan impas oleh derajat satuan yang juga menuju tak hingga.

ada 2 definiens yang berbeda yang menggunakan definiendum sama, yaitu "volume".
volume dimensi 1 = panjang
volume dimensi 2 = luas
volume dimensi 3 = volume
volume dimensi >3 = ?
mestinya tidak menggunakan istilah volume lagi ya karena akan ambigu.
term "luas" tidak terbatas pada objek 2-dimensional saja, kubus 3D juga mempunyai atribut 2D yang bernama "luas" tsb, begitu juga untuk dimensi tinggi, atribut "luas" sebagai atribut kulit 2D akan selalu ada.

begitu juga dengan "volume" yang sudah kadung dipakai sebagai nama dari atribut 3D, selalu ada pada dimensi yang lebih tinggi dari itu. jadi memungkinkan ambigu.
sebagai atribut 3D, volume hypercube berderajat 4 adalah 8*r^3.
sementara jika maksudnya adalah atribut n-dimensional, volume hypercube berderajat 4 adalah r^4.

Kutip dari: Sandy_dkk pada April 02, 2017, 10:15:47 PM
ada 2 definiens yang berbeda yang menggunakan definiendum sama, yaitu "volume".
volume dimensi 1 = panjang
volume dimensi 2 = luas
volume dimensi 3 = volume
volume dimensi >3 = ?
mestinya tidak menggunakan istilah volume lagi ya karena akan ambigu.
term "luas" tidak terbatas pada objek 2-dimensional saja, kubus 3D juga mempunyai atribut 2D yang bernama "luas" tsb, begitu juga untuk dimensi tinggi, atribut "luas" sebagai atribut kulit 2D akan selalu ada.

begitu juga dengan "volume" yang sudah kadung dipakai sebagai nama dari atribut 3D, selalu ada pada dimensi yang lebih tinggi dari itu. jadi memungkinkan ambigu.
sebagai atribut 3D, volume hypercube berderajat 4 adalah 8*r^3.
sementara jika maksudnya adalah atribut n-dimensional, volume hypercube berderajat 4 adalah r^4.

Istilah yang lebih umum adalah ukuran (measure). Ukuran meliputi panjang, luas, volume, termasuk volume hiperkubus bahkan volume benda berdimensi fraksional (tidak bulat) atau fraktal. Hal ini dibahas dalam analisis real sebagai Teori Ukuran (measure theory).